初中数学应用题的解题技巧研究

黄晓勇

(福建省龙岩初级中学,福建 龙岩 364000)

应用题是通过语言或者文字对有关事实进行叙述,反映出某种数学关系,如数量关系、位置关系等,且求解未知数量的一类题目,每道应用题中都包含有已知条件与所求结论.在初中数学解题教学中,应用题的题型较多,不同类型的应用题需要用到不同的解题思路与技巧,教师应通过多元化的训练,使学生能根据实际情况采用相应的解题技巧[1].

1 二元一次方程类应用题的解题技巧

二元一次方程类应用题在初中数学应用题解题训练中较为常见.解决这类问题的关键是认真审题,充分理解题意,找到题目中相关条件之间的逻辑关系与数量之间的等量关系,据此设出未知数,建立二元一次方程组,最终使用二元一次方程组的相关知识把未知数求出来.需要注意的是,解决此类应用题时,应保证最终结果同实际情况相契合,让学生学会全面考虑问题,使其掌握解答此类应用题的一些技巧[2],提高其解题能力.

例1王军同学为本班购买课外书,回校后向班主任汇报:我购买两种课外书,一共是30本,单价分别是20元与24元,买书前的700元还余下38元.班主任说他肯定搞错了.

(1)班主任说王军搞错的原因是什么?结合所学知识解释;

(2)后来王军发现的确错了,还购买了另外一本课外书,但是单价不清楚,只能辨认出是不满10元的整数,假如单价是20元的课外书比单价是24元的课外书多,求外一本课外书的单价.

解析本题理解起来难度不大,第一问比较简单,建立二元一次组后不难解答,第二问难度稍大,学生应大胆设出参数,且依据题意找准参数之间的大小关系,再通过分析、计算确定最终答案.

2 分式方程类数学应用题的解题技巧

分式方程是一类比较特殊的方程,当遇到此类应用题时,教师首先要求学生仔细阅读题目内容,了解题干所描述的情境,使其结合个人所学与生活经验找到题目中参数之间的潜在关系,明确围绕哪个参数来列方程.解完方程后,学生还要检查结果的准确性.在初中数学解题教学中,不少应用题都能够利用分式方程解决.

例2 张华家距离动物园1 900 米,一天他步行去看动物表演,走到路程的一半时发现没有携带门票,这时距离表演开始还有23 分钟,于是他马上步行回家取票,然后骑自行车去动物园,假如张华骑自行车到动物园比步行少用20 分钟,且速度是步行的5倍,进家取票花费4 分钟,那么他是否可以在表演开始之前到达动物园?通过计算说明理由.

解析通过审题发现,本题应构建一个有关路程、速度与时间的分式方程,先求出张华骑自行车与步行的速度,再根据路程、速度与时间之间的关系,计算所需时间,最后结合计算结果进行准确判断.

3 一元一次不等式应用题的解题技巧

在初中数学教学过程,所学习的不等式知识以一元一次不等式为主,相应地会围绕一元一次不等式安排应用题.这类应用题的题干描述往往与众不同,会出现“不超过”“不少于”“不多于”“最少”“最多”等特殊词,把握好这些词是解决一元一次不等式应用题的关键.

例3 某商店计划购进甲、乙两种商品,其中甲的进价单价比乙多5 元,且用800 元购进的甲商品和用400 元购进的乙商品数量相同,现在要一共购进甲、乙两种商品100 件,进货资金不少于800 元,不多于850 元,那么有多少种进货方案?如果甲商品的利润是m元,乙商品的利润是(6-m)元,如何进货才可以确保获得的利润最大?

解析本题需先求出甲、乙两种商品的进价单价,再根据总进价资金的范围找到不等关系,确定参数取值范围,并写出关于总利润的表达式,分析式子中各个参数的取值范围,然后结合一次函数的性质求出最大利润.

4 三角函数类数学应用题的解题技巧

三角函数是初中生接触到的一类特殊数学知识,初中阶段以学习锐角三角函数为主,包括正弦、余弦、正切.解决此类应用题的步骤如下:(1)认真审题与读图,确定题设所求的问题;(2)根据题意,利用所学的几何知识尝试构造直角三角形,必要时添加辅助线;(3)求解未知量的值时,需要注意不同三角函数中线段之间的关系是不一样的,以免因为关系弄错而计算出错误的结果.

图1 例4题图

解析解决本题时,应以所求结论为前提展开逆向推理,寻找要求解的未知量,再结合解题经验添加辅助线就能进行分析,寻找角度和线段之间的关系,认真计算后即可得出准确结果.

5 二次函数类数学应用题的解题技巧

二次函数应用题是初中数学解题训练中的一类难点题型.因为二次函数是初中阶段难度最大、知识点最多和关系最复杂的一部分内容,处理此类应用题时对学生的解题能力要求更高,要以仔细审题为基础,结合题干描述与解题经验准确找到二次函数关系,使其根据二次函数相关知识进行解题.

例5 一种土特产的生产成本是每个60元,为了解市场行情,准备先试销一段时间,在试销期间销售单价不能比成本价低,利润不能高于40%,销售量y(万个)和销售单价x(元)之间的函数图象如图2所示,那么当销售价定为多少时有最大利润?最大利润是多少?

图2 例5题图

解析解答本题时,学生需以充分理解题意为基础,先根据图象联系一次函数知识,明确销售量和售价之间的关系,再根据成本、利润与销售量建立二次函数,最后利用二次函数的性质求出最大利润.

具体解题过程如下:根据一次函数图象,可以运用待定系数法求出销售单价和销售量之间的函数关系,再结合题目信息找到自变量的取值范围.从图象中找到两个点的坐标分别是(70,50)、(63,57),代入到一次函数解析式=kx+b中得到一个方程组,求出k=-1,b=120,即为y=-x+120,根据题意确定x的取值范围是60≤x≤60(1+40%),即为60≤x≤84,则利润Q=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7 200=-(x-90)2+900(60≤x≤84),该二次函数的对称轴是x=90,开口方向向下,取值范围在其左侧,利润Q随着x的增大而增大,所以当x=84时有最大利润,最大利润是Q=-(84-90)2+900=-36+900=864(万元).

6 结束语

在初中数学解题教学中,应用题解题训练是极为重要的一部分,在考试中做好应用题,不让大题失分过于严重,往往就能够取得优异成绩.因此,教师应适当加强应用题解题练习,通过解题示范传授技巧,帮助学生掌握一些不同应用题的不同解题技巧,全力提高学生解答不同类型应用题的能力.