精选巧变 夯基提能

何晓丽

摘 要：化归与转化思想体现了利用动态思维从未知向已知转化的重要过程，没有统一模式，最具灵活性与多样性，有利于开拓思路，是解决数学问题的根本思想，在高中数学的各个模块都有非常广泛的应用.结合文科数学第一轮复习的教学实际，就《导数的综合应用》一课，通过例题的选取、变式、探究等教学设计，谈对高中数学化归与转化思想的践行与感悟.

关键词：数学思想；化归与转化；函数；导数；超越函数

高中数学的学习离不开解题，而解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是，如数与形的转化，命题之间的转化，函数与方程的转化，新知向旧知转化，未知向已知转化，高次向低次转化，高维向低维转化，多元向一元转化，空间向平面转化，复杂向简单转化，超越式向代数式转化等，几乎每个问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.化归与转化思想的实质就是揭示联系，实现转化，因而理所当然成为高中数学最重要的思想之一，在各个模块都发挥着极其重要的作用.笔者结合文科数学一轮复习，通过福州市级公开课《导数的综合应用》的例题设计与教学反思，谈谈自己对这一思想的践行与感悟.

导数是近代数学的重要基础，是联系初等、高等数学的纽带，随着课改的不断深入，考查的要求也逐渐加强，已经由分析和解决问题的辅助地位上升为不可缺少的重要工具.函数是高中数学研究导数的一个重要载体，涉及较多的知识和方法，导数在研究函数问题尤其是单调性、极值、最值 [1 ]方面具有广泛的应用，可以解决函数中的恒成立问题、不等式问题、交点零点问题等，还可以在知识交汇处命题，训练和考查学生的思维能力.

【案例1】已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16，

（1）求a，b的值；

（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[-3，3]上的最小值.[2]

分析：（1）因为f（x）=ax3+bx+c，故f ′（x）=3ax2+b，

由于f（x）在点x=2处取得极值c-16，故有f（2）=c-16且f ′（2）=0，

即12a+b=0，8a+2b+c=c-16，化简得12a+b=0，4a+b=-8，解得a=1，b=-12，

（2）由（1）知f（x）=x3-12x+c，

f ′（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2） ，令f ′（x）=0，得x1=-2，x2=2，

当x∈（-∞，-2）时， f ′（x）>0，故f（x）在（-∞，-2）上为增函数；

当x∈（-2，2）时， f ′（x）<0，故f（x）在（-2，2）上为减函数；

当x∈（2，+∞）时，f ′（x）>0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数，

则f（x）在x=-2处取得极大值f（-2）=16+c，在x=2处取得极小值f（2）=c-16，

由题设条件知16+c=28，解得c=12，

此时f（-3）=9+c=21， f（2）=-16+c=-4，

因此f（x）在[-3，3]上的最小值为f（2）=-4.

在案例1的基础上，笔者精心设计如下探究问题供学生思考交流：

【探究1】恒成立、能成立问题

（1）若任给x∈[-3，3]使得f（x）≤m2-3m恒成立，求实数m的取值范围，

（2）若存在x∈[-3，3]使得f（x）≤t2-5t能成立，求实数t的取值范围.

分析：由案例知f（x）在[-3，3]上的最大值为f（-2）=28，最小值为f（2）=-4，

（1）f（x）≤m2-3m对x∈[-3，3]恒成立？坩m2-3m≥f（x）max？坩m2-3m≥28，

（2）f（x）≤t2-5t对x∈[-3，3]能成立？坩t2-5t≥f（x）min ？坩t2-5t≥-4.

导数为研究函数性质提供了简单、程序化的方法和思路，同时为解决恒成立能成立问题提供了阶梯.此探究把恒成立（任意性）和能成立（存在性）问题转化为研究f（x）的最值问题，同时给出了参数与变量分离的形式，为后继问题提供直观感知.

【探究2】不等式问题

（1）对案例中的函数f（x）=x3-12x+12，求证： f（x）≤28；

（2）已知函数f（x）=x3+x2-12x-28，g（x）=x2-12，

求证：f（x）≤g（x）.

分析：（1）思路1：f（x）≤28即x3-12x+12≤28？圳

f（x）max≤28？坩求函数f（x）最大值；

思路2：f（x）≤28即x3-12x+12≤28？圳x3-12x-16≤0

？坩求函数h（x）=x3-12x-16的最大值.

（2）f（x）≤g（x）即x3+x2-12x-28≤x2-12？圳x3-12x-16≤0

？坩求函数h（x）=x3-12x-16的最大值.

导数在不等式中的应用，一般通过构造一个函数，转化为f（x）>0（或f（x）<0）的形式，再求f（x）的最值而实现.导数为解决此类问题开辟了新的思路，使过去不等式的证明从特殊技巧变为通法，彰显导数应用的灵活性、普适性.

【探究3】零点交点问题

对案例中的函数f（x）=x3-12x+12，

（1）当x∈R时，关于x的方程f（x）=k有两个实根，求实数k的取值集合；

（2）当x∈[-3，3]时，关于x的方程f（x）=k有两个实根，求实数k的取值集合.

分析：由案例知f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞），减区间为（-2，2），极大值为f（-2）=28，极小值为f（2）=-4，且

f（-3）=21，f（3）=3，

（1）当x∈R时，关于x的方程f（x）=k有两个实根

？圳函数y=f（x）图像与直线y=k有两个交点，

结合图像可知k=28或k=-4；

（2）当x∈[-3，3]时，关于x的方程f（x）=k有两个实根

？圳函数y= f（x）图像与直线y=k 在x∈[-3，3]有两个交点，结合图像特征可知-4

探究3更是将化归与转化思想体现得淋漓尽致，一方面，把函数的零点个数问题转化为图像的交点个数问题，另一方面，图像问题又转化为函数性质问题，函数图象直观地反映了两个变量之间的变化规律，直接作图往往比较困难，导致这种规律的揭示经常不尽如人意，当我们把问题转化成为利用导数研究函数性质和图像时，便顺其自然地打开了思路.

所谓“教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行”（园斯金），知识可以通过记忆储存，方法必须领会而后应用.为检验并巩固所学内容，继续让学生思考以下案例：

【案例2】已知f（x）=x-1， g（x），求证：f（x）≥g（x）. [2]

【方案1】令h（x）=f（x）-g（x）= x-1-， x>0 ， h（1）=0，

h′（x）=，令h′（x）=0，得x=1，

当0

当x>1时，x2-1>0，lnx>0，得h′（x）>0，故h（x）单调递增，

则x=1时，h（x）取极小值且为最小值，

所以，h（x）≥h（1）=0即f（x）≥g（x）.

大部分学生给出了方案1的解答，教师引导学生继续思考：

【方案2】f（x）≥g（x）即x-1≥（x>0）

？圳x（x-1） ≥lnx？圳x（x-1）-lnx≥0即x2-x-lnx≥0，

令F（x）=x2-x-lnx（x>0），以下证明F（x）≥0：

F′（x）=2x-1-，令F ′（x）=0，得x=1（x=-舍去），

当0

当x>1时，F′（x）>0，故F（x）单调递增，

则x=1时，F（x）取极小值且为最小值，

所以，F（x）≥F（1）=0即f（x）≥g（x）.

观察以上两个转化方向，方案1求导后的分式中，分子部分仍为超越函数，本题可观察得到零点，而在比较复杂的超越函数中，零点往往不易求解；方案2中经过不等式的等价转化，超越式变为代数式，问题迎刃而解.

高三数学总复习内容多、范围广、题量大，让学生尤其是文科班学生望而却步，而化归思想可以成功解决各个领域的许多复杂的问题，对学生的学和老师的教都颇有益处.老师在加强基础知识和基本方法教学的同时，更要注重数学思想的引导和渗透，让学生掌握科学的方法，达到优化解题的目的.“教育不是注满一桶水，而且点燃一把火”（叶芝），只要把握思想领会方法，学生的自我提升便有了无限可能.

参考文献：

[1]章建跃.普通高中课程标准实验教科书数学（选修1-1）A版[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]董均灿.三维设计（2015新课标高考总复习一轮用书，七省专版·数学文科）[M].上海：光明日报出版社，2009.