认知负荷理论视角下的勾股定理教学课件设计

李 爽 王光明

(天津师范大学教师教育学院 300387)

勾股定理的证明方法据说超过400种，而且不同的方法与不同的文化、不同种族的思维方式紧紧联系在一起.[1]通过归纳、整理，可以将勾股定理证明方法分为：以欧几里得《几何原本》为代表的演绎法；以赵爽弦图为代表的变换法；以及以伽菲尔德“总统方法”为代表的代数法等.通过对多种勾股定理证明方法的教学及其思想方法的比较，拓宽学生的视野，加深学生对勾股定理知识的理解，使其学会对知识的灵活运用.在“人教版”八年级下册数学教科书中，例题中利用赵爽弦图方法证明勾股定理，并在“阅读与思考”板块中对勾股定理的其他证明方法做了简单介绍.但在实际教学中，对勾股定理证明方法的教学形式单一，只讲解一种证明方法，或是在讲解两者以上证明方法时，并没有讲解各证明方法之间的联系.[2-8]从而导致学生没有从多个视角去理解勾股定理的含义；或是由于没有深刻理解，对公式进行机械记忆.在教学中，如何才能让学生掌握勾股定理，并对勾股定理的内容产生兴趣，这一问题值得深思.认知负荷理论者特别关注如何通过教学设计来降低学生学习过程中的外在认知负荷，由此也可以看出教学设计的重要性.这里将基于认知负荷理论，着重介绍变换法中勾股定理的两种常见证明方法——赵爽弦图证明方法以及毕达哥拉斯证明方法(或称辛卜松证明方法)，对其进行教学课件设计，提出教学指导建议.就如何加深、拓展学生对勾股定理的理解作进一步的探讨.

1 理论基础

认知负荷理论(Cognitive Load Theory)是由澳大利亚教育心理学家John Sweller等人于20世纪80年代末90年代初提出,[9-11]认为人的认知资源(工作记忆)容量是有限的，主张在学习过程中内在认知负荷、外在认知负荷和相关认知负荷的总量应该限制在工作记忆容量的范围之内，否则学习就会受到阻碍，甚至无法继续进行下去.

1.1 内在认知负荷

内在认知负荷(Intrinsic Cognitive Load)取决于学习材料的复杂程度和学生本身已有的认知图式.如果学习材料的复杂程度很高，但学生缺乏这一领域的先验知识，在加工信息时必定会产生较高的内在认知负荷.由于内在认知负荷取决于学习材料的性质及学习者的经验水平，反映了获得某种图式所必须的同时在工作记忆中加工的信息元素的量，所以在既定学习条件下，较难改变.Sweller等人认为，尽管内在认知负荷对教师来说可能无能为力，但对学生来说，这可以通过两种方式来降低：一是图式的建构把原本独立的若干元素组织成一个单一元素；二是图式的自动化，信息加工从受控加工转向自动加工，从有意识的努力转向无需有意注意，因而也能够降低工作记忆负担.

1.2 外在认知负荷

外在认知负荷(Extraneous Cognitive Load)主要是由于不恰当的教学设计所致，可以通过优化学习材料的呈现形式来控制外在认知负荷.外在认知负荷是由与学习过程无关的活动引起的，不是学习者建构图式所必须的，因而又称无效认知负荷(Ineffective cognitive load).认知负荷理论者认为，外部认知负荷主要由教学设计引起，如果学习材料的设计和呈现方式不当，就容易给学生带来较高的外在负荷，干扰其学习.

1.3 相关认知负荷

相关认知负荷(Germane cognitive load)指：如果认知任务要求较低(带来的内在认知负荷较低)，使得学习者还有充分的认知资源可用，这时他就可以投入额外一些认知资源来促进图式的建构.这种在建构图式时不是必须但投入后又有利于图式建构的认知负荷.教学设计的本质就是把外在认知负荷向相关认知负荷转变.

多媒体作品中，适当的信息呈现方式在降低外在认知负荷的同时，还会提高学习者的注意力、兴趣和动机，从而增加相关认知负荷.这里重点探讨以减少外在认知负荷为目的的勾股定理证明PPT教学设计，加深学生对勾股定理的理解.

2 勾股定理PPT教学设计过程

赵爽弦图证明方法(如图1)以及毕达哥拉斯证明方法(如图2)是勾股定理比较常见的两种方法，“人教版”课本中对两种证明方法进行分开呈现，但在教学过程中建议对两者进行一起教学.

图1 赵爽弦图证明方法

图2 毕达哥拉斯证明方法

图3

设计意图两种证明方法在过去的教学中都是进行分开、个别教学，并没有讲解两者之间的关系，建议在教学过程中对两者进行一起教学.从代数、几何两种角度来分析两者之间的关系：从代数角度看，这两个证明的表达式非常接近，赵爽弦图证明方法中第一个表达式为：c2等于小正方形的面积加上四个全等直角三角形的面积，毕达哥拉斯证明方法中第一个表达式为：c2等于大正方形的面积减去四个全等直角三角形的面积；从几何角度看，虽然两个图形从外表观察有差异，但是通过仔细观察可以发现，它们都是以斜边c为基准，毕达哥拉斯证明方法是内接直角三角形，构造出c2；赵爽弦图证明方法是外接直角三角形，构造出c2.勾股定理不仅是代数问题而且是几何问题，在以往教学中教师很少让学生感知在图形移动中图形与代数推演过程的关系，建议把两种证明方法一起教学，用数形结合的方法让学生感知勾股定理，提高思维整合能力.

并且，课件展示两种证明方法可以拼接在一起(如图3)，加深学生对勾股定理的理解，这样在同一思维下，两个证明变得相关且有意义，突出教学课件的沟通性，同时增加学生对勾股定理的学习兴趣.在勾股定理课件制作过程中，教师要善于对课件中呈现的信息进行合理地分割、分块，利用图像与声音相结合，让学生做到“眼到、耳到、感觉随之就到”.[12]

2.1 赵爽弦图证明方法

赵爽弦图证明方法：以斜边c为基准，内接直角三角形，构造c2.

第一步：在对图形进行移动之前，先把原图复制一份(如图4①).

第二步：把复制图形中所有字母去掉(如图4②)，并对复制图形进行步骤化移动：把上方三角形下移(如图4③)，右边三角形左移(如图4④)，为了避免线条对视觉的干扰，去掉线条边框(如图4⑤).移动后得到两个正方形，把得到的两个正方形边框加粗(如图4⑥)，其边长分别为a和b(如图4⑦).

① ② ③ ④

⑤ ⑥ ⑦图4

第三步：把原图与复制图形中多余的信息去掉，得到对应面积分别为c2和a2、b2(如图5).

图5

第四步：教师引导学生得出勾股定理：c2=a2+b2.

设计意图在过去的教学当中，对图形进行移动时，通常是在原图中进行移动，移动过程中会造成原来图形的改变，学生需要在工作记忆中保存先前呈现信息的表象表征，增加了认知负荷.为了避免这一现象的产生，在对图形进行移动时，可以先对原图进行复制，在复制图形中进行移动.使学生记得原来图形的形状，以便于学生在头脑中对图形进行信息加工.然后，利用步骤化呈现的方式对图形进行移动.通过引导性的移动，增强连结性，有助于学生对学习材料的组织与加工.外部信息分步骤进入学生已有知识系统，先前学习的知识片段作为后面学习知识片段的生长点，最后在认知结构中重新构成整体，从而减少学生的外在认知负荷.[13]通过移动可以看出，移动后的图形(图4⑤)与原图中第二步代数式的意义相同：c2等于一个小正方形的面积加上两个长方形的面积，使图形移动与代数展演过程一一对应.以图导文，增强学生对图像的理解.

这样移动的妙处在于，通过移动可以得到两个正方形，把两个正方形的边框加上.其中一个正方形的边长为b，另一个正方形的边长为a.为了更加清晰地突出图形之间的关系，将多余信息删除.[14]从而得到c2=a2+b2.图形展示完后，再让学生观看图4⑦，让学生感知原图与复制图形之间的关系.在此课件制作过程中，注意同一图形在每页课件中的位置不变，使选取组织耗用的认知资源降低，减少视觉对图形位置改变的处理，避免分散注意力.

2.2 毕达哥拉斯证明方法

毕达哥拉斯证明方法：以斜边c为基准，外接直角三角形，构造c2.

第一步：同理，在对图形进行移动之前，先把原图复制一份，并把复制图形中所有字母去掉(如图6①).

第二步：对复制图形进行步骤化移动：把上方三角形下移(如图6②)，左边三角形上移(如图6③)，右边三角形左移(如图6④).移动后得到两个正方形，边长分别为a和b(如图6⑤)，面积对应为a2、b2(如图6⑥).

① ② ③

④ ⑤ ⑥图6

第三步：把原图与复制图形中多余的信息去掉，得到对应面积分别为c2和a2、b2(如图7).

图7

第四步：教师引导学生得出勾股定理：c2=a2+b2.

设计意图同理，利用步骤化呈现方式对图形进行移动.通过移动可以看到，移动后的图形6④与第二步代数式的意义相同：c2等于大正方形的面积减去两个长方形的面积.移动后可以得到两个正方形，它们的边长分别为a和b，面积分别对应为a2和b2.原图与移动后的图形中四个三角形的面积是相等的，除了三角形面积之外，剩下的正方形面积是什么关系呢？通过构造这两个正方形，得出c2与a2、b2之间的关系.为了避免产生干扰，同样可以删除多余信息，得出c2=a2+b2.图形展示完后，再让学生观看图6⑥，让学生感受它们之间的关系.

通过这两种证明方法，让学生很好地感知勾股定理的含义：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.认知负荷理论视角下的勾股定理教学课件设计，通过感觉记忆、工作记忆和长时记忆这三种记忆模式相互结合对各种信息进行处理.但是工作记忆的容量是有限的，一次最多只能存储7±2条基本信息或信息组块.如果同时进入工作记忆的信息组块数量超过这一限制，记忆容量超出负荷，导致信息加工活动受阻或根本无法有效展开.这就要求教师在进行勾股定理教学时，不宜一次呈现过多信息，对重要信息进行突出、强调.同时，工作记忆对于新知识信息的保存时间也较短，大约1—2分钟，新信息只有得到进一步地加工进入长时记忆，才可以长期保留.依据这一原理，在勾股定理教学中，要有效组织两种方法同时教学，巩固新信息进入长时记忆，长时记忆内容的变化则标志着持久意义上的学习的发生.通过这样的教学，才能让学生真正理解勾股定理的含义，及其勾股定理体现的多元数学文化，使学生的认知活动达到自动化，弥补个体学习者工作记忆容量有限的缺点，降低工作记忆的负荷总量.[15]

3 勾股定理课件中设计原则的体现

基于认知负荷理论，勾股定理的教学课件中体现出以下设计原则.

3.1 简洁明了

在制作课件过程中，尽量减少符号的使用，避免冗余信息对学生视觉的干扰，减少进入工作记忆的信息组块数量.体现了认知负荷理论的冗余原则.[16]例如在勾股定理课件制作中，先画一个直角三角形，标出它的每条边分别为a、b、c.在画赵爽弦图证明方法以及毕达哥拉斯证明方法时，可以不用把每一个直角三角形的各边长都标示出来，这样可以使画面更加干净，整洁.避免冗余信息对学生视觉的干扰.

3.2 同时呈现

在有多种信息来源的情况下，学习者的注意力会分散到不同来源的多种信息上.课件制作过程中，相互提及的信息资源在空间和时间上应当相互接近，才能达到好的教学效果.体现了认知负荷理论的注意力分散原则.[17]勾股定理教学课件设计中，数形结合，两种证明方法同时教学，有助于学生思维的整合，并且让图形移动与代数推演过程一一对应，通过对图形的理解，让代数生义.以图导文，增强对图像的理解.

3.3 双管齐下

混合视听模式比单一模式呈现信息更有可能增加有效工作记忆容量，降低认知负荷.体现了认知负荷理论体现通道原则.[18]也就是说，当仅采用一种通道加工信息时，如果需求超载，负担过重，可以让其他通道也参与进来，来共同分担处理其中某些信息.

PPT课件中常采用文字和图片来呈现信息，由于二者都作用于视觉通道，同时呈现易导致视觉通道认知超载.此时，如果将文本转变为恰当的言语讲解，可以减少学生视觉的分散，能够集中注意力.在勾股定理课件制作中，尽量减少文字的呈现，运用恰当的言语讲解，可以减少学生视觉通道的负荷.

3.4 重点突出

在课件制作的过程中，每页课件的重点要突出，增强刺激，其余信息要淡化、弱化，避免不必要的刺激对学生视觉的干扰.体现了认知负荷理论体现的形式原则.[19]在勾股定理课件制作当中，淡化不必要的信息，减少视觉上的刺激，从而突出此页课件中要表达的思想.

3.5 位置固定

同一图形出现在连续几张课件中时，图形位置应固定不变，避免注意力的分散.体现了认知负荷理论的一致性原则.[19—21]在课件播放过程中，学生比较容易关注动态的图形，位置发生改变，使相邻两页课件产生振动效果，不利于学生注意力的集中.勾股定理课件制作过程中，同一图形出现在连续几张课件中时，图形位置应固定，减少视觉对图形位置改变的处理，降低视觉产生的认知负荷.

3.6 步骤化呈现

利用课件对所学知识进行呈现时，要进行步骤化呈现，让学生亲历知识形成过程，激发学生数学学习兴趣.体现了认知负荷理论的分割原则.[22]在信息爆炸的时代，教师在教学当中往往通过各种教学辅助软件给出一个完整的图形，缺乏步骤化呈现，导致学生不能很好地领会知识的形成过程并对问题进行深入思考，缺乏对所学知识的深刻理解.勾股定理课件设计中，对图形进行移动时，采用步骤化呈现方式，通过图形逐步引导学生对代数式的理解，有助于学生对学习材料的组织与加工，减少外在认知负荷.

在对勾股定理证明方法的教学中，基于认知负荷理论，着重对知识的整合教学，数形结合，将图形移动与代数推演过程一一对应，让代数产生意义，使学生容易理解.通过两者之间的整合教学，理解两者之间的联系，并增强了数学学习的趣味性.勾股定理及其证明作为多元文化数学教育的极好题材，在今后的研究中，有必要将各种方法之间的区别和联系进行一定的梳理，潜心创造优秀的数学 PPT 教学课件，然后呈现在数学课程和数学教学中，以期加强学生对勾股定理的理解，为促进课堂的有效教学而努力.

致谢：感谢台湾交通大学陈明璋老师对本文的指导与提供的帮助.