找准核心问题 构建探索课堂——小数乘法教学研究报告

北京育翔小学回龙观学校（100085） 赵 震

“好”的课堂教学除了传授知识外，必须能调动学生学习的积极性，引发学生的思考。既能培养学生良好的学习习惯，也能让学生掌握有效的学习方法。“小数乘法”是小学数学计算教学中的重点内容，其中的小数乘小数是教学中的难点之一。如何在理解算理、掌握算法的过程中促进学生的思维？如何有效培养学生的运算能力、帮助学生积累必要的数学活动经验？笔者基于对教学的整体把握，结合教学研究与实践，积极寻求有利于促进学生思维的核心问题，引发学生对小数乘法算理的探索。

一、问题初显——学情后测

学生在五年级系统完成了小数四则运算的学习之后，实际效果是怎样的呢？笔者对本校刚刚升入六年级的249名学生进行了调研。

1.小数四则运算的调研

调研题目：

9.3+2.7= 3.21+5.8= 1.9+3.16=

7.6-5.7= 8.52-1.8= 4.07-0.69=

3.4×7= 5.9×1.3= 1.25×4.2=

7.83÷0.9= 12.6÷0.28= 3.264÷1.6=

调研结果：

运算类型 ＋ － × ÷正确率 9 6.0% 9 4.8% 9 1.6% 8 8.4%

其中，小数乘法三个题目的错误情况：（总计21人次出错）

题目 3.4×7= 5.9×1.3= 1.2 5×4.2=错误人数 3 6 1 2

从学生计算小数乘法的错误类型来看，50%以上的错误与小数点有关。

主要错误：没点小数点；小数点点错位置。

初步结论：

（1）小数乘法计算的错误率不亚于小数除法；

（2）不会确定积的小数位数（小数点的位置）是造成计算错误的主要原因。

2.侧重小数乘法算理的调研

调研问题：在计算2.4×0.8时，有的学生说：“先把2.4和0.8看成24和8做乘法计算，再把乘积从右往左数出两位点上小数点。”这样做有什么道理？

调研结果：

情况分类 明确解释 知道道理 没有正面回答所占比例 3 8.5% 2 5.6% 3 5.9%

仅有38.5%的学生（95人）能结合“积的变化规律”进行明确解释和说明，35.9%的学生（89人）用“这样做简便”“这样好做”等语言描述这样做的好处或是重复叙述计算过程。说明：随着时间的推移，学生对算理的理解已逐渐淡化，并在运算能力达到自动化的同时不自觉地变成了计算的工具。当然，这绝对不是我们每一位教师愿意看到的。因此，在教学中应加强学生对小数乘法算理的理解。

面对后测的结果，自然地让我们寻找造成这一现象背后的原因：作为教师，我们在以往小数乘法的教学中到底缺失些什么呢？学生在小数乘法的学习中认知的障碍点是什么？

二、办公室里的“闲谈”——教师访谈

带着这些具体的问题，笔者对两位有着20年以上教学经验的教师进行了访谈。

问题一：T、L两位老师好！首先，两位能不能简单地向我们介绍一下在教学小数乘法这部分内容时通常采用的做法？

T教师回答：小数乘法教学中一般分为小数乘整数和小数乘小数两个阶段来进行。在教学中我一般先引导学生把整数乘法笔算的经验迁移到小数乘整数上来，然后通过观察比较计算实例，总结积的小数位数和因数小数位数之间的关系，最后把小数乘整数作为新的重要经验再迁移到小数乘小数上来，最后还是能比较顺畅地突破重点难点的。

L教师回答：基本上我也是这么实施教学的。我认为教学中最重要的就是引导学生利用整数乘法学习中“积的变化规律”进行迁移，从而理解小数乘法的算理、掌握算法，培养学生的推理能力，再进行适当地练习学生就能形成较好的运算思维。

问题二：学生在学习时一般存在哪些主要的困难？您又是如何解决的？

T教师回答：小数乘法是五年级上册第一单元的内容，学生受新学期刚开学的影响，有不少人在新课学习时往往听课的状态不好，理解上不够明确。不过在后续的练习中还是能够比较快地理解和接受。如果说困难的话，就是学生对积的变化规律认识不牢固，尤其是两个因数都是小数时会出现错误。比如一位小数乘一位小数时认为积也是一位小数，两位小数乘一位小数时就把积定为两位小数。不过，通过对积的变化规律教学进行补救，还有反复说理，还是能够解决这个困难的。

L教师回答：我感觉学生的困难不是很大。虽然刚开始用竖式计算时，在对位上、在确定积的小数点时会出现一些错误，但通过辨析纠错和练习还是能改正过来的。

从对两位教师的访谈中，可以清晰地了解包括我们在内的众多教师的认识和看法：（1）积的变化规律是核心算理；（2）从整数乘法——小数乘整数——小数乘小数来看，迁移是有效的教学策略；（3）加强说理、注重辨析、辅助练习是提高运算能力的重要手段。

值得继续思考的问题：

（1）这都是我们习惯的教学呀！以往教学中的问题究竟在哪儿呢？

（2）学生的运算能力肯定不是仅仅依靠练习就能形成的，后测中学生的问题又该怎么解决呢？

（3）我们在实际教学中实现继承中的发展究竟又该做些什么呢？

三、不同版本教材的梳理

查阅现行几套主流教材发现，人教、苏教、新世纪版教材均安排在四年级下册或五年级上册系统学习小数四则运算，且都显示出以下共同特点：

1.充分注重学生学习小数乘法必要知识经验的积累：如小数的意义、整数乘法中积的变化规律、小数点的移动等；

2.选择货币、长度、面积和典型数量关系等作为小数乘法教学的实际背景，从而加强学生对小数乘法意义的理解。（如下图）

两点启发：

1.新世纪版教材注重推理，除去积的变化规律外，还采用了面积模型、单位转化的推理等方式丰富和加深学生对算理的理解；

2.适当拉长从理解算理到总结算法的过程，加强理与法的融合。各套教材均没有用文字明确归纳出计算法则，人教版在例4中才对丰富的计算实例进行算法的分析、归纳。

两个新的、无法回避的核心问题：

1.运算能力的内涵到底是什么？

2.小数乘法计算教学究竟该给孩子们留下什么？

四、寻找目标——课标解读带来的启发

1.十个核心词之运算能力

运算能力：主要是指能够根据法则和运算律正确地进行计算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。一是指运算；二是指运算能力。运算能力不仅仅指会算和算正确，还包括对于运算本身的理解。

就小数乘法而言，何为运算本身呢？（1）运算对象——要解决的是什么问题（运算背景的意义和价值）；（2）运算的意义——小数乘法的意义；（3）算理——指积的变化规律，包括小数的意义、乘法的意义尤其是小数乘法的意义，还有运算律等。

美国德拉华大学蔡金法教授在“关于中国数学双基教学的思考——基于中美学生数学学习的系列实证研究”提出了一个观点：就计算教学领域而言，我们的计算教学不应以计算的正确率为唯一目的，而应当让内容适当作为问题解决的范畴，成为引发学生进行开放性地、创造性地思考和解决问题的重要过程。正如课程标准所言：学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。

2.关于“四基”中的“基本活动经验”

随着新课程改革的不断深入，帮助学生在数学学习中积累必要的基本活动经验已经引起广大教师的关注与重视。

何为基本的数学活动经验？主要是思维的经验和实践的经验。

启发与思考：我们以往所谓传统的教学还是明显呈现出过度的追求知识性目标，换句话说还是急于总结归纳出计算法则，把学生计算的正确律乃至运算速度作为评价学习效果的唯一标准。欠缺的是对过程性目标的关注与落实，即上述提到的学生对运算本身的理解。

另外，就小数乘法算理、算法的理解而言，学生的认知、理解能力目前又是怎样的水平呢？真正的障碍点在哪里？怎样做才能丰富和加深学生的认识？

五、走进学生——系列性学生调研的收获

学前调研题目1：用你喜欢的方式解决下面两个实际问题。

（1）一个杯子售价3.5元，买3个这样的杯子要花多少元？

（2）一根跳绳长1.6米，5根这样的跳绳一共多少米？

测试目的：实际背景下学生对小数乘整数的理解。

情况分析：在对五（1）、五（3）两个教学班（不同任课教师）实际调研中，面对货币、长度情境下的小数乘整数计算，有90%以上的学生依据小数加法、积的变化规律、单位间的转化、运算定律等已有知识经验进行正确解答。部分学生做法：

学前调研题目2：用你喜欢的方法计算下面两个小数乘法题：

0.2×4= 0.3×0.2=

测试对象：五（2）、五（4）（任课教师同上）。

测试目的：无实际背景情况下学生对小数乘整数、小数乘小数的解决办法。

情况分析：

（1）小数乘整数：依然有88%以上的学生能利用上述几种方法正确分析并解答。

（2）小数乘小数：正确率为45%，其中，5%的学生利用小数乘整数的经验进行推理，12.5%的人用竖式计算，27.5%的学生利用积的变化规律得到结果。有55%的学生在计算“0.3×0.2=？”时结果错误，除个别学生出现空白和“00.6”之外，错误答案均为0.6。

正确做法：

存在困难：

（1）寻求实际背景无果。

（2）寻求直观模型无果。

（3）整数积的变化规律不能正确迁移。

（4）整数乘法、小数加减法经验的负迁移。

（5）小数意义、小数乘法意义理解上的磨难。

两次前测后得出初步结论：

（1）小数乘整数与小数乘小数有着明显的难度差异，困难集中在小数乘小数。

（2）小数的意义、积的变化规律等都应当加强理解并作为学习小数乘小数的重要基础。

（3）教学中教师有必要向学生提供小数乘小数问题的实际背景，促进学生有效思考。

学前调研题目3：

（1）一个广场长30米，宽20米，面积=____×____=（ ）平方米。

（2）一个花坛长3米，宽2米，面积=_____×_____=（ ）平方米。

3.一块地砖长0.3米，宽0.2米，面积=____×____=（ ）平方米。

请写出上面第（3）个问题的思考过程。

测试目的：面积背景、题组信息形式下学生对小数乘小数的认识水平与推理能力。

测试对象：五（5）、五（6）。

情况分析：61.2%的学生得到正确答案，正确率明显改观。更多的学生把整数乘法中积的变化规律迁移到小数乘法中，并进行分析推理，形成了相对完整的分析过程，也有部分学生从运算律、单位间的转化、小数乘法的意义等方面进行解答，体现了学生对算理丰富而深刻的思考。

但突出的困难也依然存在：“0.3×0.2=？”，仍有相当一部分学生认为答案是0.6，其中一小部分学生能对结果的正确性产生怀疑，但对正确结果0.06又存在着一定的理解困难。此时，0.3×0.2的结果到底是0.6还是0.06？“0.3×0.2=0.06”的道理究竟是什么呢？明确的问题已然成为学生探索小数乘法算理时有效的思维支点。这时就需要教师在实际教学中借助具体情境引发学生对获得正确结果的思考，在明确的探索与交流的过程中借助直观手段加强对小数乘小数意义的理解，从而厘清认识，形成正确见解。

六、教学实践——在课堂中将学生的思维引向深入

课程标准在课程设计思路中明确提出：义务教育阶段数学课程的设计，应充分考虑本阶段学生学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。

1.教学目标

（1）引导学生自主探索小数乘法的计算方法，能正确进行笔算，并能对其中的算理做出合理的解释。

（2）在自主探索的过程中，培养学生观察与推理、抽象与概括的能力，进一步培养估算的意识和习惯。

（3）在师生共同探索的过程中获得积极的数学情感，在主动参与问题解决的过程中增进探索精神、提高学习能力。

2.教学流程

（1）围绕题目，提出数学问题（题目见学前调研3）。

（2）引发认知冲突：“0.3×0.2”，结果究竟是0.6还是0.06？

（3）借助估算，初步排除不合理的结果。

（4）明确探究目标和要求，尝试思考并解决。

（5）反馈、交流（具体内容大体与学前调研3的情况）。

（6）质疑、点拨。

a.有的学生是这样解答的：“0.3×0.2=0.3÷10×2=0.03×2=0.06”。有道理吗？

b.课件直观介绍0.3×0.2的意义，即把0.3平均分成10份，取其中的两份。

（7）多种算法的融合。

a.呈现竖式计算方法（略）。

b.将竖式与学生的算法相联系，在竖式计算中找到各种算法的共通点：把小数乘法转化成整数乘法，并根据积的变化规律获得结果。

3.课堂实践效果分析

（1）0.3×0.2的结果究竟是0.6还是0.06？来自于学生认知的矛盾冲突成为引发学生思考的核心问题，有效地激发了学生的好奇心。

（2）通过直观图明确加强了学生对运算意义的理解，并与单位间的换算、运算律等共同实现了学生对算理丰富而深刻的理解。

（3）竖式计算与学生多种算法的比较梳理，有效达到了从算理到算法的过渡。

实践证明，利用积的变化规律解决小数乘小数的计算问题，确实符合学生的认知规律和思维特点，也有利于学生实现从算理到算法的过渡。因为其分析推理过程与竖式计算过程非常接近，这样做充分关注了小数与整数之间的内在联系。进而，借助直观图加强对小数乘法意义的理解，将会引导学生关注小数与分数之间的紧密联系。再加上单位间转化的巧妙推理、严谨的运算律演绎都极大地促进了学生对算理的丰富理解，不仅有利于加深学生对算法的认可与接纳，也有效促进了学生思维的发展。

综上所述，在整体把握教学的基础上，找准数学核心问题能使课堂充满探索、充满智慧，从而有效促进学生思维的发展，并在对算理的深入探索过程中有效培养学生积极的数学情感和态度。