基于最大周向拉应力准则的水力裂纹起裂特征研究

赵凯凯，姜鹏飞，冯彦军，孙晓冬，程利兴，郑建伟

( 1. 煤炭科学研究总院 开采研究分院，北京 100013；2. 煤炭科学研究总院 煤炭资源高效开采与洁净利用国家重点实验室，北京 100013；3. 中煤科工开采研究院有限公司，北京 100013；4. 天地科技股份有限公司 开采设计事业部，北京 100013 )

水力压裂是指岩体裂隙在高水压作用下起裂、扩展并连通的过程。水力压裂在诸多岩土工程领域广泛应用，如页岩气开采、地热资源开发、煤层气开采等[1-3]。其在煤矿坚硬顶板控制、高应力巷道卸压和冲击地压防治等方面也成功推广应用[4-6]。研究水力裂纹起裂特征具有重要的理论意义和应用价值。

近年来，煤炭科学研究总院开采研究分院对水力压裂技术进行了集中攻关，开发了一系列矿用水力压裂工艺和机具，获得了良好的经济技术效 果[7-8]。其中，定向水力压裂技术是在岩体中预制起裂裂纹，采用高压注水使岩体沿预制裂纹破裂，造成岩体破碎或分层，弱化岩体强度，破坏岩体结 构[8-9]。定向水力压裂技术期望控制顶板在指定位置或某一特定的方向断裂，而水力裂纹沿预制裂纹起裂后往往会发生不同程度的偏转[10-12]。定向水力压裂方案与参数设计需要进一步认识水力裂纹的起裂和扩展特征。

水力裂纹的起裂和扩展受制于地应力、岩体结构及施工参数等。在试验研究方面，吴拥政[13]等在砂岩中预制切槽进行定向压裂试验，探究了应力差和层理对起裂压力和裂缝扩展形态的影响；林健[14]等对预留钻孔和纵向切槽水泥试块水力压裂过程中不同泵流量对裂缝偏转距的影响规律进行了详细研究；刘正和[15]等采用预制裂纹的紫砂岩试样进行了水力压裂试验，研究了预制裂纹倾角、水平应力差和注液速率对裂纹偏转角和起裂压力的影响；姜浒[16]等针对定向射孔压裂，探究了裂纹起裂及扩展特征在不同应力条件和射孔参数下的变化规律。试验研究取得了许多有益的成果，但试验成本高昂、耗时较长且得到结果有限，难以全面揭示多参数变化的影响规律。理论计算能够方便控制影响参数变化，因而被广泛采用。

在理论研究方面，常用的扩展准则有：最大周向拉应力准则[17]、应变能密度准则[18]、能量释放率准则[19]等。JIN Xiaochun[20]等应用上述3种扩展准则分别计算了裂纹起裂角受多因素影响下的变化规律，并对3种准则计算的起裂角进行了对比分析；陈勉[21]利用最大周向拉应力准则建立了水力裂纹起裂和偏转的控制方程，分析了裂纹偏转扩展的关键影响因素和力学特征；唐世斌[22]等采用最大周向拉应力准则研究了井筒预制对称射孔时，起裂水压和起裂角在不同射孔参数和应力条件下的变化规律。随着理论研究的深入，学者们[23-25]逐渐认识到裂纹尖端非奇异应力( T应力 )的影响，采用不同断裂准则同时考虑T应力对水力裂纹起裂角及临界水压的变化规律进行了研究。需要指出的是各类准则均有各自的假设条件及适用范围，尚不存在万能的断裂准则。最大周向拉应力准则形式简单且能较好地预测岩石裂纹断裂特征，得到了广泛应用。

水力裂纹起裂角和起裂所需的临界水压对于确定合理的预制裂纹参数及施工泵压参数具有重要的参考意义。起裂角和临界水压的主要影响因素包括：地应力、注入水压、预制裂纹倾角和尺寸等。本文基于断裂力学理论和最大周向拉应力准则，分析各关键因素对水力裂纹起裂角和临界水压的影响，研究成果可为定向水力压裂的设计施工提供参考。

1 水力压裂力学模型与裂纹扩展准则

如图1所示，长度为2a的倾斜裂纹受到远场压力σH( 最大水平主应力 )和σh( 最小水平主应力 )的作用。β为预制裂纹倾角；θ为裂纹起裂角( 顺时针为负 )。

裂纹面上的正应力σn和切向应力τn为

图1 水力压裂力学模型 Fig. 1 Mechanical model of crack under hydraulic pressure

式中，P 为注入水压；α1为比奥系数；p0为孔隙水压。

图1中水力裂纹的Ⅰ型和Ⅱ型应力强度因子为

图2为线弹性材料裂纹尖端应力分布及变量示意，极坐标系中裂隙尖端应力分量表达式[26]为

式中，σr为径向应力；σθ为周向应力；τrθ为剪切应力；r为裂纹扩展区半径。

图2 裂纹尖端应力场 Fig. 2 Stress field around crack tip

假设裂纹在周向拉应力最大方向上起裂，裂纹起裂角θ应满足以下条件：

根据式( 5 )和( 6 )可得：

求解式( 7 )可得到基于最大周向拉应力理论的裂纹临界起裂角θc为

将式( 3 )和( 4 )代入式( 8 )可得θc的显式解为

此外，由式( 5 )可得：

水压达到临界水压Pc时，周向拉应力达到其最大值，岩石产生拉张开裂，应力强度因子KI达到其I型断裂韧度KIC。

联立式( 8 )，( 10 )，( 11 )可得[22]：

由式( 12 )可得裂纹起裂所需的临界水压Pc。

2 起裂角影响因素分析

基础模型参数为：σH=7.5 MPa，σh=5 MPa， P=16 MPa，1α =0.8，0p =5 MPa，β=45°，a=0.04 m，KIC=2 MPa·m1/2。基于式( 9 )分析4因素(β，P，Δσ=σH-σh，0p )对起裂角的影响规律。保持其他参数不变，改变裂纹倾角β( 取值范围0°～90° )，应用式( 9 )可得起裂角-θc随预制裂纹倾角β的变化规律( 采用基本模型计算所得θc均为负数，做图均采用 -θc)。如图3所示，起裂角-θc随裂纹倾角β增加呈先增加后减小的趋势，曲线形态呈拱形。当β取值为45°～55°时，-θc达到拱顶平台，即在此范围内-θc量值变化较小；β取值为47°左右时，-θc达到峰值( 约为10.3° )；β=0°和90°时，-θc量值最小为0°。

图3 预制裂纹倾角β对起裂角-θc的影响 Fig. 3 Effect of inclination angle on the crack initiation angle

保持其他参数不变，改变注入水压P( 取值范围6～45 MPa )，应用式( 9 )可得起裂角-θc随水压P的变化规律。由图4可知，随着水压P增加，起裂角-θc逐渐降低，且降低的速率逐渐减小。P从6 MPa增加至20 MPa时，-θc从31.3°减少至7.9°，降幅约为23.4°。P从20 MPa增加至45 MPa时，-θc降幅约为4.6°。低水压条件下，裂纹易发生大角度偏转，而随着水压增高，裂纹偏转角度逐渐降低。水压继续增加，裂纹偏转角对水压变化的敏感性逐渐降低。现场应用中可通过提高水压来减轻裂纹的偏转程度，使得水力裂纹趋向于沿预制方向扩展。过高的水压对减小起裂角的效果已不明显，综合考虑压裂泵性能及预期扩展方向可确定合理的水压。

图4 水压P对起裂角-θc的影响 Fig. 4 Effect of hydraulic pressure on the crack initiation angle

保持其他参数不变，改变最大水平主应力σH( 取值范围5～10 MPa )，应用式( 9 )可得起裂角-θc随应力差( Δσ=σH-σh)的变化规律。由图5可知， -θc随着Δσ的增加呈单调递增趋势，应力差从0增加至5 MPa，-θc从0°增加至21.2°。应力差的增加导致裂纹偏转角度的增加，裂纹偏转方向为最大水平主应力σH方向。

图5 应力差Δσ对起裂角-θc的影响 Fig. 5 Effect of stress difference on the crack initiation angle

保持其他参数不变，改变孔隙水压0p ( 取值范围0～10 MPa )，应用式( 9 )可得起裂角-θc随孔隙水压0p 的变化规律。由图6可知，-θc随着0p 的增加呈单调递减趋势，应力差从0增加至10 MPa，-θc从14.1°减少至7.9°，降幅约为6.2°。

图6 孔隙水压 0p 对起裂角-θc的影响 Fig. 6 Effect of pore pressure on the crack initiation angle

为了更加全面了解各因素对起裂角-θc的影响，将3因素( β，P，Δσ )相互组合，研究双因素共同作用下的起裂角变化规律( 各因素取值范围与前文所述一致 )。预制裂纹倾角β和水压P共同影响下起裂角-θc的变化规律如图7所示，当水压P取值较低，裂纹倾角取值为45°～55°时，计算所得起裂角-θc较大；当水压P逐渐增加或预制裂纹倾角β趋向于0°或90°时，起裂角-θc逐渐减小( 图3和图4分别为图7在P=16 MPa、β=45°处的垂直剖面 )；高水压、低倾角或高倾角条件下裂纹偏转角度较小，而低水压、裂纹倾角为45°～55°时，裂纹偏转角度较大。

图7 预制裂纹倾角β和水压P对起裂角-θc的影响 Fig. 7 Combined effect of inclination angle and hydraulic pressure on the crack initiation angle

预制裂纹倾角β和应力差Δσ共同影响下起裂角-θc的变化规律如图8所示。当Δσ较小时，裂纹倾角β的变化对起裂角-θc无显著影响；当Δσ取值增大，起裂角-θc对倾角β的变化逐渐变得敏感，-θc随β变化曲线仍呈拱形；在低倾角或高倾角条件下，Δσ的变化对起裂角-θc无显著影响。随着β取值从0°或90°趋向于45°～55°时，-θc对应力差Δσ的变化逐渐变得敏感，-θc随着Δσ的增加呈近似直线增加，且增加的速率随β趋向于45°～55°而逐渐增加( 图4和图5分别为图8在β=45°、Δσ=2.5 MPa处的垂直剖面 )。

图8 应力差Δσ和预制裂纹倾角β对起裂角-θc的影响 Fig. 8 Combined effect of inclination angle and maximum horizontal principal stress on the crack initiation angle

水压P和应力差Δσ共同影响下起裂角-θc的变化规律如图9所示。当水压P取值较高且应力差Δσ较低时，裂纹偏转角度较低( 趋近于0° )；相反，随着应力差的增加、注入水压的降低，裂纹偏转角度迅速增加。应力差为5 MPa，水压为6 MPa时，-θc达到峰值( 约为53° )。

图9 应力差Δσ和水压P对起裂角量值-θc的影响 Fig. 9 Combined effect of maximum horizontal principal stress and hydraulic pressure on the crack initiation angle

3 临界水压影响因素分析

基于式( 12 )分析5因素( β，Δσ，a，KIC，0p )对裂纹起裂所需的临界水压Pc的影响规律。保持其他参数不变，改变预制裂纹倾角β，应用式( 12 )可得临界水压Pc随倾角β的变化规律。如图10所示，Pc随β的增加呈逐渐增加的趋势。β从0°增加至90°时，Pc从6.6 MPa增加至9.1 MPa，Pc总增幅约为2.5 MPa；β的取值为0°～20°和80°～90°时，Pc增加速率较小；β的取值为20°～80°时，Pc的增加速率相对较大，在此区间内Pc增幅约为2.3 MPa。

图10 裂纹倾角β对临界水压P c的影响 Fig. 10 Effect of inclination angle on the critical initiation pressure

临界水压Pc随应力差Δσ的变化规律如图11所示，Pc随Δσ的增加呈先快速增长后缓慢降低的趋势。Pc的增长速度随Δσ的增加而逐渐变缓，Pc峰值约为7.6 MPa，出现在Δσ=4 MPa附近；随Δσ继续增加，Pc呈下降趋势，但降幅较小。

图11 应力差Δσ对临界水压P c的影响 Fig. 11 Effect of maximum horizontal principal stress on the critical initiation pressure

预制裂纹倾角β和应力差Δσ共同影响下临界水压Pc的变化规律如图12所示。整体而言，倾角β和应力差Δσ均较高时，裂纹扩展所需临界水压Pc较高；而低倾角、低应力差条件下，裂纹起裂所需的临界水压Pc较低。值得注意的是，β的取值为0°～20°时，Pc随Δσ的增加无显著变化，Pc随Δσ的变化曲线为斜率近似为0的直线；β的取值大于20°时，Pc随Δσ的增加开始显著变化；当β的取值为45°左右时，Pc随Δσ的变化呈先增加后缓慢下降的趋势( 图11 )。若β的取值为80°～90°时，Pc随Δσ的变化曲线变为较高斜率的直线，即Pc随Δσ的增加近似呈直线增加。

图12 应力差Δσ和裂纹倾角β对临界水压P c的影响 Fig. 12 Combined effect of inclination angle and maximum horizontal principal stress on the critical initiation pressure

临界水压Pc随预制裂纹半长a( 取值范围0.01～0.10 m )的变化规律如图13所示。随着裂纹半长a的增加，Pc呈逐渐减少的趋势，且减少的速率逐渐降低；随着a从0.01 m增加至0.04 m，Pc从13.3 MPa降低至7.3 MPa，降幅约为6.0 MPa，约占总变化幅度的74%；而随着a从0.04 m增加至0.10 m，Pc降幅仅为2.1 MPa左右。临界水压Pc随裂纹半长a的增加而逐渐降低。当裂纹长度较大时，临界水压Pc对裂纹长度变化的敏感性逐渐降低。现场应用中可通过增加预制裂纹长度来降低起裂所需的临界水压，过长的预制裂纹对降低临界水压的效果已不明显，综合考虑切缝设备性能及预期扩展程度可确定合理的预制裂纹长度。

图13 裂纹半长a对临界水压P c的影响 Fig. 13 Effect of half-length of crack on the critical initiation pressure

临界水压Pc随岩石断裂韧度KIC( 取值范围1～2 MPa·m1/2)的变化规律如图14所示。临界水压Pc随断裂韧度KIC的增加呈近似单调递增的趋势，KIC从1 MPa·m1/2增加至2 MPa·m1/2，Pc从8.3 MPa增加至13.0 MPa。

图14 断裂韧度K IC对临界水压P c的影响 Fig. 14 Effect of rock toughness on the critical initiation pressure

裂纹半长a和断裂韧度KIC共同影响下临界水压Pc的变化规律如图15所示。当a取值较小时，Pc随KIC的增加而迅速增加；当a取值较大时，Pc随KIC增加而增长的速率较小。当KIC取值较大时，Pc随a的增加而下降，其降幅比KIC取值较小时降幅更大。整体而言，在裂纹较长且断裂韧度KIC较小时，裂纹扩展所需临界水压较小。

图15 裂纹半长a和断裂韧度K IC对临界水压P c的影响 Fig. 15 Combined effect of half-length of crack and rock toughness on the critical initiation pressure

孔隙水压p0( 取值范围0～10 MPa )对临界水压Pc的影响规律如图16所示。临界水压Pc随孔隙水压p0增加呈近似单调递减趋势。p0从0增加至10 MPa时，Pc从11.5 MPa减少至3.5 MPa，降幅约为8.0 MPa。

图16 孔隙水压p0对临界水压P c的影响 Fig. 16 Effect of pore pressure on the critical initiation pressure

4 水力压裂试验验证

文献[27]采用砂浆试样进行了如图1所示模型的水力压裂试验，试样尺寸为300 mm×300 mm×300 mm，试样中心钻孔直径为15 mm，孔身处预制2条对称裂纹，裂纹长度为30 mm。图17为Δσ=3 MPa和5 MPa条件下，起裂角-θc理论值与试验值的对比结果。图17( a )中，裂纹倾角β=45°时，起裂角-θc理论值与试验值的差值最大( 约为1.4° )；β=30°时，差值最小( 约为0.9° )。图17( b )中，裂纹倾角β=45°时，起裂角-θc理论值与试验值的差值最大( 约为4.9° )； β=30°时，差值最小( 约为1.6° )。对比图17( a )和( b )可以发现，相同裂纹倾角条件下，Δσ=5 MPa对应的起裂角较大，一定程度上反映了图5所展示的规律。此外，图17中起裂角理论值均大于试验值。整体而言，起裂角理论计算结果与试验值较吻合。

图17 起裂角-θc理论值与试验值[27]对比 Fig. 17 Comparison of theoretical and experimental data[27] of the initiation angle

文献[15]采用砂岩试样开展了如图1所示的水力压裂试验，试样尺寸为300 mm×300 mm×300 mm，试样中心钻孔直径为25 mm，孔身处预制2条对称裂纹，裂纹深度为10 mm。改变预制裂纹倾角，监测临界水压的变化。图18为临界水压Pc理论值与试验值对比结果。裂纹倾角β=15°时，临界水压Pc理论值与试验值的差值最大( 约为0.39 MPa )； β=60°时，差值最小( 约为0.02 MPa )。此外，预制裂纹倾角β≤60°时，理论值小于试验值，β＞60°时，理论值大于试验值。整体而言，临界水压理论计算结果与试验值比较吻合。值得指出，由于试验条件及测量方法的影响，试验结果可能具有一定的离散性和误差。需要进一步开展水力压裂试验，验证采用最大周向拉应力准则预测起裂角及临界水压的准确性。

图18 临界水压P c理论值与试验值[15]对比 Fig. 18 Comparison of theoretical and experimental data[15] of the critical initiation pressure

5 结 论

( 1 ) 起裂角随预制裂纹倾角的增加呈先增加后减小的趋势。随着水压的增高，起裂角逐渐降低。高注水压力条件下，起裂角对水压变化的敏感性降低。随着应力差的增加，起裂角呈单调递增趋势。起裂角随孔隙水压增加呈单调递减趋势。当预制裂纹倾角较低或较高时，起裂角随应力差增长的速率缓慢，倾角量值中等( 45°～55° )时，起裂角随应力差增加的速率较高。

( 2 ) 临界水压随预制裂纹倾角增加呈增加趋势。整体而言，临界水压随应力差增大而增加，变化趋势受倾角影响较大。当裂纹倾角较低时，临界水压随应力差变化并不显著，裂纹倾角较高时临界水压随应力差增加呈近似直线增长，且增加速率较高。

( 3 ) 临界水压随预制裂纹长度的增加而逐渐降低。当裂纹长度较大时，临界水压对裂纹长度变化的敏感性逐渐降低。临界水压随断裂韧度的增加呈单调递增趋势。在裂纹长度较低时，临界水压对断裂韧度的变化更为敏感。在断裂韧度较大时，临界水压对裂纹长度的变化更为敏感。临界水压随孔隙水压增加呈单调递减趋势。

( 4 ) 采用最大周向拉应力准则预测的水力裂纹起裂角及临界水压与试验值较吻合。起裂角理论值与试验值的差值最大约为4.9°，临界水压理论值与试验值的差值最大约为0.39 MPa。

致谢 感谢国家留学基金委“国家建设高水平大学公派研究生项目”对本文第一作者在加拿大Simon Fraser University联合培养期间的资助。