化动为定 探解法之本质——一道中考填空压轴题的解法探究

何则淦

(福建省福州市长乐区航城中学,福建 福州 350200)

中考填空压轴题具有结构优美、解法多样等特点,本文以2019年连云港市第16题为例,对其进行结构分析、解法探究、解题步骤、模型提炼.

1 试题再现

图1 中考题图

2 结构分析

2.1 条件分析

矩形ABCD长、宽分别为4与3,故此矩形为确定性图形,与矩形ABCD有关的线段、角、面积等相关要素都可求得,由勾股定理易得对角线BD=5,利用面积法可求得点A或点C到线段BD的距离2.4,⊙C是以矩形ABCD的一个顶点为圆心,与对角线BD相切,故⊙C半径是2.4.

2.2 结论分析

所求结论是两条动线段的比值,主动点P在圆上,从动点T在矩形ABCD的对角线BD上,进一步观察可发现这两条动线段的公共端点为A.故本题是一道确定矩形和确定圆上点之间的距离问题.

2.3 图形分析

如图1,从整体分析,矩形ABCD和⊙C都具有对称性,但本图并没有直观的对称轴.从局部分析,把矩形作为中心对称图形,点A与点C为对应点,故它们到对角线BD的距离相等,圆作为一种特殊的对称图形,这里仅考虑切点关于圆心C的对称点,往往这就是解题的突破口.根据解题经验,可以通过P点作相应线段的平行线,构造相似三角形,然后利用相似三角形的性质求解.

3 解法探究

3.1 基于条件特殊化下探究最值

如图2,把矩形ABCD特殊化为正方形,当点P运动到AC的延长线上时(非切点),此时AT取最小值,AP取最大值,非常容易求出的最大值为3.

图2 矩形特殊化为正方形

3.2 基于平行线构造相似的思路分析

构造出相似三角形是解决本题的第一个关键步骤.AP,AT都是在点P变化过程中长度变化的线段,可通过构造相似三角形将其转化为相似三角形对应边之比,且其中一条线段的长度是定值,将双变量转化为单变量,减少了变量,实现此过程最有效的手段就是过特定的点作相关线段的平行线,构造相似三角形.结合点P在圆周上运动,根据构造的相似三角形与圆的最值的相关知识解决问题.

解法1 如图3,过点P作PE∥BD交AB的延长线于点E.

图3 解法1图

图4 PE与⊙C相切图

图5 解法2图

图6 解法3图

图7 解法4图

3.3 基于三角形面积转化的思路分析

图8 解法5图

4 解后思考

由以上解法可以看出,解决这类问题可从以下几方面入手.

(1)观整体:运用几何图形基本性质,求解隐含几何常量.从已知出发,根据矩形性质、圆性质、切线性质求得矩形的四条边长、对角线长及顶点到对角线的距离,其中求出圆的半径对于解答本题至关重要.

(2)寻动点:明确动点运动的轨迹,构造相似三角形转化变量.点P是主动点,点T是从动点,为降低难度必须转化变量,将两个变量转化为一个变量,构造相似三角形是转化变量最重要的手段,最常用的方法就是作平行线.

(3)察最值:观察动点定线位置,确定点线距离最值.当问题转化为单变量时,发现这个变量最终是圆上的一个点与一条定直线之间的距离,因而只要去判断点线距离便便获得最值.

5 结束语

中考压轴题的解题过程,既要分析题目条件与结论的内在逻辑结构,又要分析解题的依据和数学的本质,顺势而思、自然生成.本例在转化思想的引领下,借助几何直观和相似模型实现转化,对结论逆向溯源获得解题途径.