小学数学类比推理法的应用

肖 捷

（福州市宁化小学，福建 福州 350001）

在现今的教学中，不仅要重视数学知识的形成过程，还要努力挖掘数学知识的发生、形成和发展过程中蕴藏的数学思想方法，让学生掌握并学会使用数学的思想和方法，领悟数学的本质，体会数学的魅力。数学的思想方法有很多，其中类比推理法就是一种重要的、使用得很普遍的思想方法。数学家拉普拉斯曾经说过：“在数学的王国里，发现真理的主要工具就是归纳和类比。”类比思想的渗透对于学生的知识迁移、建构系统、培养学生的创造能力有着至关重要的作用。因此，在教学中，可运用类比推理法去探究新知，总结规律；去激发创新思维，培养解决问题的能力；去建构知识网络，让知识更加系统化。

一、类比推理法在小学数学知识中的典型应用

纵观小学阶段的各学段与各领域，可以发现类比推理思想方法的渗透主要是在数与代数，空间与图形这两大领域中。且在第一学段相对渗透的比较少，多是在第二学段进行渗透。因为第二学段，很多知识点的逻辑性更强，必须运用一定的推理才能得出结论。此时，教师就可以根据不同的教材内容，鼓励学生根据知识间的联系进行大胆地猜想，给他们充分的动手操作、验证的时间和空间，让他们在观察、猜想、实验、验证等活动中，发展合情推理能力，培养创造力。

如第一学段“数与代数”内容中，学习“除数是两位数的除法（三下）”，可以借助除数是一位数除法的竖式计算类比推理出除数是两位数的竖式计算；学习“简单的小数加减法（三下）”，借助整数的竖式计算类比出小数的竖式计算。

第二学段“数与代数”内容中，学习“亿以内数的认识（四上）”，可以根据个级的读写法，类比推理出万级和亿级的读写法；根据万以内数比较大小类比推理出亿以内比较大小的方法；学习“笔算乘法（四上）”，可以借助两位数乘两位数类比出三位数乘两位数竖式计算和算理；学习“小数的大小比较（四下）”小数部分的比较类比整数的大小比较，注意有所区别，小数不是位数越多就越大，这点和整数大小比较有不同；学习“小数的加法和减法（四下）”，可以借助整数的简便计算类比出小数的简便计算；学习“小数乘法（五上）”，可以借助整数乘法的计算法则类比出小数乘法的计算法则。运用整数四则运算的运算顺序以及整数乘法的运算定律类比出在小数范围内同样适用；“小数除法（五上）”，整数除法法则类比出小数除法法则；“分数的基本性质（五下）”，可以利用商不变性质类比分数的基本性质；“分数加减混合运算（五下）”，从整数混合运算和加法简便计算定律类比出分数加减混合运算定律；学习“比的基本性质（六上）”，利用分数的基本性质类比出比的基本性质。

第二学段“空间与图形”内容中，学习“平行四边形的面积（五上）”，通过将平行四边形的底和高分别转化成长方形的长和宽，类比出平行四边形的面积公式；学习“圆柱的体积（六下）”，利用长方体的体积公式类比出圆柱的体积公式。

二、类比推理法的应用使教学效果事半功倍

1.利用类比推理法探究新知总结规律

小学教材中有不少计算的例题都是通过学生自己的观察和猜想，比如前文提到的整数计算、小数计算、分数的计算等，把新知识和旧知识联系起来去进行类比推理，而后从类比中去推导发现算理算法，然后验证并总结计算规律。比如简单的小数加减法，是学生在学习了整数加减法的基础上进行教学的。课程一开始，教师可以先帮助学生复习整数加减法的算理和算法，而后直接出示例题：2.3+5.4等于几元。教师可先引导学生观察题目与旧知有什么不同，并追问整数的加减法是否适用于小数，然后让他们展开小组讨论尝试解决。学生大部分都能用整数加减法的算理和算法来尝试推出小数计算的方法，最后再通过验证，即把这些一位小数化成价格几元几角来计算后，发现得数是正确的，证明推测的算法和算理正确。可见，类比推理法也是一种合情推理，应用得当可以帮助学生通过探究推测出解题的方法及蕴含的普遍规律。但由于合情推理是一种或然性的推理，还需要通过验证才能确定推断的真伪性。就像上面小数的计算，学生虽然用类比推理法尝试解决问题，但最后还是要通过验证来证实它的准确性。通过用类比推理的方法尝试自己去探究和总结，很好地培养了学生探究和总结的能力。

2.利用类比推理法激发思维解决问题

类比推理法其实就是在解决问题的时候，能运用已有的旧知，通过联想一个其他类似的熟悉的问题，然后用熟悉的方法去解答所需解答的问题。比如小学数学中的有些知识是学生不容易理解的，如果在教学中，讲授新知的时候联系旧知，将新旧知识类比分析，就能让学生更加理解知识，也容易突破难点，降低教学的难度。如在教学《圆柱的体积》时，可以恰当地运用类比推理的思维方法。比如教师可以通过设计一些具体情境引导他们去想：长方体和正方体的体积都是等于底面积×高，而这些图形圆柱都属于直柱体，所以通过类比推理去猜想圆柱的体积是否也可以用底面积×高来计算，然后再引导学生动手探究验证。这样的教法和学法使得新知识不新，旧知识不旧，学生容易理解和接受。由此可见，使用旧知识的类比推理，能使学生在学习新知的时候易于同化，从而学得轻松，教师也教得愉快，同时又能激发学生的积极思维。但要求教师在教学过程中，也要相应地创设有创造性思维的教学情境，或者采用开放式教学，多放手让学生自己去经历探究、发现、创造和总结的过程。

3.利用类比推理法构建网络梳理知识

类比推理法除了能用来教授学习新知，还可以帮助复习形成概念构成知识网络。小学数学的同一类知识，很多都是碎片化地分散在小学的各个阶段。教师要带领学生在观察、类比中区分事物的异同，从具体事物中区分出最本质的属性，形成“科学概念”，以便构成系统的知识网络。如在五年级期末复习长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形面积时，教师可以利用表格，将这些图形的特点以及面积的计算公式作比较（如表1）：

表1

教师提问：“大家仔细观察一下刚才整理的所有图形面积的计算，有什么异同点？”而后逐步引导学生观察，求这些图形面积都需要底乘高，但是三角形和梯形又在这基础上有所不同。这样借助类比的方法同中求异，有助于学生形成相对完整和系统的空间概念，建构了知识网络，自然地记住公式，不需要费力地死记硬背，梳理了看似繁杂的知识体系。当然，这样让学生在课堂上自如地使用类比推理法，必须要培养出学生的归纳总结能力。只有当学生能概括出不同知识相同或相似的特性时，才能引导学生进行类比。韩愈提倡读书学习先要入书，后要出书，要先把书读厚，再把书读薄。也就是说，要先总结概括，才能深入认识问题的实质。同样的，教师是教学的引导者，也要自觉地学习和丰富自己的专业及理论知识。只有自己充实起来，才能将正确的数学思想方法逐渐渗透到学生的思维中去；只有在知识上融会贯通了，才能更好地在数学课堂上启发和引导学生，实现纵横类比。而且，当有些知识书本并没有明确给出要求时，就要挖掘教材中的潜在知识，必要时要给予补充。

总之，类比推理的思想方法博大精深，使用时通常能够收到严格逻辑推理所不能达到的效果。在数学课上潜移默化地培养学生的类比推理能力，既能提高数学素质，改善思维品质，又能培养创造性，使学生将来的发展有了无限可能。