不要错过“通法”的精彩

吴志鹏

摘 要：通法蕴含着丰富的数学思想，更贴近学生的认识水平，符合常人的思维习惯，掌握通法同样也有利于培养学生的数学能力本文以一道习题教学为例阐述熟练掌握通法的必要性.

关键词：通法;亲历;生成

所谓“通法”，是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法.例如，将直线方程代入圆锥曲线方程，整理成一元二次方程，再利用根的判别式、求根公式、根与系数的关系、两点之间的距离公式等解决相关的解析几何问题.这就是解决圆锥曲线问题的通法.通法蕴含着丰富的数学思想，更贴近学生的认知水平，符合常人的思维习惯，掌握通法同样也有利于培养学生的数学能力，所以在教学中要让学生熟练掌握通法.用“通法”解决数学问题时经常会涉及大量的机械性、模式化活动，呈现出计算的繁、杂、难等特征，正是因为“通法”在运算过程中的这些特征，很多学生在解决选择题或填空题时过多地依赖特例法、排除法等一些技巧性较强的方法;另一方面也正是由于“通法”所具有的这些特征，才使得问题的解决过程更具挑战性，同时用“通法”研究所获得的结论，也会因为它的普遍性和适用范围广，而更具诱惑与魅力.如同登山，没有充分的时间、体力，我们可以选择坐缆车观光，那样我们选择的就是速度和效率，可我们也会因此而错过了沿途的风景;有充分的时间和体力，我们可以徒步，那样我们就可以亲历登山的整个过程，不仅可以观看沿途的风景，享受“横看成岭侧成峰”的意境，还可以体验攀登过程的艰辛以及登顶时的那种惬意.用“通法”解答数学选择、填空题就如同徒步攀登，虽然没有用技巧解答的效率高，但它却是一种体验、一种亲历.

1 试题再现

题目 过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F，作倾斜角为60°的直线l，交抛物线于A，B两点（点A在x轴的下方），则AFBF=.

2 试题解析

班级学生解答这道问题的正确率只有10%，通过现场调查，获知这部分学生都是采用特例法获得结论的.因为结论是一个定值，那么对于任意满足条件的实数p结论都是成立的，为了让点F更特殊，他们都不约而同地取p=2这样的一个特例，从而很快地得到点F的坐标为（1，0），联立直线方程与抛物线方程即可求得點A和点B的横坐标，再利用抛物线的定义求得|AF|与|BF|，进而求得|AF||BF|的值.

解法1 设直线l与抛物线交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）.

因为点F是抛物线y2=4x的焦点，所以点F的坐标为（1，0）.

直线l∶y=tan60°（x-1）=3（x-1）.

联立直线l与抛物线方程得，y=3（x-1），y2=4x.

整理得，3x2-10x+3=0.

解得x1=13，x2=3.

利用抛物线的定义可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1.所以AFBF=x1+1x2+1=13+13+1=13.

我为这些学生能采用特例法而快速获得结论而高兴，因为他们对本题的解决方案也正是我想要讲解的方案.这样既避开了繁杂的计算又能很快地获得结论.这时班级“不合时宜”地响起了一个的声音，生1：“老师，能不能用通法来解决这个问题？”

这真是“平地一声响惊雷”“哪壶不开提哪壶”，用“通法”来解答，我在备课时也想过，可是有感于计算的困难，这个想法在我脑中也只是“昙花一现”，说实话，我真不想把时间浪费在这繁杂的计算上面，想敷衍而过，因为我清楚，用“通法”解答不仅浪费时间，影响本节课教学任务的完成，解出来也不一定能够获得有效的结论，这才是我最担心的.可是对生1的发问我又不能置之不理，因为在平时的教学中，我们经常强调的是解题的通法，所以我只能硬着头皮与学生一起将问题在黒板上板演出来：

解法2 因为点F是抛物线y2=2px（p>0）的焦点，所以点F的坐标为（p2，0）.

设斜率为k的直线l与抛物线交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（x1

联立直线l与抛物线方程得，y=k（x-p2），y2=2px.

整理得，k2x2-（k2p+2p）x+k2p24=0.

解得x1=4（k2p+2p）-16（k2p+2p）2-16k4p28k2=p2+pk2-pk21+k2，

x2=4（k2p+2p）+16（k2p+2p）2-16k4p28k2=p2+pk2+pk21+k2.

故|AF|=x1+p2=p+pk2-pk2·1+k2，

|BF|=x2+p2=p+pk2+pk2·1+k2，

AFBF=p+pk2-pk2·1+k2p+pk2+pk2·1+k2=1+k2-1+k21+k2+1+k2.

花了近十分钟的时间，我们最终获得了有效的结论：焦半径的比只与斜率k有关.面对结论，我庆幸用“通法”解决了这个问题，因为我从两根的公式和最终的结论发现了奥秘——一个很明显的对称式.如果说在用“通法”解决这个问题之前，我还是盲然的，而此时的我已经有了掌控问题生成方向的能力，我不由得暗自高兴.于是我不露声色地问道：大家对这个结论是否存有疑虑？能否用公式检验一下刚才的结论？

生2：把k=3代入上式，结果正是13.

师：观察解题过程和上述结论，你发现了什么？

生3：两个根的公式其实是两个对称式，求和就可以消去讨厌的根式，即x1+x2=p+2pk2.

生4：还可以得到，x1+x2+p=2p+2pk2=（1+1k2）·2p.

师（明知故问）：很好，但为什么要加上p？

生4：因为x1+x2+p=x1+p2+x2+p2=|AF|+|BF|=|AB|，即为过焦点的抛物线的弦长.

这时我发现班级中有一些同学在发愣，也许他们还不太相信生4所得到的結论竟然是过焦点抛物线的弦长公式.一会儿，班级哗然，弦长公式这么简单，以前我们怎么没想到，有没有搞错？班级传来了很多同学的质疑声.

师（幽默）：既然有这么多的同学不相信“科学”？那我们现在就来当场验证：请一、二、三组的同学用通法即用“弦长公式法”解答：过抛物线y2=4x的焦点，且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，求|AB|的值.第四组同学用生4所给的公式求值.几秒钟后第四组便有了答案：|AB|=8，而2分钟后其它各组也纷纷给出了答案：|AB|=8，看着同学们的眼神，我知道他们信服了.

师：从上面的例子，我们初步验证了得到的公式，当然用一个特例去验证说明公式的正确性还很不科学，同学们回去后可以多举些例子进行验证，并用“弦长公式”加以推导、证明，这样获得的公式才具有科学性.

生5（叫了起来）：这个公式有明显的漏洞.

师：说说看.

生5：当这条直线过抛物线的焦点且斜率不存在时，公式显然不能用.

师：很好，生5考虑问题很全面，的确这个公式不适合这条特殊的直线.那怎么办呢？

生6：对生4所给的公式进行补充规定：当直线过抛物线的焦点且斜率不存在时，弦长|AB|=2p，因为此时弦AB就是抛物线的通径，长为2p.

师：生6说得很好，通过对公式的补充使得公式更具完备性.

师：生4带给我们的过抛物线焦点的弦长公式是多么得简洁，它不仅给我们的计算带来方便，更给我们带来了美的感受，仔细观察，你还能有什么发现呢？

生7：我们还可以求焦半径的长？

师：怎样求？

生7：因为|AF||BF|=1+k2-1+k21+k2+1+k2，且|AB|=（1+1k2）·2p，

所以|AF|=1+k2-1+k22（1+k2）·（1+1k2）·2p=1+k2-1+k2k2·p，

|BF|=1+k2+1+k22（1+k2）·（1+1k2）·2p=1+k2+1+k2k2·p.

师：非常开心，生7通过上面的两个关系式又获得了抛物线的焦半径公式.通过研究这道例题，我们不仅得到抛物线过焦点的两条焦半径的比值公式，还获得了焦点的弦长公式和焦半径公式等一些很有价值的规律性结论，同时也感受了“通法”带给我们的生成体验.

一次用“通法”的求解过程，让我们亲历了一次生成，感受了一次意外的收获.假如我们对这道题的解法只是停留在用特例法进行求解，那么我们所能感受的仅仅就是特例法带给我们“获得答案”速度上的惊喜和“13”这个冰冷的结论.而用“通法”解决问题，不仅让我们在解题中有了挑战困难的勇气，更让我们体验了公式的魅力和一系列美丽的生成，所以在教学过程中，既要讲究解题技巧，更不要错过“通法”的精彩.

参考文献：

[1]金钟植谈谈对数学通法的认识和理解[J].高中数理化（高一版），2008（02）：8-11.

[2]孔娟请多一些通法，少一些特技[J].数学学习与研究，2016（20）：131.

（收稿日期：2019-09-18）