薄壁箱梁约束扭转剪应力计算

张元海 黄洪猛 梁永永

(兰州交通大学土木工程学院, 兰州 730070)

薄壁箱梁在偏心竖向荷载作用下表现出复杂的空间受力性能,其横截面上的应力大小及分布难以通过初等力学方法进行计算,传统的应力验算方法已不能保证混凝土薄壁箱梁的抗裂性.为此,《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》(JTG 3362—2018)明确要求对复杂形式薄壁箱梁应采用精细化分析方法,如考虑翘曲效应的七自由度模型、折面梁格模型等,并补充规定了对箱梁顶板和底板等板件平面内主拉应力验算的要求,以免产生各板件平面内的斜裂缝.此外,还引入了正应力和剪应力放大系数的计算公式,以充分反映箱梁的空间受力性能.

混凝土薄壁箱梁在偏心竖向荷载作用下的扭转问题均表现为约束扭转,横截面内的翘曲正应力和剪应力显著影响主拉应力大小和分布,是斜截面抗裂性验算时必须计算的内容.因此,研究薄壁箱梁约束扭转剪应力计算方法具有重要意义.近年来,许多学者在薄壁箱梁的约束扭转方面开展了深入研究.Wang等[1]将箱梁扭转角分解为自由翘曲扭转角与约束剪切扭转角,给出了总剪应力的4个分量及其计算公式.徐勋等[2]基于广义坐标法建立了扭转状态下薄壁箱梁的位移模式,用混合变分原理推导了控制微分方程,论证了通过力矩平衡条件和翘曲连续条件2种剪应力计算方法的统一性.张元海等[3]针对有悬臂翼缘板的箱梁,提出了约束扭转二次剪应力的分解计算方法,并分析了悬臂翼缘板宽度变化对二次扭矩和剪应力的影响.徐栋等[4]在深入剖析预应力混凝土箱梁腹板开裂成因的基础上,提出了能够全面反映空间效应的箱梁完整应力验算方法,已纳入现行公路混凝土桥梁设计规范《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》(JTG 3362—2018).钟新谷等[5]结合大比例预应力混凝土连续箱梁模型试验,用梁段有限元法分析了偏载作用下箱梁结构的应力放大系数,指出实际设计中采用的剪应力放大系数严重偏小.夏桂云等[6]针对传统的有限梁段法不便于直接计算二次扭矩的不足,给出了通过单元节点位移计算二次扭矩的变换公式,减少了通过广义内力计算约束扭转二次剪应力时的计算量.文颖等[7]对悬臂翼缘板和闭合箱壁采用不同的翘曲位移模式,建立了约束扭转分析的梁段有限元模型,能够更好地反映箱梁的翘曲变形状态.文献[8-12]也用有限梁段法分析了箱梁的约束扭转效应,其中Kim等[9]和Cambronero-Barrientos等[10]采用的梁段单元还可以同时考虑截面畸变变形.

无论采用解析法还是梁段有限元法分析箱梁约束扭转问题,最后都归结于通过广义内力进行应力计算,以适应现行设计规范采用的验算体系.然而,在传统箱梁及波形钢腹板组合箱梁翘曲剪应力计算的许多文献中[8,13-18],均给出了不合理的翘曲剪应力分布及计算结果.其中，文献[8]给出的悬臂翼缘板上翘曲剪应力分布曲线与正应力分布不适应,而文献[13-18]给出的翘曲剪应力计算结果也存在错误,即在本应该没有剪应力的悬臂翼缘板自由端处出现了较大剪应力,由此导致腹板和底板内的剪应力计算结果显著减小.综上所述,开展薄壁箱梁约束扭转翘曲剪应力的合理计算方法研究很有必要.

针对已有文献中在薄壁箱梁约束扭转剪应力计算方面存在的问题,本文提出了剪应力的实用简化计算公式.首先导出薄壁箱梁约束扭转总剪应力的2种计算公式,并论证其等价性;在此基础上,进一步给出2种计算公式中相应广义扇性静矩的实用简化计算公式.

1 约束扭转剪应力公式推导

图1所示为任意闭口薄壁截面简图,Oxyz为形心坐标系,S为截面扭转中心,s为沿壁厚中心线度量的曲线坐标,以逆时针为正.根据乌曼斯基第二扭转理论,当s坐标起始点位于主零点处时,壁厚中心线上任意点P处的纵向翘曲位移u和切向位移v可表达为

(1)

v(z,s)=θ(z)ρ(s)

(2)

图1 任意闭口薄壁截面简图

由式(1)可得任意点处翘曲正应力σω(为了简化表达,下文均不再标出坐标z和s)为

(3)

式中,E为弹性模量.

截取薄壁微元体dz×ds,其受力简图如图2所示.由微元体纵向平衡条件,可得

(4)

式中,q为总剪力流,即薄壁中心线上任意点处总剪应力与壁厚的乘积;t为壁厚.

图2 薄壁微元体受力图

将式(4)两边同乘以ds后对s积分,可得

(5)

根据闭口薄壁梁横截面上内、外扭矩平衡条件,可得

(6)

式中,Mz为横截面总扭矩;Ω为薄壁中心线所围成面积的2倍.

(7)

(8)

还可以通过翘曲位移连续性条件导出总剪力流的另一种计算公式.闭口截面薄壁梁的总剪力流q由自由扭转的布雷特剪力流qs和平衡翘曲正应力的二次剪力流qω两部分组成,即

q=qs+qω

(9)

同样由薄壁微元体的纵向平衡,可将二次剪力流qω表达为

(10)

式中,qω0为二次常剪力流,可由翘曲位移连续性条件求得.

由几何方程可知,薄壁微元体中面内的剪应变γ可通过翘曲位移表达为

(11)

式中,G为剪切模量.将式(2)代入式(11),可得

(12)

式(12)两边同乘以ds后对s积分,可得

(13)

式中,u0为虚构切口一侧处(即s坐标起始点处)的翘曲位移.由于虚构切口处翘曲位移必须保持连续,故按式(13)计算切口另一侧翘曲位移(绕闭口薄壁中心线积分一周)所得结果必然等于u0,从而可得翘曲位移连续性条件如下：

(14)

将式(9)代入式(14),并应用布雷特第一和第二公式,可将翘曲位移连续性条件进一步表达为

(15)

将式(10)代入式(15)即可解出qω0,从而可得二次剪力流qω的计算公式为

(16)

(17)

故总剪力流的另一种计算公式为

(18)

式中,Ms为自由扭转扭矩.Ms与Mω之和为总扭矩Mz.

至此,本文分别从总扭矩平衡条件和翘曲位移连续性条件,导出了总剪力流的2种计算公式,可任选一种使用,2种公式计算结果应该相同,但式(18)的物理意义更清晰.此外,即使对于有悬臂板的薄壁箱形截面,式(17)中的积分仍只需在闭口范围内计算.

2 2种公式的等价性

本节将从理论上证明所导出的第1种公式(式(7)和(8))与第2种公式(式(17)和(18))之间的等价性.

(19)

将式(19)两边对s求导,可得

(20)

利用式(20),对式(8)中的积分进行变换,得

(21)

由分部积分可知,式(21)右端第1个积分为

(22)

式中,s1表示横截面壁厚中心线全长.借助式(21)和式(22),可将式(8)改写为

(23)

将式(23)代入式(7),并根据Ms=Mz-Mω,可得

(24)

上述推演表明,式(18)与式(7)是恒等的.

图3 薄壁箱梁横截面简图

悬臂板

(25)

顶板

(26)

腹板

(27)

底板

(28)

其中

(29)

(30)

式中,ρt、ρc、ρw及ρb分别为横截面扭转中心至顶板、悬臂板、腹板及底板的垂直距离.

4 数值算例

图4 箱梁横截面尺寸(单位：m)

为了验证本文方法的正确性,用本文导出的公式及Ansys有限元法计算该简支箱梁距跨中2.5 m处横截面上各板件中点处的剪应力,计算结果列于表1中.用Ansys有限元计算时,采用Shell63壳单元,集中扭矩荷载按照沿闭合箱室壁厚中心线均匀分布的剪力流形式,等效施加于跨中截面闭合箱壁上各单元的相应节点处,梁端及跨中的横隔板厚度均为0.3 m.全梁共划分为3 348个节点,3 350个单元.表1中的相对误差为Ansys解与本文解的差除以本文解得到的.由表可知,除悬臂板中点处的计算值与Ansys结果误差稍大外(主要由刚性周边假设引起),在其余位置处按本文方法计算结果与Ansys结果均吻合良好.

表1 距跨中2.5 m处横截面的剪应力比较

(a) 总剪应力分布图

(b) 二次剪应力分布图

(c) 自由扭转布雷特剪应力分布图

从图6可以看出：① 全截面的最大剪应力发生在腹板内,而在顶板和底板的中部区域内剪应力均较小,在顶板中心处的剪应力最小.② 在箱梁的悬臂板内也会产生可观的剪应力(二次剪应力);进一步计算分析表明,随着悬臂板宽度的增加,箱梁截面承受的二次扭矩将显著增大.③ 对于本例,如果忽略约束扭转效应,而近似按自由扭转理论计算箱梁剪应力时,则截面上二次扭矩为0,总扭矩全部为自由扭矩,此时腹板厚度中心线处的剪应力为88.7 kPa,只有实际最大值的69%,从而严重低估了腹板内的实际剪应力大小.

尽管三维有限元数值分析方法可以解决箱梁的空间应力分析问题,但这种数值分析与现行桥梁设计规范中基于内力的验算体系不适应,尤其是在需要根据弯曲、扭转或畸变效应调整结构的相应刚度或采取相应的合理构造措施方面,基于梁理论的计算方法就会显示出优越性.此外,本文方法对于钢箱梁完全适用;对于预应力混凝土箱梁,由于板厚不能完全满足薄壁假设,存在一定近似性.

5 结论

1) 以乌曼斯基第二理论为基础,分别从总扭矩平衡条件和翘曲位移连续性条件出发,导出了计算薄壁箱梁约束扭转总剪应力的2种计算公式,并从理论上严密论证了2种公式的等价性.公式推导过程中,特别强调了力学解释以及对箱梁悬臂板的考虑,澄清了目前众多文献在约束扭转剪应力计算中的混乱状况.

2) 针对2种计算公式中出现的广义扇性静矩计算繁琐的情况,推导了其实用简化计算公式,并结合数值算例,详细说明了应用简化公式计算薄壁箱梁约束扭转剪应力的过程,以便设计人员应用.

3) 带悬臂板的薄壁箱梁发生约束扭转时,全截面上的最大剪应力发生在腹板内,而在顶板和底板内的剪应力分布很不均匀且中部区域内的剪应力很小,在悬臂板内也会出现数值较大的剪应力(二次剪应力).

4) 工程实践中,薄壁箱梁的扭转问题往往表现为约束扭转,如果近似按自由扭转计算剪应力,将严重低估腹板内的实际剪应力大小,算例箱梁按自由扭转计算的腹板厚度中心线处剪应力只有实际最大剪应力的69%.