浅谈分数阶微积分在高等数学教学中的应用

陈安

摘  要：文章通过介绍分数阶微积分的发展历史，阐述分数阶微积分在融入高等数学教学上的积极意义，然后利用几个具体的例子，进一步说明对分数阶微积分的了解能促进学生对整数阶导数的理解，激发学生的学习兴趣。

关键词：高等数学;分数阶微积分;教学;积极意义

中图分类号：G642         文献标志码：A         文章编号：2096-000X（2019）17-0116-04

Abstract： By introducing the development history of fractional calculus， this paper expounds the positive significance of fractional calculus in the teaching of higher mathematics， and then uses several specific examples to further illustrate that the understanding of fractional calculus can promote students' integer derivative. The understanding of the student's interest in learning.

Keywords： advanced mathematics; fractional calculus; teaching; positive significance

分数阶微积分是近年研究的热点，它与本科教育中的高等数学课程有着紧密联系。如何将这种联系在教学中体现出来，让学生从基本的高等数学学习中也能感悟到前沿研究的魅力，从而激发学生学习数学的兴趣呢？本文尝试回答这样的一个问题，我们将从分数阶微积分的历史出发，然后介绍分数阶微积分在高等数学教学中的意义，最后以分数阶微积分中的一个具体例子为切入点，说明分数阶微积分在高等数学教学中的应用。

一、分数阶微积分的历史

分数阶微积分，也称任意阶微积分，它的研究历史与经典整数阶微积分一样久远。众所周知，在微积分中，17世纪的德国哲学家和数学家Leibnitz发明了Leibnitz符号，他使用符号dx和dy分别表示变量x和y无穷小增量。考虑函数y=f（x），在Leibnitz符号下，y关于x的n阶导数则可记为dx和dy的商，相应的n阶导数可记。Leibnitz符号在高等数学中得到广泛使用，但是在17世纪却引起不少的疑虑。1695年，法国数学家L'Hspital就向Leibnitz发问：如果n怎么办？Leibnitz回复说，这将导致矛盾，但将来终究会得到有用的结果。1819年，在Lacroix的一份文稿中首次出现了任意阶导数。记y=xm，m是一个正整数，Lacroix首先得到n阶导数，

随后的两百多年，对分数阶微积分的研究主要集中在纯数学理论方面，代表性的数学家有：Euler，Lagrange，Liouville，Riemann和Holmgren等。由于初期没有得到物理背景的支持，故分数阶微积分发展非常缓慢。最近几十年，人们发现分数阶微积分可以很好的对具有记忆和遗传性质的材料和过程进行建模，例如，在材料黏弹性的研究领域中，分数阶微分算子已经用来描述材料的本构方程。此外，分数阶微积分在科学与工程的其它领域也有应用，如反常扩散、波传播及湍流等不同领域问题，因此分数阶微积分得到了快速的发展[1-3]。

尽管分数阶微积分历史久远，且已有相当的发展，但在大学本科的教育中，据我们了解，了解它的人非常少。

二、分数阶微积分在融入高等数学教学中的意义

（一）提高学生的学习兴趣

高等数学是学生进入大学后接触的第一门公共基础课，在整个大学四年的学习中具有举足轻重的地位。但是由于概念及定理较高中数学更为抽象和复杂，因此很多学生在接触高等数学后容易产生枯燥和困难，失去学习数学的信心和兴趣。所以培养学生的学习兴趣有着十分重要的意义。这个时候，教师在教学过程中引入分数阶微积分，通过一些简单易懂的例子，或者一些数学家的故事，培养学生的学习兴趣。比如当引入导数定义的时候，在适当时机介绍分数阶微积分的历史，并结合学生的专业特殊性，强调分数阶微积分是高等数学中经典微积分的推广，在科学与工程领域有着重要的作用。以幂函数的Caputo分数阶导数为例，说明当它的阶 0<α<1 时，可以做为零阶导数与一阶导数的过渡，并以直观的图象向学生进行介绍。如果将分数阶导数应用于方程，则可刻画反常扩散现象，也即非布朗运动的现象。提到布朗运动，也可以稍微进行拓展，引发学生对平常遇到的现象的思考，提高学生的学习兴趣。

（二）拓展学生的数学思维

数学是一门逻辑严密的学科。而分数阶微积分与整数阶微积分一样，也有一整套对应的严谨理论，只不过形式更为复杂。通过在高等数学教学过程中适当介绍分数阶微积分，能够培养学生的数学兴趣，有助于数学思维的拓展。当然，在授课前应当充分挖掘分数阶微积分与微积分相关联的知识点，为学生的理解营造更顺畅的氛围，提升学生的学习信心。例如介绍到Gamma函数的时候，可以进一步介绍它是阶乘的推广。以此为切入口，介绍分数阶导数的定义，并指出它是整数阶导数的推广。结合适当的微积分发展历史，表明分数阶导数是理论发展的必然结果，以此增强学生的数学逻辑，拓展学生的数学视野。

（三）提高学生的科学素养

分數阶微积分是一门正在蓬勃发展着的学科，与其它学科有着千丝万缕的关系。在本科教育中，高等数学作为理工科各专业的一门重要基础课，它能够为学生后继课程的学习提供必不可少的数学基础和数学方法。因此，在高等数学教学过程中适当引入分数阶微积分，通过一些自然推广的概念与应用背景的介绍，在各个教学环节有目的地培养学生的运算能力和自学能力，能够让学生逐渐形成知树木又知树林的全局观，并使得学生的科学素养得到有效提高。例如高等数学中定积分的换元法是一个重点内容，教师在教授这一部分内容的时候就可以将幂函数的分数阶导数的求法融入到教学中。这样，不仅巩固了对Gamma函数做为广义积分的理解，同时也使得对换元法的应用更加灵活，从而使得学生的学习信心得到提高，进一步找到各个知识点的脉络，为知识的灵活应用打下坚固的基础。

三、分数阶微积分在高等数学教学中的几个应用例子

例1：定积分换元法及特殊函数的应用

以幂函数为例，我们通过幂函数的Caputo分数阶导数的推导，说明高等数学中定积分的换元法及其特殊函数的应用。另外我们结合分数阶导数与整数阶导数的图像，让学生对导数概念有更深刻的理解。为了讨论方便，我们先介绍一些有用的定义和符号[3]。

结合图像向学生介绍，分数阶导数的图像处于相邻的整数阶导数之间，并且当α越趋于整数的时候，分数阶导数越趋向于整数阶导数。这可以使得学生对零阶导数和一阶导数有更自然的认识，从而拓展学生的数学思维，提高学生的学习兴趣。

图1 幂函数分数阶与整数阶导数的数值比较

例3：几类初等函数导数的直观化

基于例2，我们可以将其它几类初等函数导数与分数阶导数做比较。一般来说，其它的初等函数相应的分数阶导数的表达式非常复杂，因此我们借助数值方法将它们的图像画出来（见图2-5）。关键代码如下：

%利用Grunwald-Letnikov公式计算alpha阶分数阶导数

function relt = fun（t， alpha）

m_max = length（t）;%剖分个数

relt = zeros（m_max， 1）;

f = @funct; %调用所要计算的函数

for k=2：m_max

tk = t（k）; n = m_max; tau = （tk-t（1））/n; tt = t（1）：tau：tk; y = f（tt）; %f为计算的函数

b = ones（1，n+1）; %计算权系数b

for m = 1：n

b（m+1） = （1-（alpha+1）/m）*b（m）;

end

relt（k） = sum（fliplr（y）.*b） * tau^（-alpha）; % G-L逼近

end

end

图2 y=sin（t）分数阶与整数阶导数的数值比较

图3 y=cos（t）-1分数阶与整数阶导数的数值比较

例4：二重积分的计算法

首先给出下面关于分数阶积分的定义。

定义四：函数 f（t）的α阶分数阶积分的定义为

基于二重积分中的交换积分次序方法，我们可以給出分数阶积分的如下性质：

其中β>0，实际上，由二重积分的计算法有

对上式作变量代换 η=（τ-s）/（t-s） 并结合例1可推导得到

从上面的推导过程可看出，在讲解二重积分的计算法时，可引入分数阶积分相关性质计算的例子。在给出例子时强调这是分数阶微积分中最经典的计算，这样有助于培养学生的自信心，提高学习数学的兴趣。

例5：n 重积分的进一步理解

分数阶积分其实可以看成是n重积分的推广[1]。下面我们推导这一过程。记f（τ）的积分为

考虑f（τ）的二重积分

交换上式的积分次序容易得到

则f（τ）的三重积分有

容易看到，对于f（τ）的四重积分，我们可以得到

从而利用数学归纳法，我们可推导得到f（τ）的n重积分公式：

由于 Gamma函数是阶乘概念的推广，于是上式可写成

这正是定义四中α取整数的特殊情形。

因此在讲解函数的n重积分的时候，可以结合分数阶微积分的定义适当做些推广，从而可以增强学生的数学直觉，提高学生的科学素养。

四、结束语

如何将当前的研究热点融入到高等数学的教学是一个需要教师不断探索与尝试的过程。本文通过引入分数阶微积分，介绍它与经典微积分有着同样久远的历史，然后对它在高等数学教学过程中的意义进行阐述。最后通过几个具体的例子进一步说明分数阶微积分在教学上的作用。本文仅是一个初步的尝试，在具体的教学过程中还需要教师不断提高专业水平，以及结合多种教学方法，有针对性地讲授相关知识点，这样才有助于学生接受新的知识，形成良性循环。

参考文献：

[1]Podlubny I. Fractional Differential Equations[M]. Academic Press， San Diego， 1999.

[2]Miller K. S.， Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations[M]. Wiley， New York， 1993.

[3]孙志忠，高广花.分数阶微分方程的有限差分方法[M].科学出版社，2015.