一种基于排序向量法的改进雷达图评估方法*

彭维仕

（武警工程大学装备管理与保障学院，西安 710086）

0 引言

雷达图法是一种利用图形的方式来评价系统效能的方法［1］，该方法通过将多个变量映射到二维的图形来评价系统的能力。雷达图中能够直接看出系统整体的优劣，而且还能得到系统单项能力的好坏［2］，因此，得到了广泛的应用。例如文献［3］提出利用雷达图法进行风险评估，并对比分析了利用Excel 软件、Mathematica 软件、R 语言软件和Python 软件得到的雷达图结果；文献［4］针对经典雷达图法未考虑指标权重的问题，提出基于权重的雷达图评估方法，并用于多能源系统中隧道规划评价；文献［5］利用雷达图法分析了德国、瑞士、日本和印度的电子垃圾管理问题；文献［6］利用雷达图进行过程控制和文献［7］将雷达图应用于医疗，提出了KT 指数的雷达图进行护理，使老年吞咽困难患者在开始胃造口术后能像常人一样生活。

但是，雷达图法在评估的应用中还存在两个方面的缺陷：1）雷达图中指标的排序不一样，构成的雷达图形也不一样，进而导致不同的评价结果。2）雷达图法中各个指标权重不同，评价结果也不同。因此，为解决上述两个难题，本文提出一种基于排序向量的改进雷达图评估方法。提出基于排序向量法的指标权重计算方法，根据上述计算的权重绘制改进的雷达图，利用雷达图中指标的扇形面积和弧长构造评价模型。

1 基于排序向量法的指标权重计算

针对多个估计器的性能排序问题，尹翰林等提出了一种新的排序向量法［8］。该方法主要基于皮式接近度（pitman’s closeness measure，PCM）和Perron-Frobenius 理论，利用两个被估系统间的竞争信息，通过排序向量元素的大小反映被估系统的优劣。

1.1 PCM 的定义

为了比较两个被估对象的性能，PITMAN 提出了一种利用概率或频率比较性能好坏的方法［9］。其比较的准则是：被估对象与另一被估对象接近参数真实值的频率是否大于50%，大于50%，则前者性能较好。该准则称为皮氏接近准则或者皮氏接近度（pitman’s closeness measure，PCM）。下文给出PCM具体的定义。

令第i 个系统的第p 个指标和第q 个指标分别为rip和riq，则m（p，q；i）表示rip与riq指标性能的比较结果，即［8］：

其中，当m（p，q；i）=1 时，表示第i 个系统的第p 个指标rip的性能优于第i 个系统的第q 个指标riq的性能，即；同理，当m（p，q；i）=0 时，第i 个系统的第p 个指标rip的性能劣于第i 个系统的第q个指标riq的性能，即。当m（p，q；i）=0.5 时，表示第i 个系统的第p 个指标rip和第i 个系统的第q个指标riq的性能不相上下，即rip=riq。

进一步计算所有系统中第p 个指标与第q 个指标的比较结果，可得：

由文献［9］可知，PCM 对于误差度量的选取是稳健的，并且PCM 基于两个指标之间的竞争，因此，利用了两个指标的联合信息。但是在PCM 准则下，无法保证指标性能比较的传递性，例如，指标rip在PCM 准则下优于指标riq，而riq在PCM 准则下优于估计器riz，那么无法确认rip在PCM 准则下优于估计器riz。为了解决这个问题，文献［8］提出了一种排序向量评估方法，文献［10］结合误差谱理论进一步完善了排序向量法。本文正是利用该排序向量法的思想，提出一种基于排序向量法的指标权重计算方法。

基于排序向量法的指标权重计算方法主要包括3 个步骤：1）构造指标属性矩阵，2）建立指标竞争矩阵，3）计算指标竞争矩阵的特征向量。

1.2 构造指标属性矩阵

由文献［11］可知，为了确定各个指标的权重，指标属性矩阵设为：

1.3 建立指标竞争矩阵

根据式（3）得到指标竞争矩阵

为了保证矩阵特征向量的唯一性，当M（p，q）=0 时，令M（p，q）=0.000 1。

1.4 计算指标竞争矩阵的特征向量

最后计算指标竞争矩阵的特征向量：

2 改进雷达图的基本原理

在绘制改进雷达图前首先对指标进行规范化处理。

2.1 指标规范化处理

对第i 个系统中第j 个效益型指标，利用式（7）进行规范化［6］：

同理，对第i 个系统中第j 个成本型指标，利用式（8）进行规范化［6］

其中，n 表示系统数量，i=1，2，…，n；m 表示指标数量，j=1，2，…，m。

2.2 绘制雷达图

根据上述得到的指标规范化值，得到绘制改进雷达图的步骤为：

Setp 1 绘制一个圆，圆心为O，然后将圆等分为m，得到两指标间的夹角为：

Setp 2 在数轴上标定各个指标归一化后的数值：

Setp 3 绘制各指标点的扇形图形可得到改进的雷达图，如图1 所示。

图1 改进雷达云图法评估结果示意图Fig.1 Schematic diagram of evaluation results with improved radar cloud chart method

3 改进雷达图的效能评价模型

3.1 改进雷达图特征提取

由于传统的雷达图因指标排列的顺序不同，雷达图的面积和周长可能是不唯一的。因此，为解决这个问题，利用指标的扇形面积和弧长分别反映指标的效能和指标的均衡程度，即：

进一步分别构造度量系统整体作战效能的指标和各单项指标均衡程度的模型：

其中，

其中，Si表示第i 个系统形成的雷达图面积；Li表示第i 个系统雷达图的周长。显然，用于度量待评系统的系统效能；用于评估待评系统各单项指标的均衡程度。并且和能唯一确定。

3.2 构造改进雷达图效能评价模型

在作战效能评估中，需要综合评价系统的作战效能和系统各个单项指标的均衡程度，因此，构造如下评价模型：

进一步采用加权和法构造改进雷达图效能评价模型［13］

同理，利用几何平均法可得：

4 实例验证

为了验证上述评估方法的合理性和可行性，文中分别选取3 型常用的防暴武器系统：防暴武器A、防暴武器B 和防暴武器C［14-16］，其中，3 型防暴武器系统的战术技术指标如下页表1 所示。

表1 3 型防暴武器系统的战术技术指标Table 1 Tactical and technical indexes of three kinds of anti-riot weapon systems

表1 中，As、Am、T、R、CEP、vs、θc、θs、M、L×W ×H、e、k 和Cb 分别为单发驱散面积、齐射驱散面积、战斗部当量、有效射程、CEP、射击速度、垂直发射角、水平发射角、总质量、外型尺寸、环境适应能力、系统可靠性和经济性。

由式（7）和式（8）可得，对表1 中数值规范化后，构造得到指标的属性矩阵：

Step 1 构建指标属性矩阵：

Step 2 计算指标竞争矩阵：

Step 3 计算指标竞争矩阵的特征向量：

再利用Matlab 软件得到3 型防暴武器系统的传统和改进雷达图评价结果，如图2 和下页图3所示。

图3 防暴武器系统的改进雷达图评价结果Fig.3 The evaluation results of the improved radar chart of anti-riot weapon

从图2（b）和图2（c）中可以看出利用传统的雷达图计算防暴武器系统A 的效能时会得到两个效能值：

同理可以计算防暴武器系统C 的效能值

可见当防暴武器系统A 利用指标排序1 和防暴武器系统C 利用指标排序2 评估时可得：

同理，都用指标排序1 的雷达图时可得：

上述结果说明传统的雷达图会因指标排序不同。

但是从图3（b）和图3（c）中可以看出，由于采用的是扇形面积，所以不管指标排序如何扇形总面积都不会变，相应地，计算不同指标排序时3 型防暴武器的效能值可得：

即

显然利用本文提出的改进扇形雷达图评估得到的结果不会因指标的排序改变而改变，结果可行。

从图2（a）中可以看出，3 型防暴武器系统各单项指标的优劣。例如，从经济性和CEP 可以得出：

进一步将指标代入式（11）可得：

和

再将式（24）和式（25）代入式（16）得：

当然，如果取ω1=ω2=0.5 时，将式（24）和式（25）代入式（15）可得：

因此，综合分析式（26）和式（27），可得：

即

可见，防暴武器系统B 的作战效能最优，防暴武器系统C 次之，防暴武器系统A 的作战效能最差。这与文献［14］的结果一致，因此，本文所提的评估方法是合理可行的。

5 结论

为解决传统雷达图中指标权重设计不合理的问题，提出了一种基于排序向量法改进雷达图的评估方法。利用排序向量法计算了评估指标的权重。计算结果表明：该权重计算方法无需对指标进行归一化，直接利用指标间两两比较的竞争信息矩阵得到指标的权重，因此，该方法简单易行。绘制得到改进的雷达图，并通过计算指标的扇形面积来反映系统的效能，通过指标对应的弧长长度反映指标的均衡程度。通过加权和和加权积的方法建立了改进雷图的评价模型，实例表明：本文所提评估方法是合理可行的。研究工作能够进一步拓展雷达图法的应用领域，更为系统评价理论与方法提供一种科学可行的技术手段。