巧解暗动点轨迹问题的最值

江苏省昆山市第二中学 王 明

动点问题是数学教学的重点和难点，因其与数形知识点相结合，使得其具有强大灵活性，从而使这类问题题型多变而复杂。动点问题衍生出两种基本类型：明动点和暗动点。明动点虽有难度，但有固定模型，相对而言比较容易把握。本人在文章《例谈初中几何最值的解法》中已有论述。而暗动点确实较隐蔽，却揭示了数学内在规律性和奇妙性。本文举例论述暗动点的两种类型及巧妙的策略，与同行一起分享数学思维之美。

一、直线型暗动点

所谓直线型暗动点，即暗动点轨迹是一条直线。待分析明确是直线后，这样动点的性质就由暗动点转变成明动点，难度降低，再按明动点方式解决问题。

【例1】如图1，点A(8，0)是x轴上一点，点B(0，m)是y轴上一个动点，连结AB，以B点为中心，逆时针旋转90度，连结PA，PB，求PO+PA的最小值。

图1

【解析】动点B在y轴上移动，点B就是明动点，要求PO+PA最小值，没有直接和点B发生关联，而和点P直接关联，但点B移动又会带来点P移动，那么点P随着点B移动会是怎样的轨迹呢？这种情形，我们就把点P叫作暗动点。

如图1，作PM⊥y轴，垂足为M，

∵BP是BA逆时针旋转90度得到的，

∴PB=BA，∠PBA=90°，

又∵△PMB≌△BOA，

∴PM=OB,MB=AO=8，

∴P点坐标为（m,8+m）。

这个坐标点说明P点是一个动点，它的函数解析式是y=x+8，显然，它是一次函数。那么，P点就在直线y=x+8上运动，这一点非常关键，是解题的要诀，破解了它，问题就迎刃而解。

如图2，过P点作一次函数y=x+8的图像，交x轴于M，过O点作直线y=x+8的对称点O'，连接O'A交y=x+8于P'，连接P'O，O'M。

∵O'是O关于直线y=x+8的对称点，

图2

【例2】如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1，点D是斜边AB上的一个动点(不与点A重合)，△AED为等边三角形。过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段CG长的最小值是多少？

图3

【解析】动点D在AB上移动，点D就是明动点，要求CG的最小值，没有直接和点D发生关联，而和点G直接关联，但点D移动又会带来点G的位置移动，那么点G随着点D移动会是什么样的轨迹呢?

如图，连接AG、DG，

∵G为Rt△DEF的中点，

又∵△ADE为正三角形，∴AD=AE，

∴AG为DE的中垂线，

∴G点的轨迹为一条直线，于是，线段CG长的最小值转化成点到直线的距离，即垂线段最短。

二、圆型暗动点

所谓圆的暗动点，简单地讲就是暗动点轨迹是一个圆。待分析确定是圆后，这样动点的性质就由暗动点转变成明动点，难度降低，再按明动点方式解决问题。

【例3】已知一个△ABC，AB为3，AC=2BC，求△ABC的最大面积。

【解析】本题看上去题干表述简单，但所求问题并不简单。要求三角形面积最大值，主要求出AB为底的高，高在哪里呢?很难确定。因为C点是一个动点，动点的轨迹是什么呢?不得而知，所以点C属于暗动点，这就是本题的难度所在。

如果根据暗动点轨迹思维，问题便简单多了，这是此题的价值所在。这道题是化难为易的一道典型问题，也是训练数学思维科学性的好题。

图4

如图4，以AB为x轴，过B点为y轴建立坐标系，则A坐标为（-3，0），B坐标为（0，0），设C坐标为（x，y），根据两点间坐标公式求出线段长度，得到

∵AC=2BC，

化简得到（x-1）2+y2=22。

由此可知：点C轨迹是一个以（1，0）为圆心，以2半径的圆。那么，以AB为底的高最大值就是半径2，所以△ABC的面积最大值为

数学问题中的动点轨迹问题尤其是暗动点问题，如果根据暗动点轨迹思维，问题便能简化很多，从而顺利解决相关难题。本文通过四个典型的例题论述了这一类问题的解决方法，对教师教学，学生训练数学思维做了一个较好的引导。