小学数学对应思想的教育价值探微

陈凯平

（福州教育学院附属第二小学，福建 福州 350001）

“对应”是现代数学中重要的基本概念之一，它所反映的是两个集合的元素间的关系。［1］其中小学阶段常见的数学思想方法“一一对应”，就是建立在“对应”思想基础上的一种特殊对应。此外，数学中有几类非常重要的对应就是映射，主要有：点集与点集映射、数集与点集映射、几何图形点集之间的映射、几何图形点集与数集之间的映射等……本质，上小学数学中的“对应思想”也可以看作是“集合思想”的初等形式与重要组成要素。

相对于转化、符号化、建模、推理等重要的数学思想，小学数学中“对应思想”的教育价值未引起重视。研究和挖掘“对应思想”的内涵，把握其对于数学核心素养培养的意义和价值，探微镜理，进而融入教学之中，还有许多问题值得研究探讨。

一、读通教材──把握“对应思想”的前提

所谓读通教材，就是教师在读懂教材描述内容，明确教材所描述的双基知识这条明线之外，还要感悟和挖掘隐藏其中的数学思想方法、数学活动经验等。［2］通读小学数学教材不难发现，“对应思想”时隐时现，无处不在，因此读通教材是把握“对应思想”的前提。

1.概念教学中的新知与旧知对应

教材中许多新知概念都是以对应方式呈现，如加减乘除算式中各部分名称、比的各部分名称等。以新旧知识对应的呈现方式作为学生认知的切入点，建立起数学符号以及新、旧知概念之间的对应联系，更易于学生加深认识、理解并掌握，从中渗透对应思想。

2.抽象概念教学中的抽象与直观对应

抽象是数学学科的重要思想和特点，然而，学生难以理解数学的抽象性，因此教材往往通过生活中学生熟悉的事物或者形象直观的图形，建立起抽象和具体之间的联系，降低学生认知抽象概念的难度。以数的认识为例，纵观小学数学人教版教材，在教学数的认识或练习中均借助了数轴，借助数轴上的点与整数、小数、分数之间的一一对应关系，让学生在对应直观的认识基础上，对数的大小、数的运算、整数与分数、小数、负数四者之间的关系形成抽象概念，从而促进抽象概念的理解。这样的教材呈现方式更符合小学生认知规律特点，在认识抽象数学概念过程中，“对应思想”贯穿始终，也为今后拓展认识新的数域打下坚实的基础，并从中积累直线上点集和数集之间联系的数学活动经验。

3.空间图形教学中的新旧图形的对应变换

在空间图形教学中，不管是认识图形、感受空间方位，还是确定物体的位置等章节，“对应思想”为发展学生空间观念发挥不可替代的重要作用，尤其以图形的运动和变换为最。［3］以人教版四下数学《图形运动（二）》为例（见图1），任意一个轴对称图形除了对称轴上的点外，原有图形上的任意一个点都有一个与之对应的对称点，即对应点。正是得益于“对应思想”，搭建起轴对称变换中已知图形和运动后图形的联系，读通教材才能发现蕴含在图形表象中的数学本质。

图1

二、融合思想──把握“对应思想”的核心

弗利德曼说过：“数学的逻辑结构的一个特殊的和最重要的要素就是数学思想。”相比于单一的数学思想，多种数学思想间的融合，往往产生1+1＞2的思维推进效果。而“对应思想”沟通联系的核心特性，则是融合各种数学思想过程中的思维催化剂。

1.面积教学中的对应思想

小学数学面积公式推导中，往往渗透了转化思想，将未知转化为已知，在这一转化过程中，“对应思想”起到阶梯的作用，沟通起新旧知识之间的联系。以《平行四边形的面积》为例（见图2），平行四边形的面积对应转化后的长方形面积，其中长方形的长对应平行四边形的底，长方形的宽对应平行四边形的高，因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。

图2

2.函数教学中的对应思想

函数思想的本质是两个变量之间的对应关系，脱离对应思想，函数思想也不可能孤立存在。小学阶段渗透函数思想，尤其在数的运算中体现得更加淋漓尽致。教材往往通过图表，使函数思想的核心——对应关系直观化。如在反比例关系图像中，学生可以直接利用图像上的点与数对的一一对应关系解决简单的反比例问题，初步感受函数思想，体会一个集合中数经过运算得到另一集合的数，沟通两个集合之间的联系。

3.建模教学中的对应思想

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将模型思想列为十大核心概念，既确立了模型思想的重要地位，又凸显了其在解决问题中的应用价值。在具体问题情景中抽象出数学问题，建立模型的过程中，“对应思想”沟通联系的特性使隐藏的数量关系更容易被学生发现。以植树问题为例，引导学生通过化曲为直的办法画出线段图帮助思考，发现间隔数与棵树一一对应，通过与之前两种植树情况对比，学生不难概括出一端不栽的情况下，棵数=间隔数。

三、应用得法──把握“对应思想”的关键

中央教科所赵裕春提出：能力就是运用已有知识和思想方法，解决没有做过的问题。在解决问题过程中，要求学生能综合应用所学过的方法与策略，无疑“对应思想”是解决问题的重要策略，如何应用得法？也是学生今后形成能力的关键。

1.掌握数数与比多少

在第一学段数数与比多少解决问题中，教材时常会将两个集合中元素以一一对应的形式直观呈现。如二上教材中的这道解决问题（见图3），就是通过呈现画图的策略分析问题，进而把握图形中的关键数量“对应”关系，学习掌握解决此类问题的步骤和策略。

2.优化解决问题策略

巧妙应用“对应思想”是优化解题策略、提升思维品质的关键。如三上教材中有这样一道思考题（见图4）。如果用常规做法思考比较难，用一一对应的思想来分析则相对简单：2人一对一比赛一场淘汰一人，没有比赛就不淘汰人，两组一共32人，最后剩两人进行决赛，总共需要淘汰30人，也就是要进行30场比赛，即比赛场次和淘汰人数一一对应。

图4

3.破解正方体展开图

“对应思想”还有助于破解空间想象壁垒，发展空间观念。判断一个展开图能否折叠成正方体，涉及到二维和三维之间的转换，直接想象难度比较大。教学中应引导学生将展开图六个面用文字符号标记，通过观察，学生不难发现，展开图中相对的面是对应隔开的，即前后对应、上下对应、左右对应，根据这一对应关系容易进行判断。如图5，先确定一个前面之后，右面没有一个左面与之对应，也就是右面重复了；虽然图6图形比较复杂，但由于每个面都有其对应面存在，因此可以折叠成正方体。

图5

图6

四、理性创造──把握“对应思想”的升华

在小学数学教学中，应当注意把握“对应思想”的升华美和境界美，引导学生从中发现美、欣赏美、创造美，在充分认识和感受数学外在形式的美好同时，提升对数学内在本质的理性欣赏，有效激发学生学习的内驱力。这不仅提升学生的数学素养，也是对学生理性认知上的一种升华。

1.创造对应数字美

数学中的对应数字美时常出现在探索运算规律中，如图7的算式就具有典型的对应数字美。教学时可以先让学生计算前几个算式的得数，之后引导学生观察，前几个算式与得数又有什么特点？学生很快发现：左边算式中乘法式子第一个因数是从“1”开始对应依次末尾添“2”、添“3”……第二个因数都是9，加数则是从“2”开始依次对应加1，而右边得数“1”的个数与左边加数的数字对应相关。发现规律后，再运用规律解决问题，容易得出后面几个算式的得数。金字塔式的算式最终创造完毕，摆在学生面前，使学生体验到成功喜悦的同时，也让学生感受到数学世界的奇妙多姿。［4］

图7

2.创造对应建构美

数学“对应”美是含蓄的、抽象的，它隐藏在数学探索和发现的过程中。用心体会和创造，就不难发现数学知识所蕴含的美。例如，在一下总复习中加法表的建构过程，既是对所学全部加法算式的全面整理，又是学生体会加法表中排列规律的丰富性和多样性的重要途径。（如图8）每行与列的交叉点均对应一个相应的加法算式，从不同角度观察加法表，在发现规律的同时，学生会发现，原来抽象的加法算式通过列表建构、直观呈现，可以如此生动形象，在和谐统一中相互关联，赋予学生一种豁然开朗、理性升华的体验。

3.创造对应图形美

众多经典艺术作品都与图形运动和变化有关，其中包含了平移、旋转、对称等现象，其数学本质是几何图形上的点集之间的一种映射，即已知图形与变化后图形之间呈“对应”关系。在教学过程中，可以让学生学习相关知识点后，设计创造“对应”的图形。这样的设计活动，有助于学生的认识从感性上升到理性，让学生在提升综合应用所学知识能力的同时，也为理性创造出的数学之美所折服。

图8

综上所述，教师应当深入了解和把握“对应思想”，并有意识地在教学中向学生渗透，逐步培养学生学会用数学的眼光观察世界、分析问题和解决问题，全面提升数学思维品质。