例谈函数与导数综合题分类讨论策略

陈仁华

分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点和热点，也是难点.在解答这类问题时，教师要注意引导学生把好“四关”，即深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”;找准划分标准，把好“分类关”;保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”;注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”.在这里笔者以函数与导数综合题为例谈谈运用分类讨论思想解题的策略.

策略一：根据一次项系数或二次项系数确定分类“界点”

【例1】已知f（x）=lnx，设A（x，lnx），B（x，lnx），且x

（1）设g（x）=f（x+1）-ax，其中a∈R，试求g（x）的单调区间;

（2）试判断弦AB的斜率k与f ′（x）的大小关系，并加以说明.

【解析】（1）g（x）=ln（x+1）-ax，定义域为（-1，+∞）.g ′（x）=-a=.①当a≤0时，由x>-1得g ′（x）>0，此时g（x）的单调递增区间为（-1，+∞）;②当a>0时，由-10，由x>-1得g ′（x）<0，此时g（x）的单调递增区间为（-1，-1），单调递减区间为（-1，+∞）.

（2）k==，f（x）==，则k-f ′（x）

=（ln-2×）=（ln-2×）.∵01.令=t>1，则k-f ′（x）=（lnt-2×）.令h（t）=lnt-2×（t>1），h ′（t）=-=>0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴由t>1得h（t）>h（1）=0，又∵x0，∴k>f ′（x）.

【点拨】在例1中，g′（x）的函数值符号由函数φ（x）=-ax-a+1（x>-1）的函数值符号决定.

（1）当-a=0，即a=0时，φ（x）=1（x>-1）.

（2）当-a≠0，即a≠0时，函数φ（x）零点为x=-1+，再按-1+与-1的大小分类：①当a<0时，-1+<-1;②当a>0时，-1+>-1.

策略二：根据导函数零点大小确定分类“界点”

【例2】设函数f（x）=ax2

-（4a+1）x+4a+3ex.

（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a;

（2）若函数f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围.

【解析】（1）∵f ′（x）=ax2

-（2a+1）x+2ex，∴f ′（1）=（1-a）ex，由题设可知f ′（1）=0，解得a=1，∴a的值为1.

（2）f（x）定義域为R，f′（x）=ax2

-（2a+1）x+2ex=（ax-1）（x-2）ex，设g（x）=ax-（2a+1）x+2=（ax-1）（x-2）.

当a=0时，g（x）=-x+2，由x<2得g（x）>0，f ′（x）>0，由x>2得g（x）<0，f ′（x）<0，此时f（x）在x=2处取得极大值，不符合题意.

当a≠0时，令f ′（x）=0得g（x）=0，解得x=或x=2.

①当=2，即a=时，g（x）=（x-2）2，由x∈R得g（x）≥0，f ′（x）≥0（当且仅当x=2时等号成立），此时f（x）在R上单调递增，f（x）没有极值，不符合题意.

②当<2，即a<0或a>时，其中：

若a<0时，由x<或x>2得g（x）<0，f ′（x）<0，由0，f ′（x）>0，此时f（x）在x=2处取得极大值，不符合题意;

若a>时，由x<或x>2得g（x）>0，f ′（x）>0，由

③当>2，即0得g（x）>0，f ′（x）>0，由2

综上所述，a的取值范围是（，+∞）.

【点拨】在例2中，f ′（x）的函数值符号由函数g（x）=ax2-（2a+1）x+2的函数值符号决定.

（1）当a=0时，g（x）=-x+2.

（2）当a≠0时，函数g（x）有两个零点和2，再按与2的大小分类，即①=2，②<2，③>2.

策略三：根据判别式符号确定分类“界点”

【例3】已知函数f（x）=x-+a（2-lnx），a>0，讨论函数f（x）的单调性.

【解析】函数f（x）的定义域为（0，+∞），f ′（x）=x-+a（2-lnx）=1+-=.设g（x）=x2-ax+2，一元二次方程g（x）=0的判别式Δ=a2-8.

①当a>0

Δ<0，即00得g（x）>0，f ′（x）>0，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增;

②当a>0

Δ=0，即a=2时，仅有g（）=0，f ′（）=0，对x>0且x≠，g（x）>0，f ′（x）>0，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增;

③当a>0

Δ>0，即a>2时，方程g（x）=0有两不等实根x=，x=，且0x得，g（x）>0，f ′（x）>0，由x

综上所述，当02时，单调递增区间为（0，）和（，+∞），单调递减区间为（，）.

【点拨】在例3中，f ′（x）的函数值符号由函数g（x）=x2-ax+2的函数值符号决定，方程g（x）=0的判别式为Δ=a2-8，按Δ的符号分类讨论，即①Δ<0，②Δ=0，③Δ>0.

策略四：根据导函数零点与定义域的关系确定分类“界点”

【例4】已知函数f（x）=（a-1）lnx--x（a∈R）.

（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程;

（2）若函数f（x）在[1，3]上的最大值为-2，求实数a的值.

【解析】（1）当a=2时，f（x）=lnx--x，f ′（x）=+-1，f（2）=ln2-3，f ′（2）=0，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程y=ln2-3.

（2）f ′（x）=+-1=（1≤x≤3），设g（x）=-（x+1）（x-a），令f ′（x）=0，即g（x）=0得x=-1（舍）或x=a.

①当a≤1时，由1≤x≤3得g（x）≤0，f ′（x）≤0，∴f（x）在[1，3]上单调递减，此时f（x）=f（1）=-a-1=-2，解得a=1;

②当a≥3时，由1≤x≤3得g（x）≥0，f ′（x）≥0，∴f（x）在[1，3]上单调递增，此时f（x）=f（3）=（a-1）ln3--3=-2，解得a=<3，舍去;

③当10，f ′（x）>0，由a

综上所述，a=1或a=e.

【点拨】在例4中，f ′（x）的函数值符号由函数g（x）=-（x+1）（x-a）的函数值符号决定，f ′（x）的零点即g（x）的零点为-1和a，其中a与定义域[1，3]的关系不确定，应分为三类，即①a≤1，②a≥3，③1

总之，在解函数导数综合题的過程中，当导函数含函数g（x）=ax+b，且导函数的符号由g（x）函数值符号决定，要根据一次项系数的符号进行分类.当导函数含函数g（x）=ax2+bx+c，且导函数的符号由g（x）函数值符号决定，要把握好分类讨论的层次.一般按下面次序进行讨论：首先，根据二次项系数的符号进行分类;其次，根据方程g（x）=0的判别式Δ的符号进行分类;最后，在根存在时，根据根的大小进行分类.

◇责任编辑 邱 艳◇