例说轴对称在解题中的妙用

【摘要】在数学教学中，要注意把握轴对称在解题中的妙用，它能够使问题化繁为简，使我们的思路豁然开朗。

【关键词】轴对称 解题 妙用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）10-0119-02

轴对称的图案，外在美体现在整齐、美观，内在美体现在性质的间接、实用，尤其是关于最值作图、求多角和、构造全等形、解三角形、寻找符合条件的图形个数等问题，面对条件散、隐含条件深的难题，如果运用轴对称的观点去观察、寻找、构造，可以使我们的思路豁然开朗，现举例说明如下：

一、作对称点，求最小值

问题1.如图已知：∠AOB=30°，点C是∠AOB内部一点，OC=4cm，（1）请在OA边上找一点G、在OB边上找一点H，连接CG、CH，使得△CGH的周长最小，并求其最小值。

解析：要使△CGH的周长最小，考虑作点C关于OA的对称点D、点C关于OB的对称点E、连接DE，分别交OA、OB于点G、H，连接CG、CH，则△CGH的周长最小。

因为点C、点D关于OA对称，所以OA垂直平分CD，因此想到连接OD，得到OC=OD、CG=DG、∠COG=∠DOG，同理，连接OE，得到OC=OE，CH=EH、∠COH=∠EOH，结合条件∠AOB=30°，OC=4cm，容易证明△DOE是等边三角形，边长为4cm，因此△CGH的周长=CG+GH+CH=DG+GH+HE=DE=4cm。

说明：关于最小值的计算或作图问题，常运用轴对称的观点寻找或者作已知点关于某直线的对称点，用轴对称的性质，使问题获解。

二、找对称角，求多角和

问题2.已知4×4正方形网格中，各角如图所示，求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数。

解析：在如图所示的正方形图案中，根据轴对称性质，得到：∠4=∠7、∠5=∠8、∠6=∠9，因此，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠1+∠2+∠3+∠7+∠8+∠9=3×90°=270°

说明：在成轴对称的图案中，利用轴对称性质可以得到很多相等的量，对于解决问题大有帮助。

三、找对称点，造全等形

问题3.如图已知点O是△ABC内部一点，点O关于三边AB、BC、CA的对称点分别是D、E、F三点，求∠D+∠E+∠F的度数。

解析：要求∠D+∠E+∠F的度数，考虑到三个角比较分散，因此想到通过寻找等角将三个角集中，因为点O关于三边AB、BC、CA的对称点分别是D、E、F三点，想到连接OA、OB、OC，由对称性知：△OAB≌△DAB、△OBC≌△EBC、△OAC≌△FAC、于是∠D=∠AOB、∠E=∠BOC、∠F=∠AOC，所以∠D+∠E+∠F=∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°.

说明：如果题目中的已知条件或结论中的量比较分散，且有对称点这一条件时，常利用轴对称构造全等形，从而将分散的条件或结论加以集中，让隐含的条件暴露出来，从而顺利解决问题。

四、用轴对称，解三角形

问题4.小王站在河岸边B观看空中一个气球C的仰角是45°，观看它在水中的像D的俯角是60°，如果小王的眼睛A到水平面的距离AB是1.6 m，求气球距离水平面的高度。（精确到0.1m）

解析：要求气球距离水平面的高度，需解直角三角形，因此，作AE⊥CD，垂足是点E，作BF⊥CD于点F，得到EF=AB=1.6m，根据平面镜成像的轴对称性质，可以发现题目中隐含的等量关系有：

说明：有关平面镜成像问题，要考虑轴对称的性质，得到相等的线段或相等的角这些隐含的等量关系。

五、用对称性，找适合条件点的个数

问题5.如图已知正方形ABCD，在正方形内确定一点，使得这一点与正方形的四个顶点相连，得到的四个三角形都是等腰三角形，像这样的点有几个？

解析：因为正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，容易发现两条对角线的交点O符合题目的条件；另外当AD是等腰三角形的底时，符合条件的点必在AD边的垂直平分线上，当△BCE是等边三角形时，则△ADE、△ABE、△CDE均为等腰三角形，这样容易找到符合条件的点E.根据对称性能迅速找出点F、G、H都符合该题条件，所以在正方形内部符合条件的点共有5个。

说明：如果在轴对称图形中确定符合某条件的点时，常根据图形的对称性使问题迅速得到解决。

作者简介：

刘长良（1962.9-），男，山東省蒙阴县垛庄镇人，毕业于临沂师专数学教育专业，本科学历，中学副高级教师。