☉湖南临武县第二中学 唐孝传
中考问题考点透视
☉湖南临武县第二中学 唐孝传
新的课程标准更多地强调我们用数学知识解决生活中的问题,体现数学生活化和生活数学化.随着新课程的不断深入,中考命题中越来越注重数学知识的运用,其中航海问题就是热点考题之一.这类问题形式多样,新颖独特,生活性强,是对同学们运用数学知识解决实际问题能力的考查.
解决此类问题的关键在于:①弄清题意,将实际问题转化为数学问题;②构造直角三角形,弄清直角三角形中,已知线段、角和未知条件之间的关系;③分析图形特点,从不同角度思考问题.现将有关的考题进行分类整理,供同学们学习时参考.
例1 如图1,客轮在海上以每小时30km的速度由B向C航行,在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°,测得C处的方位角为南偏东25°,航行1小时后到达C处,在C处测得A的方位角为北偏东20°,则C到A的距离为( ).
点拨:通过作BD⊥AC于D,将AC分成CD与AD的和,证得△BCD为等腰三角形,利用解直角三角形求出CD和AD的长,问题将得以解决.
故选择D.
例2 如图2,小岛A在港口P的南偏西45°方向,距离港口81海里处.甲船从A出发,沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口,乙船从港口P出发,沿南偏东60°方向,以18海里/时的速度驶离港口.现两船同时出发.
①出发后几小时两船与港口P的距离相等?
点拨:①设出时间这个未知数,利用路程相等,建立方程即可求解;②乙船在甲船的正东方向,实质就是求出发后几小时后乙船和甲船所处点(D点、C点)的连线与南北方向垂直,这样可联想过点P作PE⊥CD于E,AE即为Rt△PCE与Rt△PDE的公共边,因此,运用解直角三角形的方法,利用PE的长为等量关系建立方程,即可求出出发后的时间.
解:①设出发x小时后两船与港口P的距离相等,根据题意得,81-9x=18x解得 x=3.
答:出发3小时后两船与港口P的距离相等.
②设出发y小时后乙船在甲船的正东方向,此时甲、乙两船的位置分别在点C、D处,连接CD,过点P作PE⊥CD于E,则点E在点P的正南方向.
答:约3.7小时后乙船在甲船的正东方向.
例3 一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港.
求:①A、C两港之间的距离;②确定C港在A港什么方向.
点拨:画出示意图(如图3),证得△ABC是等腰直角三角形,即可求得AC的长和∠CAB的度数,∠CAD就是C港在A港的方位角.
解:①根据题意得,∠ABC=90°AB=BC=10.
②因为△ABC为等腰三角形,所以∠CAB=45°,∠CAD=60°-45°=15°.
所以C港在A港的北偏东15°的方向上.
例4 如图4,甲船在A处,测得乙船在甲船的北偏东30°的B处正以每小时10km/h的速度向正东方向行驶,若甲船从东北方向追赶乙船,计划在2小时后追上,求甲船的速度(结果保留根号).
点拨:延长CB交AD于D,在Rt△ADC中和Rt△ABD中,通过解直角三角形用AD的长分别表示出CD与BD的长,然后利用BC=CD-BD构建方程,求出AC的长,即可求出船速.
解:延长CB交AD于D,由题意可得,CD⊥AD.
图5
点拨:船是否有被浅滩阻碍的危险,实际是探讨航标C到直线AB的距离与120m的大小关系.通过作CD垂直于AB的延长线D点,在Rt△ACD和Rt△BCD,通过解直角三角形,用CD的长分别表示出AD和BD的长,然后利用AB=AD-BD建立方程,求出CD的长与120m相比较即可.
解:作CD垂直于AB的延长线于点D,设CD=xm.
在 Rt△BCD 中,因为∠CBD=45°,所以 CD=BD=x.
所以这条船继续前进,没有被浅滩阻碍的危险.