探究分数教学 培养“几何直观”

江苏省常熟市张桥中心小学 顾 健

探究分数教学 培养“几何直观”

江苏省常熟市张桥中心小学 顾 健

“几何直观”是《数学课程标准（2011年版）》的十大核心理念之一，《课标》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。”“几何直观”不但是学生理解和解决几何问题的必备技能，可将抽象问题直观化，而且是攻克数与代数难题的得力武器。本文拟以分数教学为例，探究“几何直观”能力的培养。

一、试卷调查与分析

笔者统计了六年级下册一份模拟试卷的测试结果。

表1 六年级下册模拟试卷测试结果统计表 （测试总人数：232人）

由上表可知，该卷中填空题的错误率最高。以下题为例：

许多学生往往惑于“3米”、“四次”等量词，忘记了题中隐含的“图形”，以致得出错误答案。笔者认为，这正是学生们欠缺“几何直观”能力所致。

二、改进教学

上引例题属“数与代数”领域，这一领域相对抽象，理解较难，而利用“几何直观”将抽象的数学对象直观化，能够变虚为实、化繁为简，有助于学生破题、解题。

（一）使用模型

数学源于生活，而生活中的事数学化后，其本身的几何背景往往被虚化于焦外，变得抽象而不易把握。教师可以借助适当的图形模型，把抽象问题形象化。

仍以前题为例，我们可以借助线段图，把“3米的铁丝”看成单位“1”，画出一条线段。题中要求“剪四次”，即将此线段平均分成5份。这时，第一问就转化为“其中的一份是单位‘1’的几分之几”，答案显然是据此，第二问自然迎刃而解。

（二）画图训练

画图示范，是教师培养学生“几何直观”能力惯用的办法。在教师的引导下，学生们大多能较好地模仿。但当他们独立解题时，他们的“几何直观”能力就往往被有意无意地“隐藏”了。究其原因，一是懒于画图，二是以图形描述题意的能力尚有不足。针对上述情况，教学中应重视以下几点。

1．诱发学生画图的意愿

画图解题最初往往是教师的要求，而非学生自觉。只有当它成为学生自觉的行动时，教学才会水到渠成。适当的诱导，特别是解答难题时的“现身说法”，更能激发学生画图解题的意愿。以下是四年级下册“解决问题策略‘画图’”课堂教学的片段：

出示例2。

提问：你能想清楚数量关系解决这题吗？

……

提问：你想到哪里想不清楚了？

生1：想着想着就混乱了。

生2：开始觉得挺简单的，想到面积增加18平方米，就想不清楚了。

师：人的想象是具有局限的，当我们想不清楚的时候，该怎么办呢？

生：画图。

……

教师不是把“画图”直接塞给学生，而是通过创设问题情境，激发学生的认知冲突。有了想象的基础，学生知道哪里有困难、想不清楚，从而产生画图的需求，这种需求越强烈，越能激发学生学习的兴趣，越能走向画图的本质。

2．教授必要的画图技能

有画图的意愿而缺乏相应的技能，画图解题只能是空谈。教师应示范并逐步放手让学生独立画图，帮他们养成基本的画图技能。

在苏教版“稍复杂的分数乘法实际问题（2）”中，如何准确画出线段图是其难点。为了突破这个难点，教师示范画出“今年班级数是24个”后，询问“今年班级数比去年增加了怎么画？去年班级数怎么画？通过这种层层设问，学生逐步掌握了画线段图的方法。

3．培养画图解题的习惯

答题完成后，教师应引导学生回顾解题过程，通过比较，加深学生对直观图形在分析、解决问题过程中作用的认识，让学生切实认知到直观图形的价值，逐步养成画图解题的习惯。

（三）读图训练

数学教学中，遇到一些难以用语言解释的抽象问题时，直观图形的效用就凸显出来了。直观的现实情景和几何形象，有助于激发学生自主思考的意愿，但对图形中数学信息的理解并非与生俱来，需要多加训练。表1就反映了学生读图能力的不足。

1．借助图形表征概念

【片段一】苏教版三年级下册“分数的初步认识（2）”。

图1

图2

通过三种层次的比较，明确：只要把一个图形平均分成了两份，每一份就是该图形的虽然纸片的分法、大小、形状不一，但都符合的基本特征，这一特征是连接这些图形的共同点。借助这些图形，学生能直观地感知不同情境下的进行抽象概括，建构的模型，让的“几何直观”形象深入人心。

2．借助图形表征算理

【片段二】苏教版六年级上册“分数除以整数”。

师：你是怎样想的？

3．图形表征数量关系

【片段三】苏教版六年级上册“稍复杂的分数乘法实际问题（1）”。

师：你能根据题意画出线段图吗？

师：怎么表示？

生：把线段平均分成9份，其中的5份是男运动员，剩下的是女运动员。

师：你能看着线段图再说说题意吗？

师：仔细观察线段图，男运动员与女运动员有怎样的关系？要求女运动员有多少人，可以先求什么，再求什么？你是怎样想的？

解决稍复杂的分数乘法问题时，我们借助了图形直观描述和分析问题，帮助学生理解数量关系，掌握了解决问题的思路。

（四）分析问题训练。

“几何直观”的价值在于帮助分析问题，形成解决问题的思路。利用“几何直观”，就是用图形描述和表征数学问题，帮助学生把握问题情境中的信息，从整体上理解问题，找到问题的突破口，从而获得正确的解题思路。加强“几何直观”教学，不只是要求学生会抽象出直观模型、画图、读图，更要求学生能借助“几何直观”进行观察、比较、分析和想象，进而洞察问题的结构和关系。

（五）体悟思想。

借助“几何直观”分析问题的过程，蕴含着数形结合的思想，其核心就是“数-形-数”的转化。

当学生具备了数形结合的意识，遇到问题时能自觉地利用图形来解释或说明，表明他已具有一定的“几何直观”意识。无论利用何种载体，只要能不断锻炼学生自觉借助图形“说话”的意识，都能有效发展他们的“几何直观”能力。