坐标系演绎出的精彩

江苏 郭建华 张云飞

坐标系是几何问题与代数问题相互转化的有效工具，它将 “数”与“形”有机地结合在一起，在问题的求解过程中体会数形结合的思想，比如通过构造“形”来体会问题的本质.把问题放在坐标系中研究，其主要目的是让学生领悟数形结合的思想、培养深度剖析和解决问题的能力，以及在借助坐标系探寻解题思路的同时获得解题的创造力.

1.结构探究，赋予联想

【例2】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若存在实数λ使得sinA+sinB+λsinAsinB=0，且a+b=2c，则实数λ的取值范围是________.

【点评】结合△ABC的性质和a+b=2c>c这一结构特征，自然联想到椭圆的定义，从而想到构造椭圆，利用椭圆的几何性质解题，用这种方法求解简化了繁琐的代数运算，达到了事半功倍的效果.可见，结构是分析问题的抓手，转化是求解问题的武器，坐标系这个得力工具不可小觑.

2.两图联合，浑然天成

【点评】一般分段函数复合后的函数的零点问题，常规解法是先借助复合形式得到新函数，再对所得函数进行讨论，显得比较繁琐.但是通过适当的换元，将复合函数问题化为两个熟悉的基本函数，再将中间变量m和x有机地联系在一起，在同一个坐标系下研究两个函数的图象，那么会降低解题的难度，达到避繁就简的效果.

3.合理建系，简化运算

【点评】选择以BA所在直线为x轴建系是为了更容易求出点M,N的坐标和建立所求目标表达式，进而让运算更简洁.

4.斜坐标系，简洁明快

解析：以A为原点，AB,AC所在直线为x轴，y轴建立斜坐标系xAy，∠xAy=120°，

【点评】其实建立斜坐标系解题就是对平面向量基本定理深化的理解和拓展应用，它具有缩短探究历程、解法通俗易懂、运算简洁明快等特征.斜坐标系下的平面向量的坐标运算以及向量共线的表示方法与直角坐标系下的运算相同，对于其向量数量积，设a=x1e1+y1e2，b=x2e1+y2e2，则a·b=(x1e1+y1e2)(x2e1+y2e2)=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)cosθ，其中e1,e2是与x轴、y轴同向的单位向量，=θ.利用已知条件和斜坐标系下的向量数量积公式求出点E坐标，问题便轻松获解.

5.极坐标系，如虎添翼

夯实“四基”，提高“四能”是新课程(2017年版)的目标，也是我们课堂教学要追求的终极目标.让学生通过观察、实验、猜想、讨论等形式获得解题方法，让学生主动参与解题教学，体验获得知识的过程，并在教师的引导和帮助下发现问题和提出问题，逐步掌握分析问题和解决问题的基本方法，加强对问题的反思.比如，怎么会想到用建立坐标系求解？题目中是否具有提示性的信息？用坐标法求解与其他方法求解有什么不同的地方？使得解题变得简单了还是复杂了？只有让学生弄清楚问题的来龙去脉，才能在以后的解题中会用坐标法求解，达到举一反三的效果.以例5为例，和其他方法相比较，这样建系的好处是易于表达目标且运算简便，提高了解题的效率，同时也提醒学生解题不能盲目顺从，而应该深刻理解题意，增强应变能力和解题的智慧.在平时的解题教学中，在教给学生方法的同时更重要的是教会学生思考，只有学生会思考，学生才能学会选择和比较，辨别不同解法的优劣，理解问题的本质，提高思维能力，培养创新精神.