“三教”理念下数学探究的认识与思考——以“斜率之积为定值”教学为例

毛仁义 冉胜利 陆娅君

(贵州师范大学数学科学学院,550025)

随着社会的不断发展,创新型人才的培养越来越受到人们的关注.《普通高中数学课程标准》(2017年版，2020年修订)明确指出,数学课程要促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展[1].创新是一个从无到有、从有到更加丰富的过程,也是一个发现问题、提出问题、分析问题和解决问题(简称“四能”)的过程.数学探究体现了上述过程,因而探究式教学是培养学生创新意识和创新能力的重要途径之一.

数学学科教学不同于其它学科,数学学科教学有其自身的特点,如“问题驱动”、“渗透数学思想方法”、“再创造”等吕传汉提出的“教思考、教体验、教表达”理念就契合了这些特点.教思考,重在通过问题来驱动学生的思考,并在解决问题的过程当中渗透相应的数学思想方法;教体验,重在让学生在实际的操作、观察和思考下获得知识,体验数学知识的发生、发展过程;教表达,重在促进学生对知识的多重表征,从不同角度形成对知识的理解,通过表达和交流加深思考.

动态几何软件支持下的数学探究活动,能有效地将数学教学的特点与“三教”理念进行融合.学生能在探究的过程当中,通过实际操作在事实层面对提出的猜想进行验证,并结合严密的推理和证明获得再创造的学习体验;通过图形的动态展示促进对知识的图象表征,领悟数形结合等数学思想方法,学会思考.

本文以“椭圆中的斜率之积为定值”教学为例,从教思考、教体验、教表达三方面具体阐述对数学探究的认识与思考.

一、教思考,重在渗透数学思想方法

思考,是个体对外界信息的加工,而个体对外界信息的加工过程往往不是一帆风顺的,存在着一定的障碍,正是这种障碍可以给予学生发现和提出问题的机会.发现和提出问题,是学生分析和解决问题的前提.教会学生分析问题的基本思路,帮助学生习得解决问题的基本思想,是教思考的重要一环.分析和解决问题,一方面体现学生对数学基础知识、基本思想运用的熟练程度,另一方面也体现学生思维的逻辑严谨性、开放性以及运算的准确性.

数学思想是学生思考的根基.在教学过程当中,教会学生思考,则首先要结合具体的教学内容,渗透相契合的数学思想,具体到“斜率之积为定值”的教学,就是要渗透数形结合、特殊到一般、类比思想等.

在学生求得点M的轨迹方程之后,教师可以通过以下三个提问来启发学生新的思考,帮助他们体验数学问题的提出过程.

(1)A,B两点具有什么样的特征?

(2)斜率之积具有什么样的特征?

(3)能否一般化?

分析题目特征,并将其一般化,就是提出数学问题的过程,也是教会学生思考的过程.在这个过程中,一般化思想,就是学生发现和提出数学问题的源动力.若设A(-a,0),B(a,0),斜率之积为m，则学生通过对计算机的实际操作可以发现,当斜率之积变化时,交点M的轨迹可能是椭圆,可能是圆,也可能是双曲线.以上过程,也就是学生借助计算机解决问题的过程.然后,可以通过如下的进一步提问引发学生新的思考.

(1)通过斜率之积为定值,你想到了哪些与斜率之积相关的知识?

(2)圆直径所对的圆周角是直角,即有斜率之积为-1,那么椭圆当中是否具有类似的性质?

(3)圆的切线与过该切点的半径的斜率之积为-1,那么在椭圆当中是否有类似的性质?

(4)圆的弦的中垂线与该弦的斜率之积为-1,那么在椭圆当中是否有类似的性质?

这个过程,则是教给教给学生利用类比思维提出数学问题的过程.借助动态几何软件,学生可以通过实际的操作来对自己提出的问题进行探究,对自己的猜想进行验证,这也就是学生利用信息技术解决实际问题的过程.但是,借助计算机来解决问题,相应地也会阻碍他们逻辑推理、数学运算等核心素养的发展,因此还必须通过教表达进行补充,以帮助学生获得全面发展.

二、教体验,重在感悟知识的形成

数学学习的过程是学生思维内部知识产生与发展的过程,是学生通过体验获得数学知识的过程，也可以说是“再创造”学习数学的过程.唯有经历了过程体验的学习者，才能从根本上获得持久而有意义的数学知识[2].体验，一方面是指学生思维层次所获得的体验,另一方面也是指学生实际操作和观察所获得的体验.

数学是一门数形结合的学科,椭圆的概念、斜率之积为定值等内容的教学,离不开各种各样的图形.在传统的教学形式下,学生的体验往往局限于思维层面,即感受数学知识在思维上的不断获得过程.这种体验对学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算以及直观想象能力要求极高,大部分学生难以真正地从图形层面体验到知识的发生发展过程.在传统的教学形式下,学生的数学探究难以开展,其中最主要的原因在于探究过程当中计算和作图的复杂性,也即学生现有知识与能力和探究所需要的知识与能力之间存在的差异.动态几何软件的使用降低了这种差异,能够在真正意义上让大多数学生参与到数学探究中来,促进每一位学生直观想象能力的发展.

在具体的教学过程当中,学生是在体验当中不断感悟知识的形成的.学生通过提出问题,能获得特殊到一般的学习体验;通过实际操作，能获得动态几何软件是探究学习有利工具的学习体验;通过改变斜率之积的大小,就可以获得动态作图和发现新知的学习体验.学生通过实际操作可以发现:当-10时,点M的轨迹是双曲线(如图2).上述体验对于学生感悟知识的形成具有重要的作用.

动态几何软件运用在探究教学中可以给予学生强烈的感官体验,而这种感官体验一方面能够让学生感受到知识的形成,另一方面也更能激发他们从理性角度进行推理证明的动机.

三、教表达,重在深化学生对知识的理解

表达，即学生能够将自己的所思、所想、所学以一种合乎逻辑的、准确简明的方式进行传递.正确的表达是交流的前提,因而对数学知识的正确表达,应贯穿于探究教学的整个过程.教表达,就是要让学生学会用自然语言、符号语言和图形语言来表达数学,就是要让学生学会对数学知识进行多元表征,从多角度进行理解.在当前的教学模式下,学生学习数学知识大都是以符号和图形的形式进行的,缺乏对数学知识的语言表达.

教表达,教师首先要鼓励学生“说数学”,学会用自然语言来表达自己的所思所想.在教学过程的相应环节,教师可以通过下述提问来促进学生的表达:

(1)将例题一般化后,我们应该如何用自然语言进行描述?

(2)类比圆中的斜率之积为定值,在椭圆中用自然语言如何进行描述?

(3)通过作图得到的结论,我们如何用自然语言进行描述?

这些问题的提出,其目的就在于为发展学生的语言表达能力提供机会.

对于图形而言,要依靠学生自己的力量作出各种丰富的图形是十分困难的.借助动态几何软件,学生可以绘制出丰富的图形,并能实现图形的动态化,在动态化的过程当中感受斜率之积变化对图形“质”的影响,建立起椭圆、圆、双曲线之间的联系.经历上述过程之后,也就更能促进学生以更加准确的图形语言进行表达和交流.

帮助学生深化对知识的理解,实现自然语言、符号语言、图形语言之间灵活的转译,就是教表达的核心.

通过上面案例的展现,可以发现,三教理念指导下的数学探究课,具有以下的特征:教思考,重在数学思想方法的渗透,引导学生利用一般化、类比思维等方法发现和提出问题,形成猜想,增强学生发现问题和提出问题的能力；教体验,重在借助动态几何软件来获得事实上的结论,验证猜想并解决问题,形成对知识的图形表征,感受动态几何软件在数学探究当中的应用价值；教表达,重在引导学生“说数学”,并对所获得的结论进行符号化的推理与证明,发展数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等学科核心素养.

三教理念指导下的数学探究,以促进学生核心素养发展为根本目标,为培养学生的创新意识和创新能力提供了一个途径.同时,也是信息技术运用于数学教学的应有之道.