平中出奇 常中创新——2013－2015 年高考数学全国(课标)卷特色探析

林晴岚 陈柳娟 张 洁

(福建教育学院理科研修部，福建 福州 350025)

近几年全国高考数学课标I 卷II 卷在考查内容上给高中数学课堂教学中落实了课程标准中教学内容目标，具有很好的教学导向功能作用。下面我们主要选择近三年全国课标高考卷为参考依据;(从2013 年开始全国高考课程标准卷又分为Ⅰ卷、Ⅱ卷)进行探析。

一、试卷中考点、题型、题量特色探析

表:2013—2015 年全国理、文科卷考点、题型、题量分布统计表

全国理、文科卷考点、题型、题量分值分布表

从以上图表分析情况看，每份试卷的试题都是考查基本知识、基本技能和基本方法的常规题型，试题构成的总体稳定，风格特点基本不变。

1.1 全国卷数学试题总分、题型、题量

每年全国卷数学文、理科试题总分都是150 分，各题型、题量分布为:选择题12 题，每题5 分;填空题4题，每题5 分;解答题5 题，每题12 分;选考题由3 选1题，1 题分值10 分。每年全国卷数学文、理科试题结构:第1—12 题为选择题，第13－16 题为填空题，第17－21 题为解答题，第22－24 题为3 选1 题选考题，总分、题型、题量、分值分布都保持不变，非常稳定。

1.2 全国卷数学试题考点分布

每年全国卷数学文、理科试题解答题考查内容基本稳定题位:第17 题都是考查解三角形或数列问题，第18、19 题为考查立体几何或统计与概率(正态分布、回归分析、离散型随机变量等)问题，第20 题为考查解析几何(直线与抛物线、圆、椭圆等)问题，第21 题为考查函数与导数问题，第22 题为考查几何证明选讲，第23 题为考查坐标系与参数方程，第24 题为考查不等式选讲。

每年全国卷数学文、理科试题选择、填空题考查内容基本有:集合、复数、三角诱导公式、三角函数的定义、三角恒等变换、三角函数的图像与性质、三角函数的最值、解三角形、简易逻辑、算法的程序框图、线性规划、直线与圆的方程、双曲线的定义、双曲线的渐近线、双曲线的离心率、椭圆的离心率、直线与椭圆的位置关系、圆与椭圆、直线与抛物线、抛物线性质、统计中分层抽样、统计(柱形图)、概率(独立重复试验)、古典概型、条件概率、平面向量(向量数量积)、三视图、球的表面积、几何体(线面关系、体积、角)、圆中弦长计算、圆锥与球、二项式定理(理科)、等差数列、等比数列、数列的递推关系、数列与不等式、数列求和、导数几何意义、对数运算、函数单调区间、函数的奇偶性、函数与不等式、函数动点问题、偶函数的性质、高次函数与二次函数、分段函数、函数图像与性质等。

总之，数学学科的命题是以重点知识构建试题的主体，选材寓于教材又高于教材，试题基本上涵盖高中课程中所学内容，题型的设置几年基本保持一致，选择题、填空题、解答题各部分难易设置合理，突出对主干知识的考查。例如对三角、数列、立几、函数与导数、圆锥曲线等主干知识中核心内容的考查;同时在基础题上考查了集合运算、复数、线性规划、三视图、算法初步、平面向量、古典概型等内容，但是题型呈现的方式也有所变化，体现出命题人稳中求变，既注重在考查基础知识的基础上，对数学思想方法的考查，对数学能力的考查，也注重创新思维的思想考查，试题呈现方式符合课程改革理念和教育发展方向。命题人从学科整体高度和思维价值高度考虑问题，在知识网络的交会点处设计试题，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查［1］，既全面又突出重点，试题立意创新又朴实无华。

二、彰显课标理念特色试题探析

数学高考每年都有一些背景新颖、内涵深刻、寓有新意的试题。

2.1 展现数学的人文价值弘扬数学文化

以数学史为试题情景材料，可以引导学生理解数学，感受数学家的崇高品质以及探究解决问题的过程，这样设计的试题考查学生继续学习的潜能以及分析解决问题的综合能力。

例1(2015 年全国课标理科I 卷6 题)

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛

例2(2015 年全国课标理科II 卷第8 题)

右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a，b 分别为14，18，则输出的a=

解决这类问题，不要被描述数学史的一大段文字所产生麻烦的心情，其实只要仔细审题，从中将有效信息进行加工、分析，就能找到解决问题的突破口将问题解决好。

2.2 展现数学的科学价值，渗透数学精神

数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心。数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符合表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。数学精神其内涵是人们在依靠思维能力对感性材料进行一系列抽象、概括、分析和综合，形成概念、判断或推理的认识过程中反映出的。

2.1.1 以考查“空间想象能力与运算能力”相结合的问题

在近年的高考全国卷中三视图都以选择题的形式出现，试题始终坚持，要求考生首先根据三视图还原几何体，再度量计算几何体的棱长、面积、体积等。

例3(2015 年全国课标卷理科Ⅰ卷第11 题)

圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16+20π，则r=

A.1 B.2 C.4 D.8

解析:由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r。

例4(2013 年全国课标卷理科Ⅰ卷第8 题)

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.16+8π

B.8+8π

C.16+16π

D.8+16π

解析:取棱长为4的正方体，然后把主视图、俯视图、侧视图，分别画在正方体的三个侧面上，然后通过调整各条棱，从而还原出几何体(前半部分为长方体后半部分为圆柱体)。

例5(2014 年全国课标卷理科Ⅰ卷第12 题)

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的每条棱中，最长的棱的长度为( )

解析:要求考生深刻理解三视图的成图原理，再借助长方体，把几何体的直观图还原出来，接着计算几何体的各条棱长，从而得到最长棱的长度，对考生的空间想象能力和计算能力的要求比较高。

评注:三道三视图，都体现了课程标准教学内容中对立体几何的教学要求，即“直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算”，特别是例3。

2.1.2 以考查推理能力的创新问题

例6(2014 年全国卷1 理科第14 题)

甲、乙、丙三同学被问到是否去过A、B、C 三个城市时，甲说:我去过的城市比乙多，但没有去过B 城市;乙说:我没去过C 城市;丙说:我们三人去过同一个城市。由此可判断乙去过的城市为___.

解决这类问题的关键在于准确理解题意，从中寻找解决问题的突破口。

2.1.3 以考查数学应用的创新问题

数学的发展受到社会环境影响，同时也推动人类社会的进步，在试题中渗透数学应用，可以通过设计适合的试题情境，考查学生利用所学数学知识分析、解决实际生活、生产中的问题。

例7(2015 年全国课标理科II 卷第18 题)

某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B 两地区分别随机调查了20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下:

(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可);

(Ⅱ)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级:

满意度评分 低于70 分 70 分到89 分 不低于90分满意度等级 不满意 满意 非常满意

记时间C:“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率。

例8(2013 年全国课标文科I 卷第18 题)

为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B药)的疗效，随机地选取20 位患者服用A 药，20 位患者服用B 药，这40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:

服用A 药的20 位患者日平均增加的睡眠时间:

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4

服用B 药的20 位患者日平均增加的睡眠时间:

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好?

(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好?

例9(2015 年全国课标文科I 卷第3 题)

根据下面给出的2004 年至2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )

A.逐年比较，2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著

B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效

C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势

D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关

这类试题都贴近生活，具有现实意义，在提高学生学习数学与统计概率知识的兴趣，培养学生的应用数学意识，提升学生解决实际问题的能力等方面有着很好的导向作用，体现了新课程注重应用意识和创新能力，展现数学的科学价值，渗透数学精神。

［1］陈昂，任子朝.突出理性思维，弘扬数学文化——数学文化在高考试题中的渗透［J］.中国考试，2015(3).

［2］田祥高.2014 年全国数学高考试题创新特色探析［J］.中国考试，2015(2).