刍议以逻辑思维能力为目标的章节复习——以数列章节复习为例

卢红卫

(江苏省张家港市外国语学校,215600)

布卢姆提出的“掌握学习”策略是以单元作为教学基本单位的[1]．单元教学的实施，首先是将单元教学目标分解到课时教学过程中去,但仅仅完成课时的分节目标还远远不能代替单元目标,在单元教学分课时授课完成以后,设置一至两节单元综合课,然后进行单元形成性评价,对提高单元达成度,落实单元高层次教学目标有重要作用．

本文以数列章节复习为例谈谈以逻辑思维能力提升为目标的章节复习．

一、架构知识网络,延伸思维广度

1.知识方法多总结

在传统教学中，往往是结论先行,教师习惯于将做好的总结直接呈现给学生,学生因为没有经过自我的实践领悟,概念的内涵与拓展也无从谈起．因此,应改变教学理念和策略,让学生成为学习的主动者,放手发动学生做好章节总结,进行收集归纳,构建有序、结构清晰的知识网络．例如,从定义、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差(等比)中项等方面,都可看出等差数列与等比数列在内容上是完全平行的,性质也有许多相似之处,因此可以让学生去设计图表,在类比思想的指导下,探寻两种数列的共性特征,作出等差数列与等比数列之间的知识体系的图表．把书本知识变为自己的知识,是逻辑思维能力提升的必备条件．

在做好基本概念总结的同时,也要做好基本方法的总结．只有掌握基本方法,才能灵活地应用基本概念．例如,在数列递推关系下,有哪几种常见的求通项公式的方法?数列求和有哪些方法?抓住通项公式的类型,如何选择适当的方法进行求和?这些都是需要总结的．做好总结正是学生发挥主体作用的过程,这样可使学生对基本概念、基本方法理解更深刻,为逻辑思维能力进一步提升打下坚实的基础．

2.课本素材再利用

很多教师认为教科书内容单一,错误理解课改中“不是教教材,而是用教材教”的真正意图．因此在课改背景下,教学中应注重对教材中的例习题和阅读材料进行拓展引申,不仅可以形成很好的课堂教学的素材和资料,更重要的是提高学生的逻辑思维的能力．其实,高考试题的命制也是很看重在课本中找母题和资源的．

例如，课本阅读材料中介绍斐波那契数列,意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现这样一列数:1,1,2,3,5,…,其从第三项起,每一项等于它前面两项的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”．为加深对“斐波那契数列”的理解,可作如下拓展引申:

(斐波那契数列某一项是其后一项与其前一项之差,即an+1=an+2-an)

(斐波那契数列某一项是其前二项的和,即an+2=an+1+an)

问题3a1+a3+…+a2n-1=a2n和Sn=an-1是否成立?若成立,请证明．

以上问题主要是引导学生从猜想与利用性质论证的角度去理解斐波那契数列,提升学生的数学推理能力．

对于章节复习课,打好基础是关键,而如何利用好教材是打好基础,促进逻辑思维能力提升的重要渠道和方法．

二、提升运用能力,加深思维深度

1.深入挖掘概念本质

数列是特殊的函数,研究数列问题需注意到数列的函数背景,可以从函数的观点出发，动态地、直观地研究数列的一些问题．数列的通项公式和前n项和公式都可以看作是以项数为自变量的函数,可以引导学生用函数的观点去认识和处理数列问题,把函数的研究方法用到数列中去,特别需注意的是，函数的自变量是连续变化的,数列的自变量是离散变化的,即数列中n∈N*的要求．

在函数背景下去研究数列性质,展开思维逻辑链,能抓住数列性质的本质．函数研究的方式常以以下形式展开：定义——表示法——性质——应用．也可以引导学生按类似的方式来研究数列:数列的定义——数列的通项公式——数列的性质——数列的应用．学生通过对研究方式的理解与应用,形成主动探究的学习方式,去理解数学概念的本质,领悟概念教学中所渗透的数学思想方法,才能站得高,看得远,从而真正提升学生的思维品质．

2.发挥典型例题的作用

提高学生的解题能力需以解题为中心,因此,选择例题要有针对性,选择的例题对章节知识有一定的覆盖作用．同时,例题具有典型性,可以以点带面,举一反三,触类旁通．从一个问题出发,对本章节的知识与方法之间进行比较和联系,起到理顺知识的目的,也要提升学生的数学逻辑思维能力．

例2已知数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+1,求数列{an}的通项公式．

解法3nan+1=(n+1)an+1,(n-1)an=nan-1+1,两式相减可得nan+1-(n-1)an=(n+1)an-nan-1,化简得nan+1+nan-1=2nan,an+1+an-1=2an,因此{an}是等差数列,易得a2=5,所以an=3n-1.

例题中的递推关系结构简洁,却有丰富的概念外延.解法1主要是运用累加法,解法2主要是如何构造相邻项,解法3用n-1替代n得到一个新的等式,相减可得相邻三项的关系,即回到了等差中项的定义．为巩固解决此类问题的通性解法,还可将例题的条件适当拓展引申:

(1)已知数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+2)an+2,求数列{an}的通项公式.

(2)已知数列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an+n,求数列{an}的通项公式.

在类比思维中归纳方法．典型例题的设计是逐步深入的例题,也可设计变式拓展的典型例题,还可以设计一题多解、一题多变、多题一解等典型例题．

三、突破常规数学逻辑思维,激发思维创新

在针对数列中对n的奇偶性进行讨论探求数列奇数项和偶数项的特点时,教学中常常会选用以下问题:

例3已知数列{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1,则此数列前60项的和为______．

有一节课教学片段如下:

教师在黑板上给出上例题．

生:老师,这道题是否是漏条件了,怎么没有a1的值?

师:题目没有错,再想想．

生:那就令a1等于1或者a1等于0,答案应该是一样的．

师:非常好!那么我们能看出奇数项和偶数项各有什么特点?

生:当a1=1时,各奇数项均为1,当a1=0时,各奇数项分别为0，2，0，2，0，2，0，2，…我猜想是相邻两个奇数项的和为2．偶数项还看不出?

师:相邻两个奇数项的和为2是正确的．偶数项之间的关系如何寻找?除了特值验证，还可以怎么操作?

生:对n的奇偶进行讨论…

此时，班级学生正在草稿上演算,突然有学生提出:若相邻奇数项的和为2是正确的,就不要找偶数项之间的关系了,因为

容易得出a1+a59=2,S60=1 830.

师:非常好!你的想法完全正确…

在教学过程中,实际课堂的生成并非要完全按照教学预设进行,而是要促成学生思维的生成.关键是要让学生学会思考,善于表达自己的想法．教师在教学中应当积极引导和鼓励学生提出问题,调动学生的积极性,对学生在解决问题采用的非常规模式和具有创新的思维应及时评定和表扬．即使学生的非常规思维方法有误,但纠正的过程也会有所启发,对数学逻辑思维能力的提升是大有裨益的．

综上所述,以逻辑思维能力提升为目标的章节复习课不是单纯的习题教学,教师要重视对教学内容的分析,重视教学迫切需要解决的问题,制定明确而能提升学生关键能力的教学目标,更加合理地设计教学方案．引导学生将所学的知识进行梳理和联系,使学生对有关知识及其内在的联系有更清晰的认识,使掌握的知识系统化．通过对运用知识解决问题的实践,掌握基本的数学思想方法;通过对各种数学方法的概括和提炼,感悟数学思想的本质,真正提高学生的数学关键能力和思维品质．