灵活多变求几何图形阴影面积

☉湖北仙桃市三伏潭一中 王丹仿

探求与圆有关的阴影面积一直是中考命题的一种题型，尤其是近几年来，考题新颖，还有一定的难度.不少同学对这类题型感到头疼.为了帮助同学们掌握这类题型的解题方法，特作如下归纳总结.

一、规则图形求差法

有些阴影部分是由一些规则图形拼接后留下的空当，这类问题可以先求出规则图形的面积，再求差即可解决.

点评：仔细观察图形，搞清阴影部分的构成情况，是正确求解的基础.

例2 如图2，圆心角都是90°，半径分别为3和1的扇形AOB与扇形COD按图示方法叠放在一起，连接AC、BD，求图中阴影部分的面积.

分析：图中阴影部分看起来比较复杂，但仔细观察就会发现，由于△AOC≌△BOD，若将△BOD逆时针旋转90°至△AOC的位置后，阴影部分的面积实际上是两个半径分别为3和1的扇形面积之差.

解：因为OA=OB，∠AOC=∠BOD，OC=OD

所以△AOC≌△BOD.

点评：图中阴影部分也可看做将扇形COD逆时针旋转∠AOC的度数后，扇形AOB与扇形COD面积之差.

二、转化图形求和法

有些阴影部分的面积，直接求比较困难，需要利用等积变换转化为其他图形的面积.

例3 如图3，半圆的直径AB=40，C、D是这个半圆的三等分点，求弦AC、AD和弧CD围成的阴影部分的面积.

分析：不难证明CD∥AB，图中阴影部分是弓形CD和△ADC面积之和，利用S△ADC=S△DOC， 即可将阴影部分转化为扇形COD.

解：因为C、D是半圆的三等分点，所以∠COD=∠AOC=∠BOD=60°.

因为OC=OD，

所以△COD是等边三角形.

所以∠DCO=∠CDO=60°.

所以CD∥AB.

点评：利用平行线间的距离处处相等可进行等积变换.

三、分割图形求差法

有些阴影部分整体求比较困难，可以先分割为几个部分，分别求面积后，再相加.

例4 如图4，同学们要在一块边长为a的正方形空地上种草，他们设计了如下图案，其中阴影部分为绿化面积，求绿化面积.

分析：图中阴影部分可通过连接BD将其分割成两块，先求出其一半，即可得整个阴影部分的面积.

解：连接BD.

点评：（1）本题将阴影部分先分割为两个相同部分，再将其中的一部分分割为一个扇形和一个三角形面积之差.

（2）图中阴影部分的面积也可看成由扇形ABD加扇形BCD的面积再减去正方形ABCD的面积求得.

总之，求阴影部分的面积要在分清类别的情况下，采取相应的对策.当然，各种方法之间并无绝对界限，解决问题的途径不一定只有一个，只要同学们多思考多观察，一定会找到相应的对策，甚至能一题多解.