新工科理念下线性代数课程教学设计探索

谢加良，朱荣坤，宾红华

(集美大学理学院，福建厦门 361021)

1 研究背景

“新工科”(Emerging Engineering Education，3E)是我国工程教育改革的方向。自2016年这一概念提出至今，在教育部组织下，多所综合类高校及工科优势高校进行了深入研讨，凝练成“复旦共识”[1]、“天大行动”[2]和“北京指南”[3]，提出人才培养的新方案，探索工程教育改革的新路径。新工科的内涵是：以立德树人为引领，以应对变化、塑造未来为建设理念，以继承与创新、交叉与融合、协调与共享为主要途径，培养多元化、创新型的卓越工程人才[4]。这种新工科人才既具备运用既定知识解决现有问题的实操能力，又能够持续学习、自我更新，跟进知识和技术的迭代，成为引领科技革新和产业发展的中坚。基于新工科人才的培养目标，“天大行动”对课堂教学提出新要求：一是问技术发展改内容，更新工程人才知识体系。将产业和技术的最新发展、行业对人才培养的最新要求引入教学过程，更新教学内容和课程体系，建成满足行业发展需要的课程和教材资源；二是问学生志趣变方法，创新工程教育方式与手段。推进信息技术和教育教学深度融合，建设和推广应用在线开放课程，充分利用虚拟仿真等技术创新工程实践教学方式[2]。

作为高等院校理、工、经、管等各专业的一门重要数学基础课，线性代数是学习后续课程的前提和工具，对培养学生的抽象思维、逻辑推理、空间想象和计算等能力具有不可替代的作用。同时，随着科学技术的跨越式发展，线性代数已渗透到经济、金融、信息、社会等各个领域。线性代数高度的抽象性和严密的符号体系都远远超出了学生的既有经验，因此有很多本科生觉得这门课难理解。在此背景下，就课时少、内容多、较抽象的线性代数课程而言，如何通过改进和完善课堂教学设计，在引领学生夯实线性代数基础知识的同时，培养其运用线性代数思维分析、解决实际问题的能力，切实提升线性代数课程教学效果，以适应新工科建设和发展的要求就显得尤为重要。

2 设计原则

“新工科”对课堂教学要求的实质与落脚点是变革传统的教学模式即从仅以教师为中心的教学模式，向既能发挥教师主导作用又能充分体现学生主体地位的新型教学模式转变，实现课堂的“去中心化”。基于此，在线性代数课堂教学设计中应把握两个原则：一是让学生的思维动起来，考虑如何通过教学设计实现“破冰”，使“高大上”的学术形态的数学转化为“接地气”的教育形态的数学，更好地使学生在人格、思维、智慧层次获得全面提升；二是深入挖掘信息技术在课程推进中的最优效用，不仅将信息技术作为教与学的简单辅助工具，还须注重优化运用教育技术的智能形态，将相关知识、方法和技能巧妙融入线性代数的教学设计中。

3 新工科理念下的线性代数课程教学设计

3.1 建立基础课程与专业知识有机统一的教学模式

承担线性代数等公共数学课程的教师在进行课程教学设计时，对不同专业学生需要何种相应的数学知识缺乏关注和思考，教学案例选取多为简单的数学问题求解，偏重普遍性，缺乏针对性。此类教学内容与学生的专业背景关联度低，甚至脱节，导致学生很难学以致用，无法将课堂所学用以解决专业问题，进而造成学生学习目标不明确、学习动力不足等困境。

基于这些问题，笔者针对不同专业的学生，设计不同的教学案例，以解决相应专业性问题的诉求为导向来引入概念、推导定理，并将此类关键问题作为每节课的核心和线索，引导学生在探索专业性问题解决方案过程中逐步建构线性代数知识体系，加深学生对课程内容本质的理解，在潜移默化间培养他们的问题意识，使其接受从事科研工作的基础训练。以计算机工程类、信息类的新工科专业为例，通过挖掘计算机中的线性代数知识以及线性代数在信息科技中的应用等内容，针对不同的章节设计与此相关的教学内容，如利用图像变换问题设计矩阵运算教学，利用人脸识别问题设计向量组的线性组合与矩阵特征值、特征向量教学，利用机器学习问题设计二次型和正定矩阵的课程教学等。

例1 基于人脸识别问题的“向量组的线性组合”教学设计。

围绕问题引入、探究新知、深入挖掘和总结拓展共四个要点展开教学，将问题教学法和探究教学法相结合，注重数学与计算机、信息类专业的学习背景的广泛联系，在抽象思维的讲述中引入形象思维，讲清动机和背景，使每个知识点都是自然引入。

(1)问题引入。通过电影《碟中碟IV》中同学们所熟悉的关于特工采用人脸识别眼镜追捕目标的场景，提出问题：如何利用线性代数知识来解释这个场景？

(2)探究新知。通过讲解图像处理的基础知识，分析如何用矩阵来表示图片，进而延伸至为了存储和计算如何用向量来表示图片，总结得出人脸识别问题其实就是一个向量组和另一个向量之间的关系。以此引出本节课学习的新内容，重点讲清基本定义和线性的含义，举例加深对定义的理解，由此可以初步理解人脸识别问题。由定义和例子，解释说明如何利用向量组的线性表示来说明人脸识别问题。

(3)深入挖掘。在人脸识别实际应用过程中，由于拍摄角度和人的情绪不同，每次拍摄的图片都不一定相同。可以以此导出需要进一步深入挖掘考虑向量方程解的问题。

(4)总结拓展。以人脸识别的实际问题为主线，总结本节课所学的内容，拓展在实际问题中需要进一步考虑的问题，引出下一节所学的内容：向量组之间的线性表示。

3.2 推进信息技术与线性代数教学深度融合的教学设计

信息技术的发展带来了许多新的教育技术工具，包括精品课程、微课、慕课(Mooc)、翻转课堂等课程体系，以及学习通、课堂派、图+微课等课堂辅助工具。研究表明，在教学中融入图像、影视、声音、动画等多种媒体，大大刺激了学生的感官，使学生做到手、脑、眼、耳并用，充分唤起学生课堂学习的兴趣，从而达到优化课堂结构、提高课堂效率、激发学生创造性思维的教学效果[5-6]。

3.2.1 发挥多媒体教学的最优效用,提高课堂效率

线性代数的教学内容主要有矩阵、行列式、向量组的线性相关、线性方程组解的结构及求法、矩阵的特征值与特征向量、二次型等[7]。多媒体教学可运用于以下几个教学设计环节以提升课堂效率：利用多媒体演示线性代数与几何之间的关系；利用多媒体进行大型线性方程组运算；利用多媒体进行矩阵的运算和应用实例讲解、例题分析、播放视频和创新性习题等。

3.2.2 基于慕课、微课等平台开展线上、线下交互式教学

随着慕课等在线教育模式的兴起，教师在课堂上可用的教学资源越来越丰富。由教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会等单位组织的全国高校数学微课程教学设计竞赛至今已成功举办三届，积累了来自全国各地的公共数学课教师们珍贵的微课视频，这些微课视频均是将信息技术与教育教学内容紧密融合、创新教学设计的优秀成果。因此，在线性代数课程设计中，可以设计适当的章节，引导学生先在线上观看相应的知识点微课视频，做好随堂笔记，完成在线作业，记录问题疑惑；再在线下课堂梳理知识脉络，讲解重点、难点，详解线上例题、作业，并进行适当拓展和延伸。

3.2.3 利用学习通、课堂派等最新的课堂教学管理工具优化课堂质量

这些工具大都具有教学备课、分组学习、课堂互动、考勤表现、班级公告、教学分析、课程管理、成绩统计、随堂测试、教学资料备份、分析处理教材、精品课程制作、优秀作品发布等功能，可以根据实际情况与需求，在课堂适时利用其中的一些功能，如进行课堂小测等，及时了解学生的听课情况，实现课堂质量的同步把控和优化。

当然，在知识传授与反馈方面，传统的板书教学也有其不可替代的优势。教师通过板书动态呈现知识点推导全过程，把数学思维的形成、发展“抽丝剥茧”、条分缕析地传授给学生，可实现与学生的直接交流和同步互动，随时根据学生反馈信息调整课程进度和讲授方式，更有利于学生理解、掌握课程内容，同时培养学生的抽象思维能力。因此，在线性代数的教学过程中，既要考虑信息技术和线性代数教学的深度融合，还应注重现代教学手段(电子课件、计算机软件、多媒体、网络)与传统教学(黑板、粉笔)的优化组合，全面提升课堂教学效果。

3.3 探索数学软件与线性代数常规课程内容紧密配合的教学设计

计算机技术的迭代式发展将人类社会带入信息化时代，在这一背景下，各类性能优越的应用性数学软件也层出不穷，如Matlab、Mathematica、Maple等。这些软件作为人的辅助和延伸运用于数学领域，一方面在运算速度上突破了笔算的限制，另一方面在操作难度上使原本繁琐复杂的矩阵、行列式等的运算简单易行。在线性代数课程教学中引入此类软件，既可以将学生从这些计算中“解放”出来，又可通过对软件运行本质算法的展示和剖析，帮助学生理解信息技术应用过程中看似“不可知”的艰深原理。因此，可以结合课程内容，介绍Matlab等数学软件在代数计算中的用法，让学生学会在应用线性代数知识解决实际问题时如何应用数学软件，同时通过对一些具体问题的计算帮助学生对一些抽象的代数概念进行理解，加深对代数理论知识的认识。

具体落实在教学实践中，可以考虑利用数学软件进行教学设计的章节有行列式的计算、矩阵的运算、求逆矩阵、求矩阵的特征值和特征向量、解线性方程组等。

例2 求方阵逆矩阵的教学设计。

(1)从简单的三阶方阵入手，先通过两种笔算方法进行求解：一是按照定义，先求伴随矩阵，再求逆矩阵；二是利用初等变换法求逆矩阵。

(2)求四阶以上方阵的逆矩阵。此时，学生可能会感觉繁琐，可进一步介绍逆矩阵的Matlab数学软件求法。

例3 求解线性方程组的教学设计。

(1)从简单的三元线性方程组入手，先通过两种笔算方法进行求解：一是用中学学习过的加减消元法求解；二是用初等变换求解线性方程组的方法。

(2)求解四元以上的线性方程组。此时，学生可能会遇到困难，可进一步介绍求解线性方程组的Matlab数学软件求法。

4 分析与思考

随着人工智能时代的到来和新工科建设的逐步推进，线性代数等数学类的基础课程迎来广阔的前景和重要的发展机遇，为其他学科深入学习提供必要的知识和应用能力储备。在教学实践过程中我们发现，线性代数知识与专业课知识有机统一、与信息技术深度融合、与数学计算软件紧密配合的教学模式，既可以提高教学内容的系统性、科学性、前瞻性和趣味性,又可加强即时互动，根据反馈同步进行课程调整,为学生提供最优质的学习资源，便于其随时随地根据自身知识结构和诉求“定制”个性化学习方案，进行自主化学习，真正“形成以学习者为中心的工程教育模式”[1]。当然，在课堂教学设计中仍然有几个问题需要我们着重考虑：一是要根据教学内容的特点选择相应的信息技术工具；二是根据不同专业、不同学生层次设计不同的应用实例和方案；三是在与专业知识和信息技术融合时，要以线性代数课程本身作为立足点，考虑适度性原则。

新工科建设是一项浩繁的系统化工程。在这一理念指导下，线性代数课堂教学改革尚有诸多问题亟待解决。改革的推进不可避免地会受到一系列条件的制约，如学校的硬件设施、教师的教学能力、师生对相关技术的掌握和应用水平等。在此背景下，新工科的教学策略如何实施、教学范式如何改革等问题，都需要教育工作者根据新工科的具体推进情况，进行持续性的深入思考与实践。

[参考文献]

[1]教育部.“新工科”建设复旦共识[J].高等工程教育研究,2017(1):10-11.

[2]教育部.“新工科”建设行动路线(“天大行动”)[J].高等工程教育研究,2017(2):24-25.

[3]教育部.教育部高等教育司关于开展新工科研究与实践的通知[Z].教高司函[2017]6号.

[4]钟登华.新工科建设的内涵与行动[J].高等工程教育研究,2017(3):1-6.

[5]吴华,魏佳.信息技术与大学数学课程整合的方式与理论探讨[J].大学数学,2008(3):28-32.

[6]王强,方文波,张俊杰,等.教育信息化背景下高校线性代数课程教学内容创新的探索与实践[J].大学数学,2012(5):4-7.

[7]同济大学数学系.工程数学·线性代数[M].6版.北京:高等教育出版社,2014.

[8]周开发,曾玉珍.新工科的核心能力与教学模式探索[J].重庆高教研究,2017(3):22-35.