初探初中数学综合题审题教学的“三思”策略

叶金芳

(江苏省苏州市吴中区藏书中学 江苏苏州 215100)

笔者在任教初中数学的近二十年中，发现很多学生即使是数学基础比较扎实的学生，一遇到中档以上或较高难度的综合题，或是审题掉以轻心，或是不知从何处入手进行审题，导致解题失误，不能得分。究其原因，一方面是学生审题解题的心理素质不高，另一方面是由综合题本身的特点决定的，其信息量增大、数式与图形结合、条件更多更复杂，涵盖的知识考点丰富，对学生的读题力、理解力、分析力、思维力都是综合性的挑战。

波利亚曾经说过，“掌握数学意味着善于解题”，而“善于解题”的关键之一是“善于审题”。《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：通过数学课程学习，帮助学生养成良好的数学学习习惯；帮助学生树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神……因此，数学教师在综合题审题教学中，要培养学生良好的审题读题习惯，要指导学生制定和运用合理的审题思维路线，让学生学会观察、学会思考、学会质疑，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察到综合题的问题本质，选择正确的解题方向。笔者认为季文子先生提出“三思而后行”的做事思维，对我们初中数学综合题的审题教学有一定的启示和借鉴作用。下面笔者谈谈初中数学综合题审题教学的“三思”策略[1]。

一、初中数学综合题审题中“三思”策略的重要意义

审题是学生学习过程中的重要组成部分，学生能够清晰进行审题，才能够将准确把握题目的核心。在审题过程中，学生不能一目十行，而是需要多读几遍，多思考思考，挖掘题目的内涵。因此，教师可以尝试通过三思的形式促进学生综合审题能力的发展。

一思：发展学生语言互译能力

数学语言是丰富多彩的，在数学的世界中，语言有着不同的呈现方式，这种呈现可能是文字，可能是某种符号或者图像。因此，在数学中，语言的表示往往是十分准确，却有着特殊意义的。在数学课堂中，学生需要在学习过程中对这些特殊的数学语言进行思考分析，在用自己的话转述出来。通过这样的思考模式，学生就能够更好地理解数学内容，将题意与已学内容进行互译，从而使学生更好地理解题意。在答题的过程中，学生才能够充分展示出自己的思维逻辑，按照正确的想法，梳理出正确的思路。

二思：优化学生数学观察能力

观察能力是人类在实践过程中不可或缺的重要能力，在数学审题过程中，观察能力也起到了不可忽视的作用。学生有着周密的观察，就能够发现题目中的细节，从而挖掘出题目中的隐含条件。数学是一门十分严谨的学科，在审题过程中，每一个字符都有深刻的含义，因此，学生在审题的过程中也要深入思考，如思考题目当中是否包含了一些隐性条件。通过第二重的思考，学生就能够细致地观察题目的细节，发现题目中的关键性内容，推出题目当中的隐藏条件，这样就能够大大降低学生的解题难度。学生在解题过程中也能更好地展示自己的数学知识，使自己发挥出最佳水平[2]。

三思：提升学生思维辨析能力

在数学教学过程中对不同类型的问题，学生要从不同的角度来辨析，这就对学生的思维辨析能力提出了更高的要求。基于此，教师在教学过程中就需要引导学生更深一步地尽心思考，不能急功近利，要从多个角度对原题的内容进行辨析，从而促进学生一题多解能力的提高。并且，通过思考，还能使学生将脑海中的数学知识串联起来，构建出一个完整的数学学习系统，从而发挥自身的优势进行解题。

由此可见，在数学教学过程中，学生的多重思维对学生的多元发展有着不可忽视的作用，因此，教师在数学教学过程中要借助三思策略来引导学生进行综合审题。

二、初探初中数学综合题审题教学的“三思”策略

一思：审题之初，宏观掌控，提升思维高度

审题是解题的开端，深入细致的审题是正确解题的必要前提。初审时教师要引导学生正确解读题意，初步分清主干条件和各小题之间的关系，宏观掌控层次脉络，这样才能使学生在解题时做到心中有数，避免因思路不清盲目混淆。

例1：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC⊥X轴，垂足为A，反比例函数y=(x＞0)的图像经过点B，交AC于点E。已知菱形的周长为10，AC=4。

（1）若OA=4，求k的值：

（2）连接OD,若AE=AB,求OD的长。

分析：本题在综合题中难度不高，条件简明，图形清晰，大部分学生有能力正确求解。但是由于有的学生在审题时不注意区分第（1）、第（2）两小题的层次关系及各小题专属条件的独立性，导致有些学生误用第（1）小题的条件结论做第（2）小题，甚至将第（2）小题的条件用于第（1）小题的解答。

因此，在审题之初，教师要引导学生从题目的全局出发，理清脉络，宏观掌控，在解题时做到心中有数，避免因审题不清导致失误，从而提升学生审题解题的思维高度。

二思：再审之中，条分缕析，提高思维密度

任何一个数学综合题都是由条件和结论两部分构成，题目中给出的条件是学生解题的关键要素，要成功解题必须充分利用好条件间的内在联系，要引导学生既能看到明示的条件，更能看到隐含的条件，要看明白图形的纵横交错[3]。

例2：如图，△ABC内接于圆O，BC是圆O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD,∠D=∠BAF。

（1）求证：AD是圆O的切线；

（2）若圆O的半径为5，CE=2，求EF的长。

分析：本题是典型的圆系列综合题，条件不太复杂，研究第（1）问时可根据题目所给已知条件BC是直径的条件，顺势思考得出所对圆周角∠BAC=90°，再结合需证结论AD是切线思考常规方法，证明AD与半径OA垂直，利用题中所给的两对角相等的条件，将条件和结论有机联系起来。第（2）问又给出一些线段的长度，再结合题图中的角度关系进行思考，引导学生发现一对母子型相似三角形（△CAE与△COA），进而可求得AC与AE的长度，然后根据已知边及所求边再思考相关三角形的相似问题，利用圆周角的知识可以发现圆中的另一对三角形相似（△CAE与△FBE），即可求出线段EF的长。

由此题可知，条件与结论之间不容易直接到达，要综合运用多个知识点，教师在教学过程中要注意引导学生再次审题，对已有信息进行加工整合，由“已知”想“可知”，由“未知”想“需知”，运用“由因导果”及“执果索因”的分析法、综合法等多种思维方法，培养学生条分缕析的能力，从而提高学生的思维密度。

三思：存疑之处，反复推敲，拓展思维深度

并不是每一个综合题都能在条件和结论之间比较顺利地找到联系的桥梁，有时做到中途就会出现bug，思路受阻或产生疑惑，此时教师要在疑惑处不断设问，引发学生不断思考，不断探究，不断推翻，反复证明。面对综合难题，当学生到了“山重水复疑无路”的时候，教师更要鼓励学生要有挑战难题的研究勇气，并怕出错，多问几个“这究竟是为什么呢”。

例3：如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点C沿折线CD—DE—EB运动到点B时停止；点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（S），△BPQ的面积为y（cm2）。已知Y与t的函数图像如图2。

图1

图2

试探索下列问题：

（1）求sin∠EBC的值。

（2）求当10≤t≤12时，y与t的函数关系式。

（3）直接写出：当t=_____________时，△BPQ是等腰三角形。

分析：本题为图文信息问题，将动点问题和函数图像有机结合，这给审题又增加了难度。由于两个图是对同一问题的不同表达形式：图1是实际运动路径示意图，图2是根据图1的不同运动阶段具体数量关系所刻画的函数图像，它们之间不仅是相互联系的，而且是密不可分的。因此只要能够建立起两张图形之间的联系纽带与相互转译，就能使问题得到有效解决。

首先要引导学生从两个图形中的特殊点入手分析，通过对比图1中动点P、Q的运动路径及拐点与图2中的函数图像的分段点，起初进展还算顺利：

（1）当0≤t≤6时，y=0.5t2，符合点P从C运动至D的情况，可以推算出CD=6cm；

（2）当6≤t≤10时，y=3t，点P从D运动至E，进一步推算出DE=4cm，也完全吻合。

但是在分析过程中有学生很快就发现一个问题：为什么点P的运动路线分三段，而函数图像却有四段？这个发现很值得学生作进一步的仔细研究。此时教师需要鼓励学生放慢进程，按下暂停键，定一定神，醒一醒脑，多留一点时间，进一步引导学生进行深入思考，分析产生这一矛盾的原因究竟在哪里？那么会有学生发现：有可能是点Q率先到达终点C，这种情况的存在比较合理，且能作出解释。与此同时，教师还需要趁热打铁继续追问：有没有可能是点P先到达终点B呢？再让学生带着此问题再作深入探究……经过反复推敲，学生会发现点P先到达终点B是不可能的，理由如下：如果点P先到达终点B，那么最后一段函数图像应该是y=0上的一部分线段，显然与图2中的函数图像不符，所以学生一致认同是应该是点Q率先到达终点C。审题分析再三深入至此，重重疑团终被解开，打破了僵局，整个运动过程露出了庐山真面目，真可谓是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。

由此题可知，学生碰到综合难题时，存在一个又一个疑团时，教师要不断质疑，不断追问，不断引导学生向纵深处思考，反复推敲，从而大大拓展学生的思维深度。

综上所述，只有审好题，才能解好题，因此，研究初中数学综合题的审题教学策略非常必要和重要，教师要对学生进行针对性的有效审题训练和技巧指导，这样才能帮助学生养成良好的审题习惯，帮助学生形成科学的审题方法和解题思路，培养学生的质疑能力和思维品质，提高学生的综合分析能力和实践运用能力，促进学生数学学科核心素养的形成和发展[4]。