线刚度比对超静定刚架内力的影响

王广利

(黎明职业大学 土木建筑工程学院，福建 泉州 362000)

在结构力学超静定杆系结构(梁、刚架等)分析时杆件的线刚度i=EI/L，其中EI为杆件截面的抗弯刚度，L是杆长[1]。在确定超静定杆系结构构件之间相互影响时常用到杆件的线刚度比的概念。线刚度是反映杆系结构抗弯刚度的参数，同截面同材料杆件长度愈长，其抗弯刚度愈小[2]。设两个杆件的线刚度分别为i1和i2，那么两个杆件的线刚度比n=i1/i2。龙驭球[1]、杨茀康等[3]认为超静定杆系结构主要以弯曲变形为主，主要内力是弯矩，其内力分布是随结构中杆件的线刚度比的变化而变化，但在超静定刚架梁柱线刚度比的变化对超静定刚架内力变化规律上，既没有分析的过程，也没有给出明确的结论。张少钦等[4]采用分层法、D值法等基于手算的近似计算方法，从工程的角度分析混凝土框架结构梁柱线刚度比对框架结构内力和侧移的影响，但从力学的角度来说其结果不是精确解。本文采用结构力学求解器为分析软件，忽略轴向变形和剪切变形，从力学的角度精确分析单层单跨超静定刚架在竖向荷载与水平荷载作用下，梁柱线刚度比变化引起的结构内力的变化，从定性角度分析了其原因并得出结论。

1 计算模型

图1 单层单跨超静定刚架计算模型

图1为单层单跨超静定刚架计算模型。该超静定刚架中单元(2)为梁，其线刚度标示为ib，单元(1)、(3)为柱，其线刚度标示为ic那么梁柱线刚度比n=ib/ic，分析时忽略轴向变形和剪切变形。模型中三个单元的几何长度均取1 m。

2 超静定刚架内力随梁柱线刚度比变化的规律

2.1 竖向荷载作用且梁柱线刚度比变化时

设两柱的线刚度相同，均为ic，梁承受满跨竖向均布荷载q=100 kN·m-1，分析当梁柱线刚度比n=ib/ic分别取0.1、0.5、1.0、1.5、2.0、3.0、4.0、5.0、6.0时梁跨中弯矩M(2)和柱上端弯距M21的变化规律。结构力学求解器分析结果如表1所示。弯矩图的形状及M(2)和M21随n的变化曲线分别如图2和图3所示。

表1 在竖向均布荷载q=100 kN·m-1作用下M(2)和M21随n的变化情况

图2梁承受竖向均布荷载时弯矩图形状图3M(2)和M21随n的变化曲线

从表1与图3中可以看出，随着n的增大，梁跨中弯矩M(2)逐渐增大，柱上端弯矩M21逐渐减小，其变化幅度随着n的增大逐渐减小，趋于平缓。这是因为随n的增大，柱对梁端转动约束逐渐减小。因此，柱上端弯矩及梁端弯矩逐渐减小(由平衡条件可知，此时柱上端弯矩等于梁端弯矩)，导致梁跨中弯矩逐渐增大。结构力学求解器分析可知，当n=∞时，M(2)=12.5，M21=0。这是因为当n趋于∞时，柱对梁端转动约束趋于零，梁柱结点接近铰接，结点处弯矩趋于零，而梁跨中弯矩趋于最大，等于简支梁时的跨中弯矩。

2.2 水平荷载作用且梁柱线刚度比变化时

设两柱的线刚度相同，均为ic，在结点2处作用一个向右的水平集中荷载F=100 kN，分析当梁柱线刚度比n=ib/ic在分别取0.1～6.0变化时梁端弯矩M23和柱底端弯距M12的变化规律。结构力学求解器分析结果见表2，弯矩图的形状及M23和M12随n的变化曲线分别如图4和图5所示。

表2 在结点2处水平集中荷载F=100 kN作用下M23和M12随n的变化情况

图4节点2处水平集中荷载时弯矩图形状图5M23和M12随n的变化曲线

从表2数据与图5的变化趋势可以看出，随着n的增大，梁端弯矩M23逐渐增大，柱下端弯矩M12逐渐减小，其变化幅度随着n的增大逐渐减小，趋于平缓。这是因为随着n的增大，梁对柱上端转动约束逐渐增大，因此，柱上端弯矩逐渐增大，柱反弯点不断下移，导致柱底端弯矩逐渐减小。由结构力学求解器分析可知，当n=∞时，M23=M12=25 kN·m。这是因为当n趋于∞时，梁端对柱上端转动约束趋于固端，与柱底端约束相同，柱的反弯点趋于柱的中点。这个结论说明框架结构在水平荷载作用下内力分析方法中反弯点法假定梁柱线刚度比无限大的原因。反弯点法要求梁柱线刚度比≥3。当n=∞时，M23= 25 kN·m；当n=3 时，M23=23.68 kN·m，误差仅为5.28%；当n≥3时误差基本小于5%，而工程中允许不大于5%的误差。

图6 山坡上的建筑

2.3 水平荷载作用且柱线刚度不同时

图6是一山坡上的建筑，底层柱同截面同材料，而长度不同。

为了求解内力分布，仍采用节2.2的计算简图，但两个柱的线刚度不同。假设左柱长度是右柱长度的3倍，则右柱的线刚度是左柱线刚度的3倍。取梁的线刚度等于左柱的线刚度时分析结构的内力分布。结构力学求解器分析得到的弯矩图和剪力图分别如图7、图8所示。

图7 弯矩图(单位：kN·m) 图8 剪力图(单位：kN)

由图7和图8可知，线刚度大的柱子，产生的弯距、剪力都明显较大。结构中，通常把柱净高与柱截面的长边之比不大于4的柱子称为短柱[5]。

图9 短柱的破坏情况

图9为在地震作用下短柱的破坏情况。由于短柱的净高与截面长边之比小，其线刚度一般都与普通柱相比较大，在地震作用下产生的内力大，尤其是剪力，因此容易产生破坏。图9中，窗下墙体约束了柱子，减小了柱子的净高，从而使其成为短柱。因此，在工程中要采取合适的措施，减小由柱子的线刚度不同带来的危害，同时要避免由于人为的失误造成短柱。

3 结 论

综上所述可得出以下结论：

(1)在竖向荷载作用下梁柱线刚度比变化时，超静定刚架随着梁柱线刚度比n的增大，梁跨中弯矩逐渐增大，柱上端弯矩逐渐减小，其变化幅度随着n的增大逐渐减小，趋于平缓；

(2)在水平荷载作用下梁柱线刚度比变化时，超静定刚架随着梁柱线刚度比n的增大，梁端弯矩逐渐增大，柱下端弯矩逐渐减小，其变化幅度随着n的增大逐渐减小，趋于平缓；

(3)在水平荷载作用下，梁的线刚度为定值，柱线刚度不同时，线刚度大的柱子，产生的弯距、剪力都明显较大。

由于超静定刚架结构中梁柱线刚度比体现的是梁柱端相互转动约束的强弱，决定超静定刚架梁柱内力的分布。因此，在框架结构设计中可通过调整梁柱线刚度比，改善框架内力的分布，达到优化结构的目的。

[1] 龙驭球．结构力学教程(Ⅰ)[M].3版.北京:高等教育出版社，2012：279．

[2] 王平．板厚度与梁柱线刚度比对框架结构抗连续倒塌设计的研究 [D]．合肥：安徽建筑大学，2016：11．

[3] 杨茀康，李家宝．结构力学(下册)[M].6版.北京：高等教育出版社，2016：6．

[4] 张少钦，程华虎．梁柱线刚度比对框架内力和侧移影响的分析[J]．南昌航空大学学报(自然科学版)，2011，25(3)：84．

[5] 中国建筑科学研究院.混凝土结构设计规范：GB50010—2010[S]．北京:中国建筑工业出版社，2015：162．