绝对值函数多变量最值问题的解法研究

浙江省义乌市义亭中学 叶剑飞

在选择填空的解题中，我们主张小题小做。而很多题型中，我们往往只停留于表面，用表面所呈现的函数题意，运用相应的所学知识去解答。殊不知此时我们应该应用数学中的等价转化思想，将题转化到易于解答或免于参数讨论的形式下去解题。而数形结合是数学解题中的重要解题思想，函数本身就是数与形的结合体。一元二次函数是我们学生最熟悉不过的函数模型，也是高中阶段研究函数问题的精髓所在，再加入若干参数的不等式模型，成为一类难题。可谓是最熟悉的陌生人。

那我们应如何突破这类难题呢？首先来看一下以下题型的多种解题思路，那么同种类型的题解也是异曲同工的。

法一：基于函数思想，通过换元把函数等价转换成二次函数恒成立问题，通过讨论图像开口、对称轴及函数平移使得绝对值内最大最小值之差小于等于1，这是参数讨论的基本功，这里不作赘述。

法二：转化为两个函数的间距问题，即把绝对值内转化成两个初等函数的差，运用数形结合使得两函数的最大间距不超过。

抓住三个关键点（0,0），（1,1），（4,0），可知当且仅当时，即a=-1,。两函数差的绝对值刚好为，其他任何情况都不行。∴a+2b=-2。

法三：转化为直线夹在两曲线间问题，即运用绝对值不等式，把已知不等式等价转化成一条含参数直线在固定的范围内夹于两已知曲线之间。

我们会发现第三种方法的奇妙之处不仅不需要参数讨论，而且给我们提供了解题的另一种思路，曲线夹于两直线之间，直线夹于两曲线之间。

变式一：已知函数f（x）=x2+bx+c，若存在实数b,使得对任意x∈[1,2]，都有|f（x）|＜x成立。则实数c的取值范围是_______。

法一：转化为曲线夹于两直线间问题。

当c≤0时，函数在x∈[1,2]上单调递增，

法二：转化为直线夹于两曲线间问题。

可看成直线y=bx+c夹在y=-x-x2与y=x-x2两曲线之间，而c为截距。

因为当y=bx+c过点（1,0）与曲线y=-x-x2相切时，

法一：转化为函数间距问题。

∴当a=0时，f（x）=0，|b|≤2，∴6a+bmax=2。

∴当a＞0时，f（x）max-f（x）min=5a-4a≤4，即a≤ 4，

而此时5a-（-b）≤2且-b-4a≤2，∴6a+b≤6a-5a+2=a+2≤ 6。

∴当a＜0时，f（x）max-f（x）min=4a-5a≤4，即a≥ -4，

此时4a-（-b）≤2且（-b）-5a≤2，

法二：转化为直线夹于两直线间问题。

解析：（转化为函数间距问题）

解析：（转化为函数间距问题）

解含绝对值的函数问题，困难往往在于函数含有绝对值。我们首先应该清醒地认识到去绝对值还是不去绝对值，并非什么时候都要盲目地去掉绝对值，有些问题保留绝对值正好能化难为易；而去绝对值也并非一定要讨论，那么绝对值这个困难也并非都是“绊脚石”，如果把它看成是“垫脚石”，正好可以从绝对值出发，借用有关绝对值的知识巧妙突破；再者，含绝对值的函数的前提还是函数，又正好运用有关函数类问题的那些思想方法，使解题时“如虎添翼”。

其次，在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形 ”在一定条件下可以相互转化、相互渗透. 可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当地代换转化问题的形式.绝对值的几何意义本身就是距离问题，不管是数轴的还是平面问题。学会将复杂函数转化成两初等函数差的问题，再利用数形结合的思想方法去解决含绝对值多变量函数的不等式问题还是非常具有发展空间的，拓展数学解题方向。