论数学教学中求初等函数不定积分的方法

(晋中师范高等专科学校，山西 晋中 030600)

不定积分是“数学分析”课程中一个重要内容，是后续知识学习的基础。因此，熟练掌握不定积分的计算方法是十分必要的。在不定积分教学中，发现学生在求解不定积分时感到困惑，不知选择哪种方法。本文结合自己的教学经验，介绍几种常用的方法。

一、直接积分法

直接积分法适用于一些较简单的不定积分，被积函数经过恒等变形后，利用基本积分公式和积分四则运算求出不定积分，这种方法需熟练掌握基本积分公式。

=tanx-cotx+C

=x-arctanx+C

二、分部积分法

(excosx+exsinx)+C.

(excosx+exsinx)+C.

因此，当被积函数一般为两种不同类型的函数乘积时，首先考虑采用分部积分法求积分，例如上述常用于消去积分中的反三角函数和对数函数。

三、换元积分法

(一)第一换元积分法(或称凑微分法)

第一换元积分法(或称凑微分法)，是根据一元函数的一阶微分不变性的原理，转化成求不定积分法则。它的表达式：

=G(u)+C=G[φ(x)]+C

由例5知，当被积函数为sinmxcosnx时，拆开奇次幂去凑微分.但是n和m都是偶数，需要用三角公式进行降幂，例如：

等.

(二)第二换元积分法

第二换元积分法是通过变量代换(x=φ(t))，将原积分化为新变量的积分，从而化简原积分，其积分过程为：

=F(t)+C=F[φ-1(x)]+C

其实利用第二换元积分法，关键是寻找x=φ(t)，下面介绍几种常用的代换：

1.三角代换，当被积函数含有：

以上介绍的是不定积分基本的常用的计算方法，适应性较广。其实求解同一积分时，可能会有不同的解法，例如：

解法一：(可以采取第二换元法(三角代换))

解法二：(利用分部积分法)

故

+C

总之，无论采用哪种方法求解不定积分，最后都要把被积函数转化为积分公式表中被积函数的形式。因此，大家一定要熟悉积分公式表中被积函数的形式。并在求解不定积分过程中要善于思考、联想和总结，做到触类旁通。