概念为本，观念导向——例谈解析几何客观题的应试观念

安徽 李永昌 祝 峰

高考中，解析几何部分常以两“小”一“大”的形式考查，即两道客观题(选择题、填空题)、一道主观题.两道客观题主要考查直线、圆锥曲线的基本概念和原理，概念原理所蕴含的基本思想方法，以及与之相关的数学学科核心素养.客观题解答有别于主观题，对求解的详尽逻辑过程要求不高，所谓“小题小做”“小题巧做”，侧重于快速准确地获得结果.回到概念、原理，用学科一般观念导向，是“小、巧、快、准”地突破解析几何客观题的有效之举.

高考中解析几何客观题千变万化，但万变不离其宗，这个“宗”就是解析几何中的核心概念以及由其反映的数学思想方法.回到基本概念，用概念思考问题，是解析几何客观题求解的“根本大法”.对于特定知识下固定题型的求解，解析几何一般观念具有鲜明的导向作用.一般观念是指对此类问题解决具有持续、稳定、有效影响的策略性知识.这些知识源于对问题所涉及的概念、原理本质的深度理解，通过核心概念相互结构关系的构建，对它们所蕴含的基本数学思想方法的灵活运用.经过解析几何的完整学习后，学生能从解析几何视角看具体问题，会用解析几何的思维方式思考问题，会用解析几何特有的语言形式描述问题，是学生具备学科一般观念的行为表现.本文以典型的高考试题为例，彰显解析几何客观题求解过程“概念、原理”的强大力量，提出问题切入的常见一般观念，包括概念观、原理观、构图观、转化观和解析观，希望为解析几何的高考备考提供一个独特复习维度.

1.概念观

概念、命题是经推理组成的逻辑体系.概念、命题和推理是逻辑思维的三大基本形式，其中概念是逻辑思维的最小单位，是反映事物本质属性和特征的思维形式.在解析几何客观题的求解过程中，应秉承回到概念的基本理念，即不断回到概念，从概念出发思考问题、解决问题的思维习惯.解析几何中的很多概念具有鲜明的直观背景，简单、易懂且威力无穷，是问题解答的金钥匙.恰如李邦河院士所言：“数学基本是玩概念的，不是玩技巧的，技巧微不足道也！”解析几何中的核心概念是相互联系、由简到繁的学科体系，其不仅是解析几何理论系统中的主要组成部分，也是解决问题的前提和基础.

例1(2020·全国卷Ⅰ理·4)已知A为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=

( )

A.2 B.3

C.6 D.9

【点评】回到抛物线的概念，问题即可解答.问题解决过程中，抛物线的概念起到了关键作用，是用概念思考问题的鲜明体现.

( )

A.1 B.2

C.4 D.8

【点评】由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a是问题求解的突破口，在问题情境中，双曲线定义有明确的直观意义，为问题的解决提供了切入点.

2.原理观

概念、命题是解析几何客观题求解的关键节点，这些节点靠基本原理连接.基本原理主要包括图形的基本性质，以及这些性质的代数体现，比如椭圆的范围、对称性、离心率，抛物线的对称性、焦点、准线，双曲线的对称性、渐近线等.基本原理还包括曲线对应基本量之间的关系，如椭圆长轴长、短轴长、焦距之间的关系，双曲线实轴长、虚轴长、焦距之间的关系，抛物线焦点坐标与准线方程之间的关联等.解析几何的客观题特别注重对这些基本量和关系的考查，求解过程中要对这些基本原理给予足够重视.

例3(2020·高考全国卷Ⅲ理·5)设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为

( )

C.(1,0) D.(2,0)

【点评】抛物线对称性的应用.由对称性获得D(2,2)，进而求得p.

( )

【点评】抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，均属于基本原理的范畴.

3.构图观

几何图形的位置关系和数量关系是解析几何研究的对象.诚然，通过点与坐标的对应，建立图形的代数表达式，如方程、不等式等，用代数的方法研究图形的几何性质是解析几何的根本方法.但欧式几何中的概念、定理、原理以及图形的基本性质，在解析几何问题的求解中依然起到基础性作用.特别是解析几何客观题的求解过程中，一般不会有过于繁杂的解析运算，一般随手作出图形，充分利用图形的几何性质，恰当推理，可直接“看”问题的结果.在这个意义上，数学的结果是“看”出来的，而不是“证”或者“算”出来的，这种“看”需借助能够揭示问题本质的几何图形.所以“作图、识图、用图”也应是解析几何客观题求解的最基本观念.

【点评】问题探究的先行概念包括直线的斜率、倾斜角、直线方程、圆的方程.解答过程中并没侧重于解析运算，而是作出简图，分析图形性质，通过圆中的垂径定理、勾股定理，直接“看”出圆的半径.

例6(2020·北京卷·5)已知半径为1的圆过点(3,4)，则其圆心到原点距离的最小值为

( )

A.4 B.5

C.6 D.7

【解析】如图所示，半径为1的圆过点M(3,4)，则圆的圆心的轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=1，由图可见，动圆圆心到坐标原点距离的最小值为|OM|-1=4，故选A.

【点评】借助几何直观图，充分分析图形的几何特征，挖掘问题本质，关注欧式几何中相关定理的应用，基本上可直接看出问题的结果，达到避开冗长的解析运算的目的，真正做到小题求解中的“小、巧、快、准”.

4.转化观

结合问题的几何直观图，从不同视角分析问题与条件之间的逻辑关系，利用问题的多元表征，将要解决的问题转化为能够解决的问题，是求解解析几何客观题的基本观念之一.在这样的观念下，能够迅速定位问题求解所需的知识、方法和思想.

例7(2020·全国卷Ⅰ理·11)已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点.过P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为

( )

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

问题转化为过点P(-1,0)，作⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程.(后续求解在解析中呈现)

【点评】圆的几何性质、点到直线的距离公式、直线方程、直线和圆的位置关系是上述转化的必备知识.“数形结合”思想和“解析法”的渗透，体现了解析几何问题的几何特征和代数求解的一般思路.通过化归与转化，抓住了问题的关键及求解的切入点.

5.解析观

解析几何的研究对象是几何图形，方法是坐标法.坐标法是解析几何的基本思想，亦是解析几何问题求解的一般观念.在解析观引领下，通过点与坐标的对应，建立图形的代数表达式，如方程、不等式等，用代数表达式研究图形的几何性质.因此，解析几何问题必须首先将题目条件或者结论中的几何特征(角、线段长度、斜率、面积等)转化为代数形式.转化的策略主要有：几何特征直接代数化，即“直译”；或者先把几何条件用几何方法进行适当地分解或处理，再代数化，即对难以“直译”的条件先利用平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”.这种转化在几何与代数之间架起了一座沟通的桥梁，从而实现对几何性质从定性到定量的研究，达到对图形性质更精细的把握.

在转化观基础上，在解析观的引领下，例7可从下述不同角度予以解答.

【解析一】注意到x=-1为⊙M的切线，此时切点为A(-1,1).当切线的斜率存在时，设其为k，则切线方程为y=k(x+1).

【点评】考虑直线方程的两点式，设法求解两切点的坐标.圆的切线过点P(-1,0)，结合圆心到其距离等于半径，求出斜率，即可求得两切线的方程，联立圆的方程求出两切点坐标，即可求得过切点的直线方程.

【解析二】注意到x=-1为⊙M的切线，此时切点为A(-1,1).当切线的斜率存在时，设其为k，则切线方程为y=k(x+1).

故直线AB的方程为2x+y+1=0,故选D.

【点评】当直线与圆锥曲线相切时，对应一元二次方程有两个相等实根.图形位置关系转化为方程根的特征，体现了解析法的基本套路，即几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.直线和圆相切的这种问题的解决方法适用于其它类型的圆锥曲线，具有一般性.

【点评】圆的参数方程能够把圆的几何特征用三角表达式予以表述.借助丰富的三角变换工具和参数的几何意义，能够便捷的解决圆相关的问题.此种求解方法依然是通过求解两切点的坐标，达到求解两切点确定直线方程的目的.

【解析五】已知P(-1,0)，M(1,1)，则以PM为直径的圆的方程为x2+y2-y-1=0.注意到直线AB是⊙M与以PM为直径的圆的公共弦所在直线，所以直线AB方程为(x2+y2-2x-2y-2)-(x2+y2-y-1)=0，即2x+y+1=0，故选D.

【点评】从圆与圆位置关系的视角看问题，视直线AB为两圆公共弦，两圆方程相减，即可求得直线AB的方程，思路清晰、运算简洁.圆的方程、圆与圆的位置关系是此法求解的必备知识.思路源于点A，B的几何特征，即两圆的公共点分别符合两圆方程，同时符合两圆方程相减所得方程2x+y+1=0，结合公理“两点确定唯一一条直线”，可知直线AB上所有点的坐标均符合此方程，所以直线AB的方程为2x+y+1=0.

【点评】A(x1,y1)，B(x2,y2)分别满足方程2x1+y1+1=0，2x2+y2+1=0，抽象出直线AB上所有点的坐标均符合2x+y+1=0，达到求解直线AB方程的目的.