高质量数学课堂教学创新模式探究——“思维导学”在平面解析几何中的教学实践

清华大学附属中学永丰学校 刘洪亮 石 莹

国内外教学改革始终把学生发展置于中心地位，旨在建构以学习中心的课堂，提高学生的学习力，提升学习效果，促进每一个学生的健康全面成长。《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》要求落实立德树人根本任务，强化学校教育主阵地作用，切实提升学校育人水平，促进学生全面发展、健康成长。教育部门要指导学校健全教学管理规程，研究高质量课堂教学模式，实现“减负”，优化教学方式，提高课堂教学效益。

一、选题缘由

“思维导学”课堂变革实践研究目的指向减负提质，强调以学习为中心的教学创造，根据思维形成、发展规律，以“以学为本”为基本原则，以自主、合作、探究为基本途径，以目标导航、路径导引、问题导向为核心要素，以整体学习、关联学习、创造学习、对话学习、选择学习为主要方式，是一种促进学生思维力、学习力全面提升的课堂教学方式，注重学生核心素养的培养。

我校地处北京市海淀区北部城乡接合处，多数学生存在偏科情况，往往瘸腿科目是数学。很多学生思维活跃，但过于发散，不愿动手，容易满足于一知半解，普遍现象是学生“不想学”“不会学”、“不爱学”，数学教师普遍反映课堂创新思维的培养、知识逻辑的建立、知识迁移和应用能力的培养难以落地。

针对以上情况，为提高数学课堂教学质量，对“思维导学”教学模式进行教学实践探究：为解决学生“不想学”以及数学课堂创新思维力培养难以落地的实际，探究创造学习在高中数学课堂教学中的有效策略；为解决“不会学”以及数学课堂知识逻辑混乱的实际，探究整体学习在高中数学课堂教学中的有效策略；为解决学生“不爱学”以及知识迁移和应用能力培养难以落地的实际，探究关联学习在高中数学课堂教学中的有效策略。以整体学习、关联学习、创造学习三种方式创新课堂教学模式，激发学生潜能，教师退隐为“导演”，把活跃在舞台上的主动权交给学生，让学生去创造，去真正的学习，明白学习的意义和价值。

二、三个核心要素

下面以“椭圆及其标准方程”为例，阐述“思维导学”教学模式的三个核心要素：目标导航、路径导引、问题导学。

（一）三层目标，学习的“指南针”

每一课时结合新课程标准的素养水平划分和布卢姆目标分类学，设计三层学习目标，每个目标具体、明确、可测，有明显梯度。采用激励性的肯定句“我能，我会”，采用导向性明确的“说出、求解、证明”等行为动词，让学生明确哪些目标可以通过自主学习完成、哪些目标需要合作学习完成、哪些目标需要在教师指导下通过探究学习完成。

“椭圆及其标准方程”三层学习目标如下：

表1 “椭圆及其标准方程”三层学习目标

（二）实现路径，清晰的“学习地图”

“实现路径”对学习目标的达成非常重要，为学生的学习提供了路径指引，指引学生按图索骥达成学习目标，可以形象地称为“学习地图”（见表2）。

表2 学习地图

（三）关键问题，主动探索的“发动机”

问题是思维的起点，是学生主动探索的动力。关键问题要与目标对应，引导学生逐步深入研究，将自主合作探究落到实处；例题练习设计与目标逐一对应，克服课堂训练和课后作业的随意性、盲目性，并最终达到让学生学会学习的目标。

课前思考：(1)圆的定义是什么？圆的标准方程的形式怎样？如何推导圆的标准方程呢？

关键问题：问题1.从刚才的活动探究中你得到了什么结论？能否用文字语言表述？(基础性目标1)

(哪些在变，哪些不变？你能类比圆的定义给出椭圆的定义吗？)

问题2.在定义中定长有无限制条件？

问题3.如何求解椭圆的方程？(拓展性目标1)

(怎样才能将几何条件解析化？)

问题4.给出方程后如何化简？(拓展性目标2)

(有没有简单的化简方法？类比圆的方程，能否把方程变得更简洁？)

问题5.化简方程以后又能发现什么特点？你是否明白了方程里面每一个字母的含义？(基础性目标2)

例1.判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。(基础性目标1)

(1)到F1(-1，0)，F2(1，0)的 距离之和为4的点M的轨迹；

(2)到F1(-1，0)，F2(1，0)的 距离之和为2的点M的轨迹；

(3)到F1(-1，0)，F2(1，0)的 距离之和为1的点M的轨迹。

例2.判断下列方程是否为椭圆，若是，请说出椭圆的焦点在什么轴上，并说出焦点坐标、焦距。(基础性目标2)

例3.求适合下列条件的椭圆标准方程。(拓展性目标3)

(1)两 焦 点 坐 标 为F1(-1，0)、F2(1，0)，椭圆上一点P到两焦点距离之和为4；

(2)两 焦 点 坐 标 为F1(0，-1)、F2(0，1)，椭圆上一点P到两焦点距离之和为4；

(3)两 焦 点 坐 标 为F1(0，-1)、F2(0，1)，并且经过点P(2，0)。

备用问题：

问题6.根据椭圆的标准方程和轨迹，你能说出椭圆的几何特征吗？(挑战性目标1)

问题7.椭圆上的点P到左右焦点的距离与什么变量有关？(挑战性目标2)

三、三种学习方式

下面以“圆锥曲线与方程”单元起始课、“抛物线及其标准方程”“圆锥曲线与方程”单元复习课为例，阐述思维导学教学模式的三种学习方式：创造学习、整体学习、关联学习。

（一）创造学习，培养学生创造性思维能力

创造学习包括基于知识“发现”、改题编题、学科思想等方式，把学习过程变成创造过程。创造学习可以实现课堂上的“以少胜多”，真正实现学生学习的权利，有利于学生打开思维，创造属于自己的认知，增强对学科思想的感知和理解，进而提高学生的创造性思维能力。

“圆锥曲线与方程”单元复习课设计主要内容如下：

关键问题：

若再加进来一条直线1，直线1放哪儿？我们可以研究哪些数量关系和位置关系？再加入一个点呢？

图1

图2

逆向思维、整体构建，引导学生从方程思想、轨迹方程两个角度去构造，有利于学生主动提取椭圆的几何性质等相关知识，整体认识椭圆的定义、方程、性质。学生自己加入直线，有利于整体把握直线在特殊位置时的问题情境，情境为几何问题，解决方法为代数方法，不断体会解析几何中用代数方法解决几何问题的本质，从命题者角度理解直线和椭圆的位置关系可以研究的相关问题，整体认识直线和椭圆。

（二）整体学习，培养学生系统思维能力

整体学习包括基于知识单元（章节）、概念体系、现象理解的三种方式。章节起始课应建立单元(章节、模块)知识的框架，引导学生了解概念演变为概念体系的思路，从全方位认识事物发展的规律入手，引导学生把有关的零碎知识构建成一个相对完整的“知识树”，把零散的知识结构化，培养学生的系统思维。

“圆锥曲线与方程”单元起始课设计主要内容如下。

课堂活动：

1.把细绳的两端都固定在图板的同一点处；套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是什么？

2.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么？

3.取一条拉链，打开它的一部分，在一边减掉一段，然后把两头分别固定在两点处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，拉链头所经过的点画出的轨迹是什么？

课堂活动2：请快速阅读课本完成知识清单的梳理：椭圆的定义及标准方程、双曲线的定义及标准方程、抛物线的定义及标准方程。

关键问题：

问题1.为什么这些曲线叫作圆锥曲线？

用一个平面去截一个圆锥面，当平面与圆锥面所成的角不同时，截线存在什么情况？

问题2.几何为什么要代数化？几何如何代数化？圆的标准方程如何求解？你能总结求解方程的步骤吗？

问题3.如何理解曲线的方程和方程的曲线？

（三）关联学习，培养学生的综合思维能力

关联学习包括基于概念间、学科间以及知识与社会、生活、科技之间关系的学习方式。这种学习方式有利于帮助学生建立同学科乃至不同学科概念之间以及知识与社会、生活、科技之间的关系，进一步提升对学习意义和价值的认识，培养学生分析和解决问题的综合思维能力。

“抛物线及其标准方程”关联学习教学设计主要内容如下。

课前思考：

1.二次函数的图象是什么样子？

2.已知直线l：y=-1，点F(0，1)，动点M(x，y)到F的距离与它到直线l的距离相等，求动点M的轨迹方程，你知道它是什么轨迹吗？(关联二次函数)

关键问题：

问题1.二次函数的图象是抛物线，你知道它是满足什么条件的动点的轨迹吗？

问题2.如果，满足条件的点的轨迹是抛物线吗？

问题3.求解轨迹方程的步骤是什么？请你根据抛物线的定义推导抛物线的标准方程。例1：如下图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m，那么水位下降1m后，求水面的宽度。(关联生活)

四、感悟与思考

“双减”政策的出台，需要每一位从事教育工作的教师参与其中，创新课堂教学模式，实现高质量课堂教学。“思维导学”优势之一，为有利于提升学生的学习力。以学生全面发展为中心，设计三层学习目标、实现路径、关键问题，引导学生逐步深入自主、合作探究。三层学习目标引导学生独立探究学习，拉齐基础、了解重点，实现路径指引学生“按图索骥”，关键问题和例题练习与学习目标相对应，学生对照目标检测目标达成度，有效提高学生的学习内驱力，提高学习成就感，以成就感提升学习力。“思维导学”优势之二，为有利于提升学生的思维力。以发展学生思维为目的，通过创造学习、整体学习、关联学习三种学习方式创新课堂教学模式，解决学生“不想学”、“不会学”“不爱学”的问题，激活学生创造力，激发学生潜能，打开学生思维，课堂上实现创新思维的培养、知识逻辑的建立、知识迁移和应用能力的培养，从而全面提升思维力。