矩阵在“高等代数”中的应用基础分析

凌蕾花，卜玉成

（1.镇江高等专科学校 人事处，江苏 镇江 212003；2.镇江高等专科学校 教师教育系，江苏 丹阳 212300）

林大华［1］讨论了矩阵方法在“高等代数”课程中的应用，系统归纳了矩阵理论在线性方程组、二次型、线性空间、线性变换和欧氏空间中的应用。

卜玉成［2］讨论了矩阵在行列式理论中的应用，胡俊山［3］、石华［4］等也对矩阵的一些应用作了分析。

本文将在他们研究成果的基础上进一步分析矩阵方法的应用成因，以把握其内在规律，改革教学方法，提高教学质量。

1 矩阵的概念与起源

分析矩阵方法的应用，首先要清楚矩阵的概念和起源。

目前，国内《高等代数》教材众多，在解释矩阵这一概念时，有不少编者将矩阵描述为“数排成的表”。

莫里斯·克莱因在其所著《古今数学思想》中指出，“矩阵这个词首先是由Sylvester使用的，这是发生在他实际上希望引用数的矩形阵列而又不能再使用行列式这个词的时候”［5］。

可见，矩阵这一概念应描述为“数的矩形阵列”。这一描述比“数排成的表”更为贴切。

对于矩阵的起源，莫里斯·克莱因［5］在其著作中同样作了介绍。对此，他引用了大家公认的矩阵创始人凯雷的原话“我绝不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是从行列式的概念而来，或者是作为方程组

的方便的方法而来的”。由此推断，矩阵这一概念可能起源于行列式或方程组，行列式和方程组理论的发展共同推动矩阵理论的发展。

2 矩阵应用于线性方程组

关于矩阵理论在线性方程组理论中的应用，林大华［1］归纳为以下3个方面：

1）线性方程组解的存在性判定。

2）具体解法。

3）齐次线性方程组解的结构。

显然，具体解法是重点，由它完全可以推导出1）和3）。具体解法中的重点是将原方程组的增广矩阵进行行初等变换化为阶梯形或行最简形矩阵。可见，矩阵的行初等变换是矩阵对线性方程组的作用因子。

关于线性方程组的解法，林大华［1］将Cramer法则也列举出来了，这一点值得推敲。Cramer法则确实是线性方程组的一种解法，但它的结论显然是用行列式而非矩阵来表示的，而矩阵概念的形成晚于行列式。关于Cramer法则，杨浩菊［6］专门进行了历史研究，其结论进一步表明了这种观点。因此，Cramer法则应理解为行列式理论对矩阵的应用。

3 矩阵应用于行列式的成因

“行列式是矩阵概念的起源之一”这一观点已经表明行列式理论对矩阵理论的意义和作用。当矩阵理论发展壮大后，它对行列式理论的发展产生了巨大的反作用。关于矩阵与行列式的这种辩证关系，卜玉成［2］作了一些讨论，矩阵理论对行列式理论的作用突出表现在，它可以导出行列式的基本理论，其中，n阶行列式的定义是数域F上n阶矩阵构成的集合到数域F的函数的取值，推导行列式的性质也完全是在矩阵的行初等变换下进行的。由于行列式定义和性质是其理论基石，故矩阵的行初等变换在行列式基本理论重建中起了重要作用。

4 矩阵应用于线性空间、线性变换和欧氏空间的成因

“高等代数”主要讨论有限维线性空间。对于有限维线性空间来说，基是核心概念，因为基可以生成整个空间。对基的分析可分为2种情形：基已知和基未知。

1）基已知时，可以将空间中任意向量用坐标表示，而求坐标的过程恰恰是解方程组的过程。

2）基未知时，需要不断地扩充向量组使之成为基，扩充过程要保证每一次添加后的向量组线性无关，而判断线性无关的方法也是解方程组。

另外，考察同一线性空间两个基之间关系的概念是过渡矩阵，而过渡矩阵的求解还是解方程组。于是，矩阵理论成功应用于线性空间理论关键在于解方程组，而解方程组的关键就是矩阵的行初等变换。可见，矩阵的行初等变换也是线性空间理论的作用因子。

线性变换是2个线性空间上的映射，线性变换在基下的矩阵概念表明线性变换完全可以由基和该矩阵来刻画，而无论是基还矩阵本身其作用因素仍然是矩阵的初等变换。

欧氏空间本质上就是定义了内积的线性空间，而任意两个向量之间的内积可以通过这两个向量在基下的坐标和度量矩阵来表示，即V是一欧氏空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，对于∀α，β∈V，α，β在基ε1，ε2，…，εn下的坐标分别为

则内积

其中，A是度量矩阵。可见内积概念是由坐标和度量矩阵来刻画的，而无论是坐标还是度量矩阵本身，其作用因素还是矩阵的初等变换。

另外，正交变换是欧氏空间中的一个概念，而由它的定义就可以看出，它完全是由内积和线性变换来确定的，内积和线性变换的作用因子仍然是矩阵的初等变换。

由此可见，矩阵理论在线性变换和欧氏空间的应用只是进一步体现了矩阵理论对线性空间的作用，其应用基础没有变，仍然是矩阵的（行）初等变换。

5 矩阵应用于二次型的成因

二次型矩阵概念将二次型与矩阵建立起对应关系，这充分体现了矩阵对二次型的作用。在二次型基本理论中，二次型的分类和正定性是主要问题。

二次型的分类依据是二次型的标准形（规范性），而其标准形（规范性）的求解方法之一就是合同变换法，这一过程则完全是矩阵的初等变换。

二次型的正定性判定方法之一是判断其矩阵与单位矩阵是否合同，用合同变换法可以解决这一问题。

可见，矩阵理论成功应用于二次型理论，合同变换法是关键，而合同变换法的过程就是矩阵的初等变换。于是，矩阵的初等变换对二次型理论同样十分重要。

6 矩阵应用于一元多项式的成因

一元多项式是高等代数学的重要部分之一，矩阵在一元多项式中也有应用。

刘娟、马宝林［7］提出了一种求3个多项式最大公因式的方法，这种方法比辗转相除法更方便，其要点仍然是矩阵的行初等变换。

同时，文献［7］也指出，矩阵可以讨论最小多项式、结式［8］等问题，这些问题都是通过矩阵的行初等变换来完成的。可见，矩阵的行初等变换在一元多项式中也有重要应用。

7 矩阵作用成因的本质

矩阵在“高等代数”课程中的应用不论是直接的还是间接的，矩阵的行初等变换已经成为应用的核心因子。图1简要归纳了矩阵的（行）初等变换应用于线性方程组、行列式、线性空间、欧氏空间、线性变换和二次型的结构关系。

图1 矩阵初等变换的应用结构图

众所周知，矩阵的行初等变换有3种形式，从表面上看它们各行其是，相互之间没有联系，但经分析后发现：

1）变换1——“用一个非零的数乘以矩阵的一行”规定了矩阵的任意一行元素可以同时做乘法（乘数相同）或除法（看成是除以非零数的倒数，除数相同）。

2）变换2——“把矩阵的某一行的倍数加到另一行”规定了矩阵的任意2行元素可以做加法和减法（当倍数分别是1和-1时）。

3）变换3——“互换两行的位置”规定了矩阵的行对位置的相对独立性，为前2种变换创造更宽松的条件。

3种变换的核心理念就是强调行的整体性，即位于同一行的元素不论作何种变换都要统一行动。因此，矩阵的行初等变换在本质上是为矩阵的行作一定的四则运算而制定的规则，解方程组理论、行列式理论重建、基理论等只是在此规则上完成的一项任务。

8 结束语

矩阵的（行）初等变换在矩阵应用于线性方程组、行列式、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型中起到了关键性作用，在一元多项式中也有一定作用。这就需要我们充分认识到这些作用，把握作用的本质，深刻理解矩阵理论的基本点，将矩阵的初等变换贯穿“高等代数”的整个教学过程，使学生的学习有“源”可循。在教学中要高度重视矩阵的初等变换概念，要让学生理解并熟练掌握初等变换的3种形式，特别要注意，在变换过程中，不要“相互交叉”，更不能随意变换，保持各种变换的相对独立性和确定性。

［1］林大华，戴立辉，吴霖芳，等.高等代数课程中矩阵方法的应用［J］.牡丹江教育学院学报，2010（5）：112-113.

［2］胡俊山.矩阵工具在《高等代数》中的应用［J］.保山师专学报，2008（5）：26-29.

［3］石华.矩阵在高等代数中的应用［J］.黑龙江科技信息，2010（31）：170.

［4］卜玉成.浅析行列式与矩阵的辩证关系［J］.镇江高专学报，2008，21（1）：51-53.

［5］莫里斯·克莱因.古今数学思想：第3册［M］.上海：上海科学技术出版社，2002：208.

［6］杨浩菊.克莱姆法则历史研究［J］.西北大学学报：自然科学版，2004（2）：242-245.

［7］刘娟，马宝林.浅谈高等代数的“纵关”与“横联”［J］.长沙大学学报，2010（5）：97-98.

［8］杨子胥.高等代数习题解：下册［M］.济南：山东科学技术出版社，2001：355.