分类讨论在数学教学中的应用

【摘要】数学学习是离不开思维的，数学探索也同样需要通过思维来实现。分类讨论是中学阶段很重要的一种数学思想，是学生解题的重要方法。

【关键词】初中数学 分类讨论 数学思想

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）21-0116-02

分类讨论，是一种常用的数学思想，也是一种重要的数学逻辑方法。在解题过程中，正确、合理的分类，能达到化难为易、分而治之的目的。

一、 分类讨论的定义

分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，从而使问题得到解决的一类数学方法。分类讨论是各地近年来中考热点，相关习题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，几乎贯穿于整个中学数学。它主要分布在：数与代数（ 概念分段定义； 公式、定理、法则分段表达；实施某些运算引起分类讨论；含参方程或不等式）；几何（图形位置不确定；图形形状不确定）；其他（题设本身有分类）。

二、分类讨论的原理及作用

通常所说的数学分类讨论方法，就是将被研究的对象按特征分为若干类别，并对它们进行讨论，以此来解决问题的一种数学方法。分类讨论需要的是，实践运用它来解决生活学习中的数学问题。分类讨论对学生的知识面和分析能力、分类技巧有一定的要求，对学生的学习能力考察也有重要的促进作用。

三、 分类讨论的原则

1.同一性原则

按照同一种标准进行分类，即在分类中不能同时使用好几个不同的分类根据。

例1：实数的分类

分析：有同学会把实数分成正数、负数、0、无理数、有理数这几种。这样的分类就不正确了，因为这样的分类使用了按实数的定义和按正负性这两个分类标准。事实上，无理数可以是正数，也可以是负数；而无理数可以是正数，也可以是负数；有理数也是。

2.互斥性原则

分类后不能有既属于这个子项的，又属于另一个子项的项。上面的例1也违反了这个原则。例如3，它既是有理数，也是正数；既是负数，也是无理数。

3.多层次性原则

分类有一次分类和多次分类的区分。一次分类是指对被讨论对象只进行一次分类；而多次分类是指把分类之后得到的每一个子项作为母项，再进行分类，一直分到不能再分为止。

四、分类讨论的具体步骤

1.首先确定分类的对象

2.其次明确分类的标准

3.接下来逐级分类

4.注意用该级的标准来对筛选结果进行检验

5.最后进行归纳，并得出结论

五、分类讨论的几种基本类型

1.与数或式有关的分类讨论

（1）实数分类、绝对值及其算术平方根

（2）与函数及其图象有关的分类讨论 ：如变量的取值范围、增减性

（3）含参数的不等式

（4）涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。

（5）含参数的方程

例2：已知：方程有实数解，求a的取值情况。

分析： 这题要分类讨论，分a=0和a≠0两种情况 。如果题目已知说明了该方程为一元二次方程，那么只要考虑a≠0这种情况。

2.三角形中的分类讨论

（1）与等腰三角形有关的分类讨论：在等腰三角形中，无论边还是顶角、底角不确定的情况下，要分情况求解，有时还要从钝角三角形、直角三角形、锐角三角形这三方面来分别讨论解决（特别碰到跟三角形的高有关的题目）。

1）与角有关的分类讨论

2）与边有关的分类讨论

3）与高有关的分类讨论

（2）与直角三角形有关的分类讨论：在直角三角形中，如果没有指明哪条边是直角边、斜边，这就需要根据实际情况来分类讨论；角的情况类似。

（3）与相似三角形有关的分类讨论

1） 对应边不确定

2）对应角不确定

例3：已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于6，求它的周长。

分析：此题的背景是等腰三角形，边长分成两类：腰与底。这题同时还要注意：分类讨论完，需判断三线能否构成一个三角形。

变式1：已知等腰三角形的一个内角为25°，求这个等腰三角形的顶角度数。

变式2：已知，如图所示，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（16，0），C（0，6），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为8的等腰三角形时，则点P的坐标为___________________________________。

例4：等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为65°，求此等腰三角形的顶角的度数。

分析：此题涉及到三角形高的问题，需从三个方面（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）来进行分类讨论。

变式：已知三角形的两边长分别为10cm和15cm，第三边上的高为7cm，求这个三角形的面积。

3.圆中的相关分类讨论

（1）点与圆的位置关系不确定

（2）弦所对弧的优劣情况不确定

（3）两条弦与直径位置不确定

（4）直线与圆的位置关系不确定

例5：A、B是圆O上的两点，且∠AOB=106°，C是圆O上不与A、B重合的任意一点，则∠ACB的度数是_____________。

分析：点C与圆O的位置关系不确定而分类讨论

变式：已知圆O的半径为5cm，AB、CD是圆O的弦，且AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，则AB和CD之间的距离是________________。

注：用分类讨论思想解决问题须保证科学分类，标准统一，并力求最简。

六、增强分类的意识

分类讨论思想是中学阶段很重要的数学思想方法，但是初中生的分类讨论讨论意识还不够强。这就需要教师在平时的教学中通过结合教材、创设情景、启发诱导等方式来刺激学生，从而培养他们自觉应用分类讨论的意识。

总之，分类讨论的数学方法，可使学生运用已知条件进行开放性猜想，深化对知识的理解，也培养了学生思维的灵活性、严密性和创造性。在平时的教学中，特别是中考复习时，应对“分类讨论”的数学思想要逐步渗透，从而提高解题能力。

参考文献：

[1]全日制义务教育课程标准（实验稿），北京师范大学出版社.

[2]中華人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社，2012-01.

[3]彭林，刁卫东.中考数学命题热点与规律探折，中小学数学，2001专刊.

[4]王燕春.学会分类方法，提高分类意识，中学生数学， 1998.5.

[5]李彩芬.精心设计数学思想实验，中学数学教学参考，2003.5.

作者简介：陈赟（1989-），女，汉族，福建福州人，学士，职称（中学数学二级教师），工作单位：福建省福州第十中学。