高考力学中的四种弹簧类问题分析

甘肃 张金龙 薛 兴

弹簧类问题是高中物理中非常典型的变力作用模型，因这类问题过程复杂，涉及的力学规律多，综合性强，能全面考查学生的科学思维、实验探究等物理核心素养，是历年高考命题的热点，但大部分学生解决弹簧类问题感觉比较困难，思路不清，甚至无从下手。本文通过典型实例分析牛顿运动定律中的弹簧类问题、功能关系中的弹簧类问题、动量守恒定律中的弹簧类问题和实验中的弹簧问题，旨在帮助学生深刻剖析力学中弹簧类问题，抓住解题要点，提高备考效率。

一、弹簧类问题命题突破要点

1.弹簧的弹力是一种由弹性形变决定大小和方向的力，在弹性限度内，根据胡克定律可知F弹=kx，当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小和方向时刻要与当时的形变相对应。一般从分析弹簧的形变入手，先确定弹簧原长位置、形变后位置、形变量x与物体空间位置变化的关系后，分析形变所对应的弹力大小和方向，进而分析物体运动状态及变化情况。

2.弹簧的形变发生改变需要时间，瞬间可认为无形变量，弹力不变，弹性势能不变。F弹=kx中x表示形变量，弹力和弹性势能为某特定值时，可能对应两种状态(即弹簧伸长或压缩)，高考经常在此设置题目。

4.弹簧连接物体组成的系统，因弹力为系统的内力，当系统外力合力为零时，系统动量守恒，应用动量守恒定律可快速求解物体的速度，此类问题涉及物体多，过程复杂，常以选择题或计算题的形式出现，注意抓住临界状态及条件，结合能量守恒定律便可求解。

二、四种弹簧类问题

题型一 牛顿运动定律中的弹簧类问题

1.弹簧弹力的特点：(1)瞬时性。弹力随形变的变化而变化，弹簧可伸长可压缩，两端同时受力，大小相等方向相反；(2)连续性。弹簧形变量不能突变，约束弹簧的弹力不能突变；(3)对称性。弹力以原长为对称，大小相等的弹力对应压缩和伸长两种状态。

2.此类问题经常伴随临界问题。当题目中出现“刚好”“恰好”“正好”，表明过程中存在临界点；若出现取值范围、多大距离等词时表示过程存在“起止点”，这往往对应临界状态；若题目要求“最终加速度”“稳定速度”，即求收尾加速度和收尾速度。

【例1】如图1所示，光滑水平地面上，可视为质点的两滑块A、B在水平外力的作用下紧靠在一起压缩弹簧，弹簧左端固定在墙壁上，此时弹簧的压缩量为x0，以两滑块此时的位置为坐标原点建立如图1所示的一维坐标系，现将外力突然反向并使B向右做匀加速运动，下列关于外力F、两滑块间弹力FN与滑块B的位移x变化的关系图像可能正确的是

( )

图1

A

B

C

D

( )

图2

B.弹簧恢复原长时物块a、b恰好分离

【小结】准确理解胡克定律F=kx中各物理量的含义，注意x为形变量(伸长量或缩短量)，分析弹力一般从形变量入手，抓住弹力与物体位置或位置变化的对应关系，对物体进行受力分析，结合牛顿运动定律确定物体的运动状态或各物理量随位置坐标的变化情况。

题型二 功能关系中的弹簧类问题

1.题型特点：由轻弹簧连接的物体系统，一般有重力和弹簧弹力做功，这时系统的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化机械能守恒，注意应用功能关系或机械能守恒定律进行求解。

2.注意三点：(1)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，与弹簧伸长或压缩无关；(2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关；(3)如果系统中两个物体除弹簧弹力外所受合外力为零，则弹簧形变量最大时两物体速度相同。

【例2】如图3所示，B、C两小球由绕过光滑定滑轮的细线相连，C球放在固定的光滑斜面上，A、B两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A球放在水平地面上。现用手控制住C球，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知C球的质量为4m，A、B两小球的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放C球后，B球的速度最大时，A球恰好离开地面，求：

(1)斜面的倾角α；

(2)球C球获得的最大速度vm。

【解析】(1)B球速度达到最大时，B球、C球加速度为零，A恰好离开地面，设弹簧伸长量为xA，对A球，kxA=mg，对B球，F线-mg-kxA=0，对C球，4mgsinα-F线=0，联立解得α=30°。

题型三 动量守恒定律中的弹簧类问题

1.题型特点：两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统在相互作用过程中，若系统不受外力或所受合外力为零，则系统的动量守恒；同时，除弹簧弹力以外的力不做功，则系统的机械能守恒。

2.注意三点：(1)此类问题一般涉及多个过程，注意把相互作用过程划分为多个依次进行的子过程，分析确定哪些子过程动量或机械能守恒，哪些子过程动量或机械能不守恒；(2)对某个子过程列动量守恒和能量守恒方程时，初末状态的动量和能量表达式要对应；(3)一个常见的临界状态，即当弹簧最长或最短时，弹性势能最大，弹簧两端物体速度相等。

【例3】如图4甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连，静止在光滑水平地面上，某瞬间物块m1获得水平向右的速度v0，从此时刻开始计时，两物块的速度随时间变化的规律如图4乙所示，则下列判断正确的是

( )

甲

A.t1时刻弹簧长度最短

B.在t1～t3时间内，弹簧处于压缩状态

C.在0～t2时间内，弹簧对物块m1冲量的大小为m1(v0-v3)

D.物块m1、物块m2的动量满足m1v0=(m1+m2)v2=m2v1-m1v3

【解析】物块m1获得速度v0，开始压缩弹簧，物块m1减速，物块m2加速，t1时刻二者速度相等，系统动能最小，弹性势能最大，弹簧被压缩至最短，然后物块m2加速，物块m1先减速为零然后反向加速，t2时刻，弹簧恢复原长状态，此时两物块速度方向相反，因此弹簧的长度将逐渐增大，两物块均减速运动，t3时刻，两物块速度相等，系统动能最小，弹性势能最大，弹簧伸长量最大，因此从t2到t3过程中弹簧处于伸长状态，故A选项正确，B选项错误；在0～t2时间内，根据动量定理得弹簧对物块m1的冲量为I=Δp=m1(-v3)-m1v0=-m1(v3+v0)，故C选项错误；在0～t1和0～t2时间内，将弹簧和两物块看为整体，合外力为零，动量守恒，有m1v0=(m1+m2)v2=m2v1-m1v3，故D选项正确。

【变式训练2】如图5所示，三个小木块A、B、C静止在足够长的光滑水平轨道上，质量分别为mA=0.1 kg，mB=0.1 kg，mC=0.3 kg，其中B与C用一个轻弹簧固定连接。开始时整个装置处于静止状态，A和B之间有少许塑胶炸药(质量不计)，现引爆塑胶炸药，若炸药爆炸产生的能量有E=0.4 J转化为A和B沿轨道方向的动能。爆炸时间极短，求：

图5

(1)爆炸后瞬间A、B的速度大小；

(2)弹簧弹性势能的最大值；

(3)弹簧恢复到原长时B、C的速度大小。

【解析】(1)炸药爆炸前后以A、B为系统分析，根据动量守恒定律可知mBvB-mAvA=0

代入数据解得vA=vB=2 m/s

【小结】弹簧与它两端连接的物体弹力大小始终相等且方向相反，当系统不受其他外力时，运用动量守恒定律不用考虑过程中弹力如何变化，解决此类问题体现出极强的优越性，分析此类问题注意分解过程、抓住临界状态，结合机械能守恒定律进行求解，因选修3-5已调整为必考内容，所以，动量守恒定律中的弹簧类问题也应引起足够的重视。

题型四 实验中的弹簧类问题

实验中的弹簧类问题涉及的实验是“探究弹簧弹力与弹簧伸长量的关系”，即胡克定律F=kx。力F的测量要注意弹簧竖直且处于平衡状态，x的测量要注意不能超过弹性限度，用测量总长度减去弹簧原长，不能直接测量形变量，否则会增大误差。胡克定律还可表述为ΔF=kΔx，根据此式即使不测量弹簧的原长也可求劲度系数，通常以弹力F为纵坐标，弹簧长度或伸长量x为横坐标，通过图像斜率求劲度系数。

【例4】某实验小组探究弹簧的劲度系数k与其长度(圈数)的关系。实验装置如图6所示：一均匀长弹簧竖直悬挂，7个指针P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6分别固定在弹簧上距悬点0、10、20、30、40、50、60圈处；通过旁边竖直放置的刻度尺，可以读出指针的位置，P0指向零刻线。设弹簧下端未挂重物时，各指针的位置记为x0；挂有质量为0.100 kg的砝码时，各指针的位置记为x。测量结果及部分计算结果如表所示(n为弹簧的圈数，取重力加速度为9.8 m/s2)。已知实验所用弹簧总圈数为60，整个弹簧的自由长度为11.88 cm。

图6

P1P2P3P4P5P6x0(cm)2.044.066.068.0510.0312.01x(cm)2.645.267.8110.3012.9315.41n102030405060k(N/m)163①56.043.633.828.81/k(m/N)0.0 061②0.0 1790.0 2290.0 2960.0 347

(1)将表中数据补充完整：①________，②________。

图7

(3)图7中画出的直线可近似认为通过原点，若从实验中所用的弹簧截取圈数为n的一段弹簧，该弹簧的劲度系数k与其圈数n的关系的表达式为k=________N/m；该弹簧的劲度系数k与其自由长度l0(单位为m)的关系的表达式为k=________N/m。

图8

三、结语

弹簧因它的弹力、弹性势能与形变量之间有独特的关系，牛顿运动定律、机械能守恒定律及动量守恒定律等力学核心内容均可以以弹簧为载体进行考查，试题综合性强，难度大，能全面考查学生逻辑思维能力和运用数学知识解决物理问题的能力，备受命题专家的青睐，所以，备考当中应引起足够的重视。