小学数学疑难问题的成因及解决策略

黄朝峰

(长乐市教师进修学校，福建 长乐 350200)

随着《义务教育数学课程标准(2011年版)》出台，修订教材不但在各内容领域增加了许多新的内容，而且对许多传统内容的处理方式也发生了理念上的变化，这就对小学数学教师的素养提出了新的挑战，许多教学疑难问题也因此“应运而生”。为此，福州市小学数学学科教研工作室进行广泛征集和深入探讨，发现有很大一部分疑难问题是由于教师的数学本体性知识缺失，以及对数学学科的特性认识不足而造成的。

一、关注数学知识的抽象性，把握好直观与抽象之间的关系

抽象是数学的特点，数学抽象是简约而理想化的，所以当事物经过数学抽象的符号化表示后，得到的数学概念与现实原型未必完全符合。当你忽视了数学抽象的特点，以具体代替抽象，以形式代替本质来理解和判断时，就会走入“指鹿为马”“李代桃僵”的误区。

1.谨防具体代替抽象

数学抽象舍弃了现实对象的所有具体性质而只保留量的关系和空间形式，即只着眼于事物存在的数量关系和空间形式。所以经过数学抽象的符号化表征与具体事物还是存在本质的区别。

问题1 线段的对称轴是1条还是2条?

简析:线段的对称轴是1条(如图1)。因为点、线、面是几何中高度抽象化的、不加定义的原始概念，点无大小，线无粗细，面无厚薄。即在几何线的概念中舍弃了所有性质，只留下在一定方向上的伸长。如图2，画出2条对称轴的显然是被画出的具体的线有粗细所迷惑，忘了它表征的抽象对象是没有粗细的，所以不存在横贯线段中间的这条对称轴。

图1

图2

2.谨防形式代替本质

数学符号是数学的语言，具有一定的抽象性、简约性和明确性。所以每个符号以及由符号组成的关系式的表征细节和定义前提都是表示内涵的重要部分。切不可忽视具体表征细节或定义前提，断章取义地以形式代替本质来误读数学概念或关系。

问题2 圆的直径一定，周长和圆周率成正比例。正方体的体积一定，它的底面积和高成反比例。对吗?

教师应当对变量、函数的数学意义有深入理解，引导自己的数学思维从静态向动态发展。着变化。按问题中所述

二、关注数学知识的整体性，把握好阶段与整体之间的关系

数学作为科学具有相对严密、完整的知识体系，但作为教育学科却要根据学段年级以及对象的认知发展规律制定相应的阶段目标。因此，只有把握整体认识和阶段定位之间的关系，才能做到既不超越阶段越俎代庖，又不囿于阶段以管窥天，为将来的学习发展留有余地。

1.避免整体苛求阶段

考虑到不同学段孩子的年龄特点和认知规律，小学数学的范畴中对于同一个内容、分阶段教学目标定位理应有所区别，教师应该研读教材，理解教材的编排特点，准确把握不同学段和课时目标教学的度，避免超越阶段拔高要求，还要避免各自为政，狭思短视，限制了学生进一步学习发展的空间。

问题3 数图形时，“哪些是角”该如何计算?

简析:争议的焦点一是平角、周角以及介于两者之间的“优角”要不要计入?二是只计“图形内”的角，还是图形“内”“外”的角都要计入?

首先，“从一个顶点引出两条射线，就组成一个角”已经明确角的组成部分。但根据学生的年龄特征，对不同度数的角，教材要求的程度是有不同的。二年级教材中介绍了直角、锐角、钝角，在数角时应只限大于0度而小于180度的角。右图中角3和角4合起来算一个新的角，那角1和角2合起来的平角先不要算，到四年级，教材中讲到了平角、周角等知识，则可以将右图中角1和角2组合而成的平角计入。应当指出，随着学段升高，到了中学，对角的认识还会继续拓展到任意角(正角、负角、零度角)。

又如配套练习中出现的习题如下:

左图争议的是角1和角2要算哪一个，角1是钝角，但却在“图形外”;角2是在“图形内”，但却是个小学阶段不介绍的“优角”。

从教学参考书给出的答案中，可以看出其并不区分“图形内”“图形外”，笔者认为这样的定位是合适的。一个图形的归类应当由其结构特征所确定，而与其所在的位置无关。例如一个正方形，无论它在其他图形内还是外，都改变不了它是一个正方形的事实。

因此，在对相应年级的小学生讲解角的时候，还是应当根据所要判断的图形自身的特征，并结合学生对角的认识的发展水平来确定。有了这样的明确标准，这类问题的争议就可以得到一个相对完满而又富有教学操作性的解决。

2.避免片面臆测整体

德国数学家斯泰因梅茨认为:所有的数学真理都是相对的、有条件的。数学发展的三次危机和重构已经证明了这一点，每一次跨越都是由一种“旧真理”的打破和“新真理”的重建来实现。所以我们在数学教学时要树立辩证发展的数学观，既不能割裂部分与整体的联系，盲人摸象，也不能机械地将阶段片面的结论生搬硬套到整体数学学习内容上，闹出古代《训子》所讽刺的以为写“三”是三横，写“万”就是要划一万横的“学三写万”的笑话。

问题4 直线比射线长，直线比线段长。这两句话对吗?

简析:这两句话都不对。主要是混淆了有限与无限的区别，误以有限臆测无限。

数学中的有限与无限既有联系又有区别，其辩证发展的密切联系在此不予赘述，其质的区别主要有二:一是无限集合中“部分可以等于整体”(如德国著名数学家康托尔认为正整数集和正偶数集的元素可以建立“一一对应”关系);二是“有限”情况成立的许多命题，对于“无限”情况不再成立。

这两个命题都涉及“无限”，所以不能机械的以“有限”的眼光来判断。首先，有限长才有长度，才可比长短。而直线和射线都是无限长的，不存在谁长谁短的问题。其次，比长短要有确定长度，直线可无限延伸属于无限的量，线段在未确定长度之前也是“无限的量”(如不存在最长的线段)，所以直线与未确定的线段之间也是无法比较长短的。

三、关注数学知识的应用性，把握好生活与数学之间的关系

数学源于生活，高于生活，又应用于生活。所以要理性地看待数学与生活之间的联系，既不能盲目地将数学等同于生活，将生活中习以为常的俗称俚语当做科学严谨的数学概念来误用。又不能将数学游离于生活现实背景之外，断章取义、生搬硬套，纯粹的钻牛角尖。

1.勿将数学等同于生活

数学概念多源于生活语言，但是有些数学概念经数学上重新定义后，其意义存在差异甚至截然不同。例如，生活中的高具有“铅垂效应”，单指竖直方向的顶点到某个水平方向的平面的距离，而数学概念中的高不以方向为判断要素。所以，切不可因数学与生活的密切联系而简单地将数学等同于生活。

问题5 质量与重量，路程与距离，有区别吗?

简析:从科学定义严谨来说，两者有区别。

质量和重量是完全不同的两个物理量，区别如下:(1)定义不同。质量是物体惯性的量度，它是任何物体都固有的一种属性。重量则反映了物体所受重力的大小，它是受地球的吸引而引起的。(2)质量是标量，重量是矢量。(3)牛顿力学中的质量是一个恒量，重量则随物体所处的纬度和高度的不同而变化。(4)质量和重量的单位在国际单位制里，质量的单位是千克，重量的单位是牛顿。

虽然在生活和学习中，我们常常遇到对“质量”和“重量”两种说法混淆的情况，但是作为教师对这二者的区别应有理性的认识，由于在小学的学习中，学生还没有了解到更多关于力学的知识，所以教材上尽量不使用“重量”这个说法，而统一使用“质量”及相应的克、千克、吨等质量单位来计量。

同样，路程与距离也是有区别的。(1)距离是描写空间的不同位置两点的数学量或者物理量。因此，如果距离不与物体联系，那么这个距离就不是路程。(2)现实中，距离是最短的路程，路程不一定等于距离。(3)如果路程是对运动体而言的，那么距离就是对静止体而言的。因此，没有运动也就没有路程。

但是，同样出于此时学生认知限制，设计题目时要注意，对小学生不要太苛求，更不要去考查学生对其中区别的掌握。

2.勿将数学游离于现实

数学知识的现实性不容忽视，很多数学问题的都隐含有具体的现实背景而存在，当你脱离了现实背景这个前提，断章取义，就会对一些数学问题产生误识。这种脱离了现实背景，以纯粹代替指定的误识常见于概率问题。

问题6 如何让学生理解“世界上每天都有人出生”等生活中的可能性事件?

简析:上述问题必须基于数学应用与客观现实来理解。这里所说的“一定”“不可能”“可能”是概率论中的术语，是指当我们多次观察自然现象和社会现象后，会发现在一定的条件下，许多事情必然会发生，许多事情必然不会发生，还有许多事情是可能发生的。所以，我们讨论的事件一般指的是客观事件，同时，又是在我们经验范围内发生的事件。如学生提出的“如果太阳系爆炸了，‘地球每天都在转动’这句话就不是一定的。”属于超出人类认识经验的说法，教师应予以正确引导。又如，“世界上每天都有人出生”是一定的。这样的事件超出了学生的认识范围而无法理解，这时教师应提供一些证据帮助学生理解。如可以通过本地区或全国、全世界每天有多少婴儿出生的数据使学生认识到世界上每天一定有人出生。

实践证明，这些超越小学生认识经验的客观事件对于他们来说理解有困难，所以修订版教材先选取了一些学生熟悉的、操作性强的生活情境作为教学素材，让学生经历可能性知识的形成过程，丰富对不确定现象的体验，初步了解现实世界中存在着的不确定现象。然后将这些问题放在本单元末的“生活中的数学”中，一方面可以加深学生对所学数学知识的理解，另一方面也使他们感受到可能性知识与生活的联系，以培养学生的应用意识。

综上所述，很多数学教学疑难问题是由于对数学知识的抽象性、整体性和应用性认识不足造成的，教师只有认真研读教材，提升自身素养，把握好直观与抽象、阶段与整体、生活与数学之间的辨证关系，才能悠然地撑“理性”之篙，向数学疑难更深处漫溯。

［1］全国中小学教师继续教育网.2011年版课程标准解读(小学数学)［M］.北京:中国轻工业出版社，2012.

［2］丁国忠.三年级上册教学疑难问题解答［EB/OL］.http://wenku.baidu.com/view/6e284d78102de2b d960588b4.html.