在教学过程中培养数学思维能力刍议

王亚俊

（金坛市第四中学，江苏 金坛 213200）

教学过程是教与学的有机统一。当前数学教学中过分强调“掌握和记忆现成的知识”，学生仅仅是模仿或记住有关的结论、题型和方法，机械地套用所学知识，缺乏创造性精神。要改变这种状况，就要提高对教学的认识，掌握教学的规律和方法［1］，实现教师创造性的教，学生创造性的学。

学生对数学知识的迁移、组合、融会程度越高，解题能力就越强，创新性水平就越高。在教学中，需要教师创设和谐的课堂气氛，和学生一起归纳总结知识点，举一反三，自然变题，在变中求新，在变中求异，在变中培养创造性思维，提高学生的学习效率。

1 数学直觉思维

数学直觉是一种直接反映数学对象结构关系的心智活动形式，它是人脑对数学对象的某种直接的领悟或洞察。它是一种不包括普通逻辑推理的过程，但可能包含合情推理形式的直接领悟。它的产生往往是下意识的或无意识的，是在不知不觉的过程中产生的。每一个学生都有极丰富的直觉思维潜能，而这种潜能的发挥关键在于教师的启发诱导和有意培养。

一般情况下，学生在解数学题时要面对很多问题、思路，如何在极短的时间内进行迅速地识别、作出选择，这就要靠直觉。直觉发挥作用的前提是知识的积累和知识之间关联性的把握。在教学中，要善于引导学生对知识点、思想、方法进行归纳总结，还要有意识地进行各种方法的运用训练，如进行代数变换方法的指导，让学生意识到代数变换不是简单的机械劳动，而是内涵丰富的一门学问［2］。还可以将几何问题和代数问题结合起来思考，把几何问题转化为代数问题，或透过代数问题观察它的几何意义。例如，用min｛a，b，c｝表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f（x）=min｛2x，8-x，x+2｝的最大值为多少？分析题目条件和所求结论后，可知，看似集合问题，解决方法是作几何图形。

2 创造性思维

心理学认为，创造思维是指思维不仅能揭示客观事物的本质及内在联系，而且能在此基础上产生新颖的、具有社会价值的前所未有的思维成果。它是以一般思维为基础，经过后天培养与训练形成的。

1）要让学生多思多疑。无数实例证明，科学发现与创造是从疑问开始的。教师在课堂上要多给学生一些思考的时间，鼓励和启发他们去探究、去质疑。针对知识点的学习，重视知识的生成和发展过程，重视结论形成的依据。了解数学知识如何通过建立数学模型、抽象概括形成自己的知识体系的。针对具体的题目，不能仅仅知道如何解，还要通过解题去反思其知识点、是否还有其它的解决方法，并由知识点辐射知识面，融会贯通。

例如，求

首先，让学生观察数列通项公式的特点，即

找到解决问题的途径，即采用裂项相消法求和。其次，让学生思考数列求和的方法，如公式法、倒序相加法、分组求和法、错位相减法等。再次，让学生分析、归纳每种求和方法的特点，适用解决的问题类型。

2）要鼓励学生敢于想象。在思维过程中，如果有想象的参与，思维的广度和深度就会有质的飞跃。高中生喜爱想象，善于想象，这是他们的优点，教师一定要善于引导，鼓励他们多想象、多联想。

3）要鼓励学生相互合作。在教学中，学生对知识理解有差异性，教师在有限的时间不可能照顾到每一个学生的进度，学生之间的合作探究非常重要。学生通过合作，在知识上相互补充，在学习方法上相互借鉴，从而更有效地发挥他们的潜能。

在教学中，教师采用各种方法，开阔学生的思路，寻找解决问题的多种途径和方法，大胆质疑，对发展学生的思维，特别是创造性思维大有裨益［3］。

3 逆向思维

逆向思维是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。在数学学习过程中，从问题对立面出发进行逆向思维，可以让学生突破传统的思维定势，出现立竿见影的效果。如何进行有效地逆向思维训练呢？1）重视概念、定理、公式、法则的理解。2）强调基本方法的活用。特别是常规解法出现情况比较多而其对立面情况又较单一时，采用逆向思维，解题思路更加清晰明了。

例如，如果命题“∃x∈R，ax2-2ax+3≤0”是假命题，则实数a的取值范围是什么？可以先求它的否定，再求实数a的取值范围，运用补集的思想来求解，这样，学生比较容易理解，解法也简便。

4 发散思维

发散思维是指以某个问题为中心，多方向去思考，找出尽可能多的答案。比如，针对双曲线的定义——平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，可以提出以下问题，让学生去思考，去猜想。

1）绝对值能不能去掉，若去掉绝对值它将是什么轨迹？

2）把“小于”改为“等于或大于”，其它条件不变，情况将发生什么变化？

解一题、会一类、通一片，是解题永恒的追求目标［4］。可以针对同一问题，从不同的思维角度进行变式训练，加强一题多解、一题多变、一题多思等的训练，让学生体会数学思想方法的灵活运用与转化，激发学习兴趣，培养思维能力。

例如，已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值。

求解之后，可以让学生思考：

1）如果将点A（3，2）的坐标改为（3，4），|PA|+|PF|的最小值有什么变化？

2）求出动点P的坐标。

5 联想思维

联想是一种心理现象，是由一个事物到另一个事物的心理过程［5］。学生在解决具体问题时，可以联想与之接近或相似的原理、方法、结论、题目及数学思想，把题目的条件与结论用一系列的因果链接连接起来。高考中考查能力的题目往往是几个重点、热点内容的有机组合，它们往往来源于简单题，即“简单题+简单题=难题”，而数学解题是命题的连续变换［6］。

比如，从近几年的高考试题分析，对圆锥曲线部分的考查主要集中在以下方面：

1）椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程以及几何性质。

2）圆锥曲线的各个量，特别是离心率。

3）直线与圆锥曲线的关系，涉及弦长、焦点及取值范围、最值等问题。

它们都是由几个简单的知识点综合在一起的。

总之，进行高考复习指导时，要以教材为本、夯实基础，减少大规模的强化训练，引领学生感受过程，培养解决问题的能力。教师在教学过程中采用各种方法调动学生的积极性，可以使学生乐学数学，多向思维，增强数学学习的实效性。

［1］涂荣豹.数学教学认识论［M］.南京：南京师范大学出版社，2004：130-135.

［2］陆学政.脚下本有多条路，缘何无法通“罗马”［J］.中学数学，2011（8）：18-19.

［3］余锦银.对一题多解的辩证理解［J］.中学数学，2011（7）：30-32.

［4］马德宇，王纯旭.如何进行高三数学解题后的反思［J］.中学数学月刊，2011（8）：35-36.

［5］张雄，李得虎.数学方法论与解题研究［M］.北京：高等教育出版社，2006：30-35.

［6］波利亚.怎样解题［M］.上海：上海科技教育出版社，2007：127-130.