分层设计习题 凸显精准练习

叶群芳

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：要充分提供有趣的、与儿童生活背景有关的素材，以适当的方式呈现给学生，让学生经历应用数学知识提出问题、分析问题和解决问题的过程。同时适当增加些开放性的综合应用的内容，以有利于学生自主探索、合作与交流。根据这个标准我把一节数学课的习题设计分成四个层次：

一、以巩固为底色的基础性练习

第一层次是基础性的习题，侧重知识的内化——落实习题的教学、检查等功能。

“面积和面积单位”是三年级下学期“空间与图形”的内容，是学生学完“周长”后的再学习。学生从长度到面积，是从一维空间向二维空间的转化，是空间形式“由线到面”的一次飞跃。在学习了面积概念、面积单位以及长方形、正方形面积计算后，设计了这样一组基础习题：

1.在括号内填上合适的单位

（1）一本练习本的长约21（  ）。

（2）一本练习本封面的大小约2（  ）。

（3）一棵大树高约10（  ）。

（4）一栋楼房的占地面积约100（  ）。

2.填空

1米=（  ）分米   1平方米=（  ）平方分米

20厘米=（  ）分米  500平方分米=（  ）平方米

10米=（  ）厘米   10平方分米=（  ）平方厘米

3.计算下面图形的周长和面积。

【设计意图】第一题是对面积内涵的分析。周长是对一维空间（线）的度量，面积是对二维空间（面）的度量，一个平面图形往往同时存在着周长和面积，学生初始的认知容易混淆两个概念。通过对合适单位的填写，让学生体会练习本的长是对长度的测量，只能选择长度单位;而练习本封面的大小则是对一个面大小的测量，只能选择面积单位。

第二题是换算单位练习。面积与周长最本质的区别是概念内涵不同，但显性表现就在单位名称和计算方法的不同上。将长度单位和面积单位的换算同时在一题中呈现，就是让学生通过对比练习，进一步巩固相邻的长度单位之间的进率为10，而相邻的面积单位之间的进率却是100。

第三题是计算方法的对比练习。看似简单的公式运用，本质上却是对周长与面积概念的进一步辨析。长方形的周长是围成长方形一周的长度，所以是四条边长度的和;而长方形面积却是面的大小，是铺在长方形面上所有面积单位的和。这是从一维空间向二维空间转化的对比练习，是实现学生空间意识“由线到面”的一次跨越。

二、以运用为底色的变式练习

第二层次是灵活的变式习题，侧重知识转化为技能一一落实习题的运用功能。

基础练习是针对例题的再现，是学生思维的同化过程，但学生的思维能力需要在变式、灵活的训练中形成。在练习中比较周长和面积的不同是防止概念混淆，促成概念精确分化，厘清概念内涵的有效措施。为此，设计了这样一组练习：

1.填空

（1）长方形的长10分米，宽比长短4分米，长方形的周长是（  ），面积是（  ）。

（2）正方形的周长是20厘米，它的面积是（  ）。

（3）长方形的周长是24厘米，宽是3厘米，它的面積是（  ）。

2.判断题

（1）正方形的边长为4厘米，它的面积和周长相等。（ ）

（2）周长相等的两个长方形，面积也相等。（  ）

（3）周长相等的两个正方形，面积也相等。（  ）

3.解决问题

（1）用一根长14米绳子围一个长4米的菜园，这个菜园的面积是多大？

（2）在一个长15米，宽50分米的长方形地里种玉米，如果每平方米约收玉米3千克。这块地共收玉米约多少千克？

（3）一个长方形菜地周长20米，长8米，一边长靠墙，这个长方形菜地的面积是多少平方米？

【设计意图】变式练习不再是简单周长和面积的计算，是需要寻找解决问题时所需中间条件的练习，引导学生的思维从同化走向分化，从单一走向多元。

填空题分三个层次，第一小题只要算出宽，就能解题;第二小题要通过正方形周长计算出边长，再计算正方形的面积;第三小题有一定的难度，需要通过长方形的周长÷2，算出一组邻边的和，再间接地算出长，练习中需要教师画图让学生理解周长÷2，表示哪两条边的长度。

判断题是对面积和周长概念的深度解读。面积和周长是不同的两个概念，不能因为数字一样，就判断两者相等。周长相等的两个长方形，判断面积是否相等，需要引导学生画图举例，并在直观操作中理解。第三小题是对第二小题的补充，避免学生的思维固化。判断题三个层次，互相补充、互相渗透，引导学生思维由单薄走向丰满。

第三题是解决生活中的数学问题，引导学生在具体的实际应用中，解决周长与面积的现实问题。层层递进，让学生在变式中寻找条件，锻炼了学生的思维，培养学生思维的灵活性。

三、以发展为底色的综合性练习

第三层次是综合性、发展性习题，侧重知识的深化与优化——落实习题的综合性、发展性等功能。

皮亚杰认为：“守恒是获得数和量概念的重要条件，儿童没有守恒概念就不能真正认识数和量。”这组练习就是依据皮亚杰所做的关于面积守恒的实验。通过练习，使学生体会拼或者剪，不变的是什么，变化的又是什么。

1.填空

（1）3个边长为1cm的正方形拼成一个长方形。拼成的长方形的周长是（  ），面积是（  ）。

（2）正方形的边长扩大到原来的3倍，周长扩大（  ），面积扩大（  ）。D25CCD8F-1EE7-4402-AD22-8AF1B6F8DA7F

（3）一个长方形长增加5厘米，宽减少5厘米，它的周长（  ），面积（  ）。

2.解决问题

（1）一个长方形长20厘米，宽15厘米，在里面剪下最大的正方形，剪下的正方形的面积是多少？还可以提出什么数学问题并解决？

（2）一个长方形的长减少5厘米，面积就减少45平方厘米，这时剩下的部分恰好是个正方形。原来长方形的面积是多少平方厘米？

【设计意图】练习的设计具有思考性、综合性、发展性。需要学生具备扎实的基础知识，再通过分析题目中给定的条件，根据面积的守恒规律，通过画图、实验、推理，得出结论。三个1平方厘米的正方形拼成的无论是什么图形，不变的肯定是面积，变化的是周长。正方形边长、长方形长和宽的变化引起的周长和面积的变化是这部分习题的重点，解题策略是通过举例、画图、操作、计算，发现规律，解决问题。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将增强学生发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力作为数学课程的总目标之一。为此，在解决问题中要加强学生发现和提出问题能力的培养，当学生完成剪正方形的任务后，有必要引导学生思考，还可以进行怎样的计算，真正实現发现问题、提出问题能力的培养，把学习的主动权交给学生。

四、以创新为底色的实践性练习

第四层次是应用性、实践性的习题，侧重知识的实践性灵活应用——落实习题的开放、创新等功能。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，将“应用意识”作为十个核心概念之一，同时指出，综合实践活动是培养学生应用意识的载体。为此，在教学中设计了应用面积知识解决生活中的数学问题的习题。

小青家厨房要铺地砖，有两种设计方案：

（1）第一种设计方案用了300块地砖，这个厨房的面积是多少平方分米？合多少平方米？

（2）如果用第二种设计方案，需要多少块地砖？

（3）哪种设计方案造价更便宜？

（4）你还能提出怎样的设计方案？

【设计意图】著名数学家波利亚在《怎样解题》一书中，明确提出了解决问题的一般步骤：理解题目——拟订方案——执行方案——回顾。

根据题意可知，两种规格地砖大小和价格已知，由第一种设计方案可以计算出厨房的面积;借助计算出的厨房面积就能计算第二种方案地砖的块数;由地砖块数可以计算出两种地砖的价格，并比较。拟定设计方案是个开放题，学生只要能设计出可行的方案都可以。如将二者拼接、组合，组成不同的图案，都是学生的创新能力的体现。回顾整道题，这是集应用、事件、开放、创新为一体的练习，学生在练习中积累、在练习中成长、在练习中厚积而薄发。

分层设计习题，是根据学生思维发展的不同阶段，设计符合其思维发展阶段性特征的练习，是教师对所教知识有了全面的理解和把握、是对学生个性化学习的人文关照，更是对儿童学习数学真切需要的理解。D25CCD8F-1EE7-4402-AD22-8AF1B6F8DA7F