关注算法多样化背后的同一性

浙江义乌市江滨小学 杨凯明

关注算法多样化背后的同一性

浙江义乌市江滨小学 杨凯明

学生自主探索是算法多样化的源，算理是算法多样化的根。算法多样化使教学过程的价值取向由关注学生的知识与技能向关注学生个性化发展的转变，是学生在群体学习环境中对知识主动建构的过程。在多样化的算法中，教师要引导学生学会观察、分析、比较，反思各种算法,正确认识每一种算法的价值以及每一种算法之间的联系，在比较和联系中掌握最基本的算法。通过摆小棒、拨计数器等直观模型促进算理的思考和理解，实现各种算法的“存异求同”。

算法多样化 运算意义 直观模型 算法联系

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中舍弃了“算法多样化”的提法，它把“多样化”与教学手段、教学评价以及解决问题的策略等相连结。但新课程改革以来，随着教师教学方式的改变，在课堂上放手让学生主动地去探索算法的时候，总是优，评出最优解法，也不要马上把基本的算法强加给学生，而是给学生一个逐步领悟、自我体验、自我肯定、自我选择的过程。通过师生之间的共同评价、比较、讨论，让学生自我完成和掌握基本的算法。

计算教学中，教师不能仅会有许多不同的算法和解题策略，这是学生已有的经验和认知水平存在着差异所造成的。所以，可以这么说，主动探索是算法多样化的源泉。在自主探究中，学生提出一种策略、一种算法，只要是合理的，教师就应该肯定。教师不用刻意组织选佳评仅满足于学生计算方法的多样，而把算理教学置之脑后，算理是算法多样化教学的根。在算法多样化教学过程中，对于不同的算法，教师要在让学生理解算理的基础上，引导学生观察、发现、概括它们的联系和共同特征，要存异求同，而这个“同”就是“算理”。

一、借助运算意义贯通算法

很多时候，学生的各种算法的意义是完全相同的，只是表述的形式不同而已。教师要对学生的多种方法进行联系和沟通，既帮助学生再次明晰算理，又能使学生确定自己在今后计算中应该选择的最优方法。

比如，教学北师大版小学三年级上册 《小数加减法》（如下图），求“淘气两个月一共存了多少零用钱？ ”探索“11.5+3.2”的算法时，学生会出现以下几种算法：

存零用钱

●淘气两个月一共存了多少零用钱？

①11元+3元=14元，5角+2角=7角，也就是14元7角，即14.7元。

②11.5元=115角，3.2元=32角，

教师要组织学生讨论并概括以上四种不同算法之间的区别和共性。在充分理解算理后，引导学生思考：几种算法之间有无联系？他们仅仅是几种不同的算法吗？像算法①和算法③，一种是横式，一种是竖式，相同点是两种方法都用元和元相加，角和角相加；算法②③④都是用竖式计算，算法②是把小数加法转化成整数加法来计算，算法④是本堂课重点要学习的竖式算法。通过观察与思考，引导学生发现四种算法本质其实是一样的，计算小数加法的时候，要相同单位的数才能相加，也就是计算时“小数点一定要对齐”。这个体现小数加法算理的规则，也涵盖了前面学习的多位数加法的算理和方法。这样，小数加法和多位数加法得到了综合贯通，这个同一性恰恰是教学中需要突出来的。在教学活动中，如果只呈现具体的计算方法而不与算理进行有机联系，学生获得的不过是解题的 “技巧”而非解题的“道理”。

二、借用直观模型统一算法

教学北师大版二年级下册《万以内数的加法》时（计算“122＋77=”），借助直观模型与多种算法的对照，增进学生对算理、算法的理解，从而使多样化算法的意义得到统一。

学生自主计算“122+77”，出现以下几种算法：

（1）拨计数器计算

（3）用横式笔算

教师引导学生对这些方法进行评价、比较、讨论、归纳后，不难发现，以上四种算法都服从一个规则相同数位上的数才能相加。算法（1运用计数器把抽象的思维活动转化成形象的直观操作；算法（2）运用数线来解决，每算一步，就在直线上方画一条弧线，在弧线上标出加几，在直线下面写上计算的结果，画线的步骤与口算的步骤一致；算法（3）的横式笔算，迁移到了百以内数的加法的计算方法；算法（4）是用竖式计算，优点在于寓算理 （各个数位对齐）于算法之中。教师在分析这四种方法时，其他三种算法都应该紧紧围绕着算法（1）（运用计数器）教学“先拨122，百位拨1，十位拨2，个位拨2；再拨77，个位拨入7，合起来是个一，十位拨入7，合起来是9个十得到199。也就是个位上7个一和2个一合起来是9个一，十位上是7个十加2个十，就是9个十，结果是199”拨计数器的过程，就是理解算理的过程。因此，要充分运用计数器这个直观模型，丰富和发展学生的各种思维表象，让各种算法“存异求同”计数器、数线、横式、竖式和笔算，几种方法看上去很不一样，但是透过这四种不同的形式，我们运用计数器这个直观模型都能找到同一性（即相同数位对齐，再相加）。

三、借力算理表述优化算法

在解决问题的过程中，学生采用的多种计算方法大部分是合理的，而且都与学生当下的认知水平相适应，都能解决所面临的实际问题，因此都是有价值的，都应该给予肯定。教师要引导学生明白各种不同水平的算法的特点或优点，从而选择适合于自己的最优的方法，感受发现和使用优化的计算方法的喜悦，发展数学思维。

教师要让用不同算法的学生说一说算理，从不同的思维方向、不同的解题思路和不同的解题方法中思考和辨析、比较和扬弃。在上面这些方法中，算法①是基本的解法，算法⑤的解法繁琐又很容易出错，方法②和算法③相对于其他算法更简便。一般情况下，计算总有一个最基本的算法，教师要注重引导学生比较和评价，让每个学生掌握基本方法 （就如上面例子中的算法①），在教学时必须从众多的计算方法中把基本算法“优化”出来。再让学生在理解和表述算理的基础上感受算法②和算法③这两种计算方法思维的独特性，引发学生深度思考，培养学生面对具体运算的时候能主动思考、综合推理、合理变换的意识和技能，训练发散思维、对应思维、逆向思维和优化思维等。当然，实现算法多样化来发展学生思维，一定不能以放弃中差生对基本知识的掌握而成为优生的舞台。发展思维的前提是学生夯实了基础知识，掌握了基本技能。

以上算法多样化的教学，最后都有要求统一用基本的方法进行计算。那我们为什么还要提倡算法多样化？首先，算法多样化能关注学生独立探究、主动思考的过程，能关注和同学合作交流的过程，为不同学生的发展搭建了平台，让不同的学生得到不同的发展。其次，提倡算法多样化，能激活和利用每个学生蕴含的丰富的教育资源，通过“生生互动、师生互动”的学习方式把它转化为集体学习的智慧。最后，算法多样化能让每个学生各自的潜能和创造性都得以发挥，有助于学生思维品质的提升，促进每位学生的思维发展，增进学生获得自我价值实现的机会，从而培养他们的自信心和创新意识。

算法多样化不是目的，而是要让多样化的算法帮助学生理解算理，引导学生从不同角度来看问题，从不同的角度当中发现共性的算理，共性的算理也在多样化中被衬托出来。关注算法多样化，更要关注算法多样化背后的同一性，这个同一性，也就是计算的本质。

[1]刘凤翥.再谈算法多样化[J].中小学数学（小学版），2014（1-2）.

[2]王永.算法多样化与算理[J].小学青年教师，2005（7）.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

杨凯明 中学高级教师，全国课改实验优秀教师，浙江省优秀辅导员、浙江省教科研先进个人，金华市名师，义乌市十大杰出青年、义乌市小学数学学科带头人。

曾获全国第八届小学数学课堂教学评比一等奖，全国第三届新世纪小学数学课堂教学评比一等奖，华东六省一市第九届小学数学课堂教学评比一等奖，浙江省第八届小学数学课堂教学评比一等奖，浙江省课程改革巡礼活动课堂教学和课堂教学设计一等奖。省级课题 “小学数学简约化课堂教学的研究”“小学轻负高质型课堂教学有效设计的实践研究”已取得一定成果。

近几年，围绕课题《基于数学臆测的“理法融合”计算教学实践研究》，通过专家引领、名师交流、课例研究、专题研讨等方式，致力于计算教学的研究，培养学生的运算能力，不仅要让学生“知其然”，还要让学生“知其所以然”，促进、加深对所学知识的理解，发展数感，提升思维品质。