由一道题想到的数学思想方法——推理思想，让“套公式”变成“长智慧”

浙江嵊州市逸夫小学 裘陆勤

由一道题想到的数学思想方法
——推理思想，让“套公式”变成“长智慧”

浙江嵊州市逸夫小学 裘陆勤

一次偶然的机会我通过鲲鹏小数群得知了王永春教授的《小学数学与数学思想方法》，淘到书后我如获至宝地阅读起来。当我读到第三章《与推理有关的数学思想》时，我不禁想起“长方形面积”复习课中的一道练习题：

如下图，6个相同的小长方形围成了大小两个正方形。已知阴影部分的小正方形面积是36平方厘米。1个小长方形的面积是多少？

读完题目，学生思考片刻后在纸上作答，不久纷纷举手。

师：你是怎么想的？

生1：我先根据阴影部分的小正方形面积是36平方厘米，算出小正方形的边长是6厘米，由此知道小长方形的长是6厘米；再根据大正方形的边长是2个小长方形的长，所以大正方形的边长是12厘米；接着算出小长方形的宽是（12-6）÷2=3厘米。就能算出小长方形的面积是6×3=18平方厘米。

这时，我不得不佩服这名学生清晰的逻辑思维和熟练地运用长方形、正方形的面积公式，成功经历了两次“转化思想”：一次是把大正方形的边长转化成两个小长方形的长；另一次是把小长方形的面积转化为长×宽来计算。他凭借着一些数学技巧，机智地把这道复杂的面积问题转化为简单的应用面积公式题，不失为一种解决问题的上策。

正当我们沉浸在生1的精彩回答时，生2迫不及待地想和大家分享他的思考成果。

生2：我的方法和生1差不多，但又有些不同。我先根据小正方形的面积算出小正方形的边长是6厘米，所以小长方形的长是6厘米。接下去和他就不一样了，你看大正方形边长是相等的，就有小长方形的长+小长方形的长=小长方形的宽+小长方形的长+小长方形的宽，所以小长方形的长=小长方形的宽+小长方形的宽=小长方形的宽×2，因此小长方形的宽是小长方形长的一半，即3厘米。所以小长方形的面积是6×3=18平方厘米。

生2刚说完自己的想法，教室里就响起了掌声，他们不由自主地赞叹“这种方法真神奇”。于是，我进一步把他的想法提升到数学思想方法的高度，他无意识中的“代换思想”，有效地把大正方形的边长用两种长度相等的量去代替，进行变式，使表面复杂、怪异的式子简单化、模型化，从而找到解决问题的突破口，解决了这个复杂的数学问题。

这时，我正为学生能完整地讲出我的预设而高兴时，又有一只小手胆怯地举起，他告诉我还有更简单的方法。

生3：我的方法是36÷2=18平方厘米，就是把阴影部分上下分成两份，和小长方形是一样大的。

面对这意料之外的解答过程，我只能把问题抛给学生，问：“有谁也是这样想的？”两只小手高高举起。

师：为什么小正方形的一半和小长方形是一样大的呢？

生4：我眼睛看上去感觉它们的长和宽差不多。

生5：我用尺子量过了，它们确实是一样长的。

师：猜想，确实是数学学习中的一种好方法。但是数学是严谨的，眼见不一定为实，还记得我们上次练习中的测量9：30的角度，大家量出来是直角，最终却是锐角吗？我们要验证推理后才能说小正方形的一半和小长方形一样大。

为了方便表达，我们给图形的顶点加上字母。

生3：要说明小正方形的一半和小长方形一样大，其实这两部分都是相同的长EH，我们只要说明它们的宽JE和EI相同就可以了。

师：其实我们只要说明E是线段JI的中点就可以了。

生3：刚才生2说了小长方形的长是宽的2倍。线段JI和线段IK都是小长方形的长，线段JE和线段FK都是小长方形的宽，JI-JE=IK-FK，所以线段EI=线段IF。

师：看来点I“身兼数职”，既是线段JK的中点，又是线段EF的中点。

生3：线段EF就是小长方形的长，而线段EI和线段IF是相等的，所以线段EI是小长方形长的一半，就是宽。

（生欢呼，太厉害了，我们成功了）

师：大家真是火眼金睛，一眼看穿了线段的长短。现在我们可以很肯定地用小正方形面积的一半来计算小长方形的面积了。

“变一变，比前面的简单多了。”一个小男孩的自言自语提醒了我，这样的解法不就是巧妙地运用了“几何变换思想”，以运动变化的观点来处理孤立静止的几何问题，把小长方形的面积变换为小正方形面积的一半，收到了意想不到的效果。

原来一道单纯“套公式”的面积计算题，学生只是根据题目的提示机械地应用公式。而我利用一题多解的形式，让学生在观察、猜想、验证、得到不同解答的过程中跳出思维定势，在潜移默化中渗透了数学思想方法的教学，提升了数学思维含量，真正实现了“长智慧”。