文化、本质、探究、乐趣——对当前高中数学教学中存在问题的认识与思考

董荣森

(江苏省怀仁中学 214196)

我国第八次基础教育课程改革实施至今已经有十多年，新理念、新方法、新手段、新经验层出不穷.课程管理与课程结构发生了质的变化，教师的专业发展水平有了较大提高.基础教育改革由关注教学到关注课程与教学的整体改革，毋容置疑,我们的小学课堂确实发生了一定的变化，教师的教育理念和教学方式也发生了一定的转变，可喜可贺.当我们再次踏进现在的中学课堂时，扪心自问与十年前的课堂有多大的改变，凯洛夫的课堂教学模式还有多少教师仍在沿用？笔者在这里不是否定课程改革所取得辉煌成绩，也不是对凯洛夫课堂教学模式妄加评论、说三道四，而是说十多年课改教师的教育观念、教学行为方式转变了多少，对新课程理念又内化了多少.现行的中学数学课堂教学中还存在很多问题，如:数学课堂教学定位还是以教“考”为中心，数学探究只是以“贴标签”装门面，学生课业负担远远没有减轻，“学生苦教师累”的现状还没有得到根本性的改观，等等.本文就当前中学数学教学中存在的问题，围绕“文化、本质、探究、乐趣”四个关键词，结合教学实践谈一些认识与思考.

1 数学教学是单纯传授“知识方法”还是渗透“文化” 让数学文化润泽数学课堂

长期以来，中国的数学教学存在着脱离社会的孤立现象，忽视了数学文化对学生的熏陶，认为数学就是单纯的逻辑思维，就是一些数字和符号的堆砌，使得数学几乎完全形式化，数学的发展也无需社会文化的哺乳.也许人们已经认识到了数学的文化价值在数学课堂教学中的缺失，《普通高中数学课程标准(实验)》把“体现数学的文化价值”作为课程的基本理念之一提出，突出强调了数学文化价值——数学是人类文化的重要组成部分，对数学文化给予了特别的重视，要求数学文化贯穿整个高中数学课程并融入到课堂教学之中.因此，如何将数学史、数学文化渗透到平时的课堂教学之中，发挥数学文化育人的价值与功能，显得尤为重要、迫切.

案例1 “圆锥曲线”起始课中数学史呈现

在“圆锥曲线”教学中，很多老师忽视了对圆锥曲线发展史的教学，只是简单地完成圆锥曲线定义的教学任务，不能很好地将圆锥曲线的历史融入课堂教学之中，更谈不上培养学生的数学核心素养，彰显数学文化在数学教学的作用与价值.

因此，在教学设计时，根据学生的知识基础,在圆锥曲线的2000多年的发展史中选取学生能够理解且有一定教学价值的部分按历史顺序“去支强干”进行重组，对学生理解有负面作用的部分作合理改编(例如：椭圆的起源有许多其他猜想，仅选取“削尖的木桩”作为椭圆的起源介绍给学生)对难度过高的内容作以调整(例如:选取圆柱背景的“丹德林球”发现椭圆的性质，而非圆锥背景的“丹德林球”证明发现)，将这些丰富的数学文化以符合学生认知基础和认知规律的教学形态呈现给学生.

教学片断1 椭圆的起源和发展

我们知道数学来源于生活，每一个几何图形是从具体事物中抽象出来，椭圆也不例外.最早人们是从怎样的具体事物中发现椭圆这一曲线的呢？

图1

相传最早是古希腊人通过削尖的圆木桩发现了一条像圆又不是圆的曲线，把它命名为椭圆(图1).从立体几何的角度，也就是“平面斜截圆柱所得的交线”.后来有人发现，用平面斜截圆锥所得的交线也可能是椭圆.不仅如此，调整平面的倾斜程度还能得到其他曲线,把这些曲线命名为“圆锥曲线”.后来人们又发现，研究这些曲线的性质，还有助于解决三大数学问题之一的“倍立方问题”.于是，许多古希腊的数学家开始研究这一类曲线，其中还有大家所熟知的欧几里得，可惜其中的许多著作都失传.阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线》总结了前人成果的基础上又增加了自己的创见，从“平面斜截圆锥”出发，运用纯几何方法，证明了近500个命题，在当时可以说堪称奇迹，即便是之后的近2000年内也无人能超越.因此，阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》也被长期视为数学经典大作与欧几里得的《原本》并驾齐驱.

阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》公元前262—190

欧几里得《原本》公元前325—265

随着时代的发展，古希腊人的纯几何方法已经跟不上社会生产力的需要，人们亟需一种更高效的研究方法.于是，两位伟人诞生了，他们是法国数学家笛卡尔和费马，也是解析几何的创始人.解析几何借助坐标系，建立了代数与几何之间的联系，并通过代数的方法研究几何图形的性质.它将两个看似毫不相干的学科之间建立了联系，可以说是数学史上最伟大的突破.于是人们开始思考，能否通过解析几何的方法研究椭圆等这些圆锥曲线呢？

笛卡尔1596—1650

费马1601—1665

教学片断2 椭圆性质的探究

人们重新翻阅了阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》,发现书中真的有一条性质十分简洁地通过数量关系揭示了椭圆上的点的运动规律.这条神秘的性质究竟是什么呢？就让我们一起来探究并发现这条性质.

探究题组(一)(媒体动画，实物教具)

图2

如图2,在圆柱内放置一个与圆柱底面等半径的小球，小球与圆柱侧面的公共点将形成曲线为一个圆.

(1)在下方也放置一个相同的小球，它与圆柱侧面的公共点将也形成圆，把这两个圆记作圆C1和圆C2.圆C1与圆C2所在平面有怎样的位置关系？

(2)在圆柱的最右侧侧面上取圆C1与圆C2之间的线段PQ，它与圆C1、C2所在平面有怎样的位置关系？与两小球又有怎样的位置关系？

(3)如果将线段PQ保持铅垂方向，沿着圆柱的侧面转动，PQ与圆C1、C2所在平面是否依然垂直？旋转过程中，线段PQ的长度是否改变？

图3

探究题组(二)(媒体动画，实物教具)

(1)如图3,平面斜截圆柱得到的交线，它是椭圆.在圆柱内放置一个与圆柱底面等半径小球，且与椭圆所在平面相切,共有几个切点呢？

(2)记切点为F1，在椭圆上任取一点M，连结MF1，请问MF1与上方小球有什么位置关系？

(3)在椭圆所在平面另一侧,再放置一个同样的小球且与平面相切，切点记作F2，则MF2与下方小球相切.当点M在椭圆上运动时，MF1,MF2分别与上下两个小球相切吗？能否用数量关系表示椭圆上的点的运动规律？

教学片断3 发现椭圆的性质

图4

如图4,MF1、MP都与上方小球相切，因此|MF1|=|MP|，同理，MF2、MQ都与下方小球相切，因此|MF2|=|MQ|,PQ的长度不变.

(1)在椭圆所在平面内，MF1+MF2=.

(2)圆上的任意一点到定点(圆心)的距离等于常数(半径)，而点M在椭圆上运动时，点F1、F2的位置不发生变化.请同学们用文字语言归纳,椭圆上任意一点应具有怎样的性质呢？

(椭圆上的任意一点到两个定点的距离之和为常数.其中两个定点叫做椭圆的焦点，焦点之间的距离称为焦距.)

【评析】通过圆柱背景下的“丹德林球”探索、发现椭圆的本质特征是难点.由于学生未学习立体几何，直接归纳椭圆的性质有很大的困难.因此,通过自制教具的展示让部分缺乏空间想象力的学生也能较好地理解这一过程，使学生从问题情境中成功归纳出椭圆的性质，为从数量关系角度定义椭圆做好铺垫.

圆锥曲线的发展史中蕴含着丰富的数学文化.除了概念、性质、标准方程这些显性数学文化之外，在圆锥曲线形成的历史背景和实际应用中还包含着数学思想(化归思想、数形结合思想)、数学方法(用代数方法研究几何问题、构造法)、信念品质(探索真理、理性分析)、价值判断和审美追求(圆锥曲线的实际应用)等丰富的隐性数学文化.当然数学课堂需要显性数学文化的熏陶，更需要隐性数学文化的浸润，这样才能让数学课堂充满生机与活力.

2 数学教学定位是教“学”还是教“考”让教师正确把握数学课堂教学的本质

数学课堂教学的本质应该是以师生活动为中心,把握数学本质,发展学生的思维能力.数学本质是一个数学哲学问题，学术界对它的理解有不同的视角.我们在课堂教学中强调的数学本质，其内涵一般包括：数学知识的内在联系；数学规律的形成过程；数学思想方法的提炼；数学理性精神(依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，以形成概念、判断或推理，这种认识为理性认识.重视理性认识活动，以寻找事物的本质、规律及内部联系，这种精神称为理性精神)的体验等方面.笔者长期在高三教学一线，深深地感到现在的高中数学教学是在教“考”而不是教“学”，很多地方高中学校拼命地把高中课程内容压缩在高一、高二全部授完，高三时间全部用来复习，重点内容、重要章节，(如：三角函数与平面向量、立体几何、解析几何、数列、函数与导数等内容)轮番上阵，除了课堂教学时间外，部分学校还要利用中午时间进行重复机械训练，以增强学生的应考能力.这样的数学教学不仅让学生失去了对数学的兴趣，更抹杀了学生的创造力.因此，我们必须要科学合理地安排数学教学的进度，准确定位数学的教与学，抓住教与学的核心，瞄准课堂教学目标，理清教学主线，精心设计问题，引导学生活动，注重数学应用，加强总结升华，让学生真正理解数学的本质，发展学生思维能力.

案例2 导数在研究函数中的应用

相信大多数同学有过坐“过山车”的经历和体会，媒体播放“过山车”片段.

画一画 如图5，请用割线逼近切线的方法分别画出你坐“过山车”经过A、B位置时视线所在的直线(即在A、B点处的切线)，领悟在上升和下降过程中视线的变化？

图5

导数作为函数在某一点处的瞬时变化率刻画了函数变化趋势(上升或下降的陡峭程度)，而函数的单调性也是对函数变化趋势的一种刻画，那么导数与函数的单调性有什么联系呢？(教师通过用超级画板演示曲线上点在运动的过程中，提醒学生注意观察切线的斜率符号的变化.)

想一想函数f(x)在区间(a,b)上是增函数，如何定义的？

对任意x1,x2∈(a,b)，当x1x2时，f(x1)>f(x2).

探一探导数正负性与函数单调递增的关系？

表明：导数大于0与函数单调递增密切相关.

如何用数学语言刻画导数的正负与函数单调性的关系？(让学生总结)

归纳结论一般地，对于函数y=f(x)，

如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的增函数；(如图6)

图6

如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的减函数．(如图7)

图7

【评析】在本课的设计中，首先挖掘导数几何意义的知识背景，设置贴近学生实际的坐“过山车”时视线的变化，来帮助学生感性认识在上升或下降与视线的斜率之间的关系；其次借助超级画板,从几何直观来演示递增与递减时,切线斜率符号变化情况；再结合函数单调性定义和导数定义从理性的角度去探索函数单调性和导数正负的关系，让学生从感性到理性去认识和理解函数单调性和导数正负之间本质关系，并归纳总结出一般性结论，真正发展了学生思维能力.

3 数学探究是“核心”还是“标签”让探究成为数学课堂教学的常态

《普通高中数学课程标准(实验)》强调：“数学教学要使学生通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程.”从数学学科特点出发,根据不同的教学内容,有效合理地组织学生开展“探究教学”，是追求有效教学、构建高效课堂的重要途径.在目前课堂教学中，“探究教学”中探究的成分太少,有种“贴标签”的嫌疑.笔者认为，数学课堂教学过程中的每一个环节都可以渗透探究的元素、探究方法、探究思想.我们应力求让探究成为数学课堂教学的常态,应善于把握课堂教学中的每一个探究机会和细节，使数学探究逐步成为学生学习的自觉行为乃至形成习惯,促进学生思维充分、健康、全面发展.

案例3点到直线的距离公式

引例在平面直角坐标系中，求点P(1,2)到直线l:x+y-5=0的距离.

问题1点到直线的距离指的是什么？

问题2为什么选择垂足与点P的距离作为点线距离？选直线上其它点与P点距离可以吗？

问题3点到直线的距离还可以怎么定义？

【设计意图】复习点到直线距离的垂线段定义法，同时引出广义定义法，即点到直线上所有点距离的最小值，为后续目标函数的推导方法的展开埋下伏笔.

自主探究请同学计算引例中的距离，并考虑用多种方法进行解答.

【设计意图】从具体的例子出发求距离，相对来说，计算量更小，学生有更充裕的时间去发现解法的多样性，为后续求抽象的点线距离做好准备.

师：很好！思路自然、简单、清晰.

图8

图9

师:这种方法将点到直线的距离问题转化为解直角三角形问题.在斜边及角度已知的情况下，显然运用三角函数的知识可以轻松求解.

图10

师:巧妙构造直角三角形，避开研究三角形的内角，计算简洁,解法很漂亮!

师:还有其他做法吗？如果从刚才点到直线的本原定义来看的话，我们可以先将点到直线上任意一点的距离表示出来，再求这个距离的最小值即可.要求距离最小值，那么我们可以从什么地方切入呢？(引出目标函数法)

图11

师:非常了不起！运用函数思想，将几何问题代数化，是典型的解析几何解法.

问题4在平面直角坐标系中，如何求点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离呢？以上方法应该都可以用来解决该问题，同学们会选择哪种方法来做呢？为什么？

【设计意图】殊途同归，推导公式，进行方案比较，优选；在比较中，再次领会各种方案的思想方法，比较它们的优缺点，选择合适的方案执行.

【评析】把点到直线的距离当作一个数学问题来研究，与学生共同体验探究过程.在各种解决方案的对比、联系、优选中渗透了数形结合、转化与化归，函数与方程等思想，扎实有效地实现了学生获得“四基”的目标.在具体的探究过程中，先特殊后一般的思路，这样做的好处：首先，在具体的例子中，各种方法都能彻底地求出距离，增强了方法间的对比与联系；其次，没有参数的干扰，更容易激发学生的发散思维，课堂上呈现出令人喜悦的多种解法；再次，深刻领会各种方法的优势与劣势，为抽象问题解决方案的优选做好铺垫。在整个课堂探究进程中自然、流畅，但又不失挑战性,学生积极性高，探究欲望强烈，这正是新课程所倡导和希望的.

4 数学教学是“苦教苦学”还是“乐教乐学”让师生享受数学教与学的乐趣

每年高考结束，我们在报道上经常看到：不管是考得好的学生，还是成绩不好的学生，都会把教材和复习讲义从楼上抛洒向空中，这里肯定包含数学教材和讲义，发泄他们多年学习生涯中积累的愤怒与不满.由此可见,教师在学科知识的教学过程中,将很多的时间和精力给予学生成绩的获得,而忽视了学生学科情趣的培养.在没有学习学科情趣支撑的情况下,有的学生虽然取得了优异的成绩,但学得很苦很累,难免对学习心存不满；有的学生付出了很多,却没有成绩,有很多怨恨.因此,在数学教学中,教师要想方设法让学生享受到学习过程的乐趣，同时教师也享受到课堂教学的成就感与幸福感.

师:“椭圆”改为“双曲线”呢？“A,B是左、右顶点”改为“A,B是曲线上关于原点对称的两点”，结论是否成立呢？(教师放手让学生去探究)

探究3不论是椭圆还是双曲线，只要曲线上A,B两点关于原点对称，P是曲线C上异于点A,B的动点，那么kPA·kPB=e2-1.

【评析】苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童的精神世界里这种需要特别强烈.”为此，教师要根据学生实际创设真实的、多元的、有效的问题，驱使学生去尝试、去探究，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，这样就可以使探究课堂教学进入理想的境界.研究者正是从这一点出发，没有让学生被动的接受学习，而是真正把学生当作探究者，满足了学生的心理需要，让学生的学习活动成为探究活动，让学生明白：知识的获得就是一个不断探究的过程，还有许多知识等待我们去研究、去发现.只要认真探究，就会有发现有收获，就会体验到学习成功的快乐.

总之，基础教育课程改革是一项庞大复杂的系统工程，是螺旋上升与发展的过程.走在基础教育课程改革的大道，数学教育改革的前途是光明的，但道路是曲折的，存在问题并不可怕，可怕的是没有觉醒和麻木，只要我们面对问题与困难积极寻找解决问题的方法与策略，以实际行动去克服弥补不足，中国的数学教育改革必然迎来美好的明天，笔者也愿为促进数学教育的改革而不懈努力.