比较教学法在“矢量分析与场论”课程教学中的应用研究

李建平 丁仁伟 赵俐红 李桂花

摘要：“矢量分析与场论”是我校勘查技术与工程专业本科生的专业基础课，该专业的多门后续课程中都要用到该课的内容，但该课程中中含有众多相近的概念和知识点，使学生易于混淆， 带来了学习上的困难。笔者在该课程多年教学的基础上，将比较教学法引入教学中，取得了较好的效果，提高了教学质量。

关键词： 矢量分析与场论;比较教学法;教学

1、引言

“比较教学法”是大学各专业教学中广泛使用的一种教学方法，其本质特征在于“比较”、“对照”、“对比”，即按一定的标准把彼此之间相近的教学内容放在一起，加以对比分析，以确定其异同关系，认识其本质差异。比较教学法的运用，有助于培养学生独立思考、触类旁通和从事物表面现象找出本质差异的能力[1-5]。

2、课程和教材内容简介

“矢量分析与场论”是我校勘查技术与工程专业本科生的专业基础课，该课程在学生学完“高等数学”和“线性代数”后开设，是对“高等数学”和“线性代数”所学知识的进一步延伸和拓展，同时该专业后续的等多门专业基础课和专业课中都要用到该课程的内容，所以该课程具有承上启下的重要作用。“矢量分析与场论”课程所用教材为高等教育出版社出版的由谢树艺主编的经典教材《工程数学—矢量分析与场论（第四版）》，该教材由四章组成，第一章为矢量分析，具体包括矢性函数、矢性函数的导数与微分、矢性函数的积分这三节内容，该部分内容为全书的基础;第二章为场论，具体包括场、数量场的方向导数和梯度、矢量场的通量和散度、矢量场的环量与旋度、有势场、管形场、调和场等内容，为该书的主体部分;第三章为哈密顿算子，该章的实质是引入一个哈密顿算子，从而可以将第二章的相关内容用此算子表示，使一些表达式和公式更加简洁明了;第四章为梯度、散度、旋度与调和量在正交曲线坐标系中的表示式，该教材第二章已对这些量在直角坐标系中的表示式进行了介绍，但某些情况下直角坐标系中的计算会很繁琐，但在正交曲线坐标系中的表示式却相对简单，故本章对此加以讲解[6]。这些内容之间有很多相近和易混淆的知识点，对学生的学习带来了很大的困难，下面结合该课程的教学内容，谈一谈笔者如何将比较教学法应用到教学实践中。

3、比较教学法在课程中的应用实践

“矢量分析与场论”课程中的核心内容包括方向导数、梯度、通量、散度、环量、环量面密度、旋度以及直角坐标系和曲线坐标系，这些量之间即具有相同点，也具有不同点，使学生容易混淆，所以笔者从多个方面利用比较教学法对以上内容进行教学。

首先，按照基本特征将以上的量分为数量和矢量两大类，其中数量有方向导数、通量、散度、环量以及环量面密度，它们的特征是只有大小而没有方向;矢量有梯度和旋度，它们的特征是同时具有大小和方向。此外，方向导数和梯度是由数量场推导得出的，而通量、散度、环量、环量面密度、旋度是由矢量场推导得出的。

其次，从内在联系做进一步分析，可以把以上量分为三组，即数量场的方向导数与梯度，矢量场的通量与散度，矢量场的环量、环量面密度与旋度，之所以这么分类，是因为它们之间有着紧密的内在联系，如方向导数和梯度之间的关系是过数量场中的一个点引一条射线，则沿该射线的方向可以求出一个方向导数;由于过一点可以引无数条射线，所以该点处的方向导数也是无数个，而梯度的模就是无数个方向导数中最大的那个方向导数，梯度的方向就是最大方向导数所沿的射线的方向。通量和散度的关系是单位体积的通量或通量与体积之比的极限值为散度。环量、环量面密度和旋度之间的关系如下：环量指的是沿矢量场中某一封闭有向曲线的积分;环量面密度则为过矢量场中的某个点引一条射线，再过该点作一个微小曲面，要求射线为曲面上该点的法矢量，此时沿微小曲面的环量与曲面面积之比的极限值，称为环量面密度;同理，由于过一点可以引无数条射线，沿每条射线都有一个环量面密度，故矢量场的环量面密度有无数个，而旋度的模就是无数个环量面密度中最大的那个，旋度的方向就是最大环量面密度所对应的射线方向。这些量中，笔者认为最特殊就是矢量场的环量面密度与旋度，它与另外的两组量都有相似之处，笔者分别将环量面密度与方向导数（表1）、旋度与梯度（表2）、环量面密度与散度（表3）进行了比较，结果如下表所示。

4、结语

比较教学法在大学各专业教学中都有着广泛的应用，其关键在于如何找到用于比较的知识点，本文根据笔者“矢量分析与场论”课程多年的教学经验，将课程中相似而又不同的知識点用比较法进行了讲解，突破了课程难点，显著提高了教学质量。

参考文献

[1] 龙国存， 吴荣耕.比较教学法在《中国近现代史纲要》教学中的运用[J].中国校外教育（理论），2009，（1）：79-80.

[2] 张宝梅. 试论比较教学法在“概论”课教学中的运用[J].思想政治教育研 究，2015，（1）：66-69.

[3] 陈树良，尹秀梅.比较教学法在应用统计学教学中的应用[J].辽宁工学院学报，2005，（5）：116-118.

[4] 孙智慧.当前国内外四种主流英语写作教学法的比较与实验检验[J].广东外语外贸大学学报，2014（5）：72-75.

[5] 陈 玉 骥.“比较教学法”在力学课程教学中的运用实践[J].大学教育，2014（7）：121-123.

[6] 谢树艺.矢量分析与场论（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2012.

*基金项目：本文受山东科技大学虚拟仿真实验教学项目“地震波传播虚拟仿真教学系统”（项目编号：XNFZ2020Y02），山东科技大学2020年研究生教育质量提升计划项目“地球探测理论与方法”（项目编号：SKD2020YZK05），山东科技大学2020年研究生课程思政示范课程项目“地球探测理论与方法”（项目编号：SKD2020SZK06）资助。