巧用线段图 提高数学应用题教学效率

杨家禄

解决问题是数学学习中的重要组成部分，而低学段的学生常常因为生活经验不足和审题不清等原因对解决问题束手无策，长时间下去则对解决问题产生厌烦心理。究其原因是学生对于题干中的文字理解不到位，无法从大段的文字叙述中寻找出自己所需的数量关系。而线段图的使用可以很好地帮助学生解决这个问题。线段图能将题干中的文字语言转变成图形语言，使题中包含的数量关系呈现在线段上，让学生更直观地分析条件与问题。

一、线段图在解决问题教学中的作用

（一）借助线段图，化抽象为具体

在小学一年级认识10 以内的数时，数学就和线段紧密联系在了一起。当时是借助直尺上的数字来认识10 以内的数，其本质就是将数字与线段联合在一起，让学生初步感受数字也可以用一条线段进行表示。同时，通过直尺上相同长度表示相同大小的数字的方式，也让学生在脑海中体会到用一定量的长度去表示一定大小的数字，这也是线段图一个重要的特征。课本设计这一板块的意义，也是为了让学生能更具体地感受10 以内的数字，将抽象的数字具体化到一把直尺上，让学生更容易观察数字排列的规律。

小学生之所以对解决问题十分抵触，一个原因在于题目中的文字信息量巨大。部分学生连完整地读一遍的耐心都没有，更不会静下心来从一堆文字里思考其中的数量关系。而线段图则可以让学生将题目中的条件，用画线段的方式呈现出来，再从线段图中观察出题目中所包含的数量关系。学生通过分析线段的数量关系更为直观，同时也可以通过画图的方式将一些隐藏在文字中的数量关系呈现出来。

（二）巧用线段图，提高学习兴趣

数学是一门讲究逻辑思考的学科，对于小学生而言较为枯燥，容易分散注意力。而解决问题又是一段段文字堆砌而成，让学生在课堂上更是神游天外。线段图则可以让学生在教师讲解时也能参与进去，能跟随教师的讲授，将文字中的信息，一步步转变成线段图，再观察得到算式。而不是像以往，说一说题中的条件和问题，就开始整理关系式，一些基础不牢固的学生还是不清楚数量关系。

线段图也可以调动一些学困生的兴趣，他们以往跟不上是由于生活经验缺乏或者不理解题中关系而兴致缺乏。现在他们也可以用线段表示出题中条件，参与到解题中来，可能在观察数量关系中还存在问题，但教师可以适时鼓励他们，鼓励他们的这种积极性，让他们一步步学会分析题意，提高解决实际问题的能力。

（三）活用线段图，学会审题读题能力

画线段图并不仅仅是一种分析问题的能力，同时也会让学生认真去读题审题［1］。在以往解决问题的练习中，总会有一些学生将题干中的数字随心所欲地运算，还有甚者连数字都抄写错误，这些都是学生在读题时不专心的表现。而现在学生在画线段图、标数据的过程中，就是让学生认真读题、审题的过程。

而线段图对于路程问题的解决更是十分重要。许多学生对于路程问题中描述的路径混淆不清，这时，一幅线段图不仅能理清题干的路线问题，也能帮助我们找到数量关系。例如，小红和小明同时参加200 米赛跑，小红跑出起点65 米时，小明离终点还有55 米，请问谁跑得快？快多少米？这是一道二年级会遇到的路程问题，许多学生不擅长读题，会直接比较65 和55 米，或者是将题干中的数字随意使用，这都是没有理解题中含义的原因。教师可以让学生画一段线段，在两个端点分别表示出起点和终点，标上200 米的数据，随后让学生自己根据题意画出小红和小明的位置，并标上数据。让学生说一说怎么想的，两个人跑的路径分别是哪些。

通过观察线段图上的关系，学生基本可以理解小红跑出的就是65 米，而小明跑出的是总路程200 米减去离终点的55 米得到145 米，随后再进行比较。这种问题对于低学段的学生而言特别容易混淆，因为他们生活经验的缺乏与审题的不仔细。而这样的一幅线段图，不仅帮助学生理清了数量关系，更让学生初步体会了数形结合的思想好处。

（四）画图分析，一题多解

数学问题的答案虽然大多时候是确定的，但是达到终点的方法确实多种多样的，这也是数学学科的魅力之一。而现在数学中学生常常满足于一种解题方法，而放弃了多种思路解题的习惯，这对于学生的多元化思维的培养是不利的。

线段图的应用可以化抽象为具体。将题中复杂逻辑关系以线段的方式呈现出来的能力，可以让学生更方便地理解题中的含义，而不是依靠某种解题模板去套用，这就提供了多元化解题的可能性，让学生根据自己画出的图和理解的含义去列式解答。

例如，李明问张老师有多少岁了，张老师说：“我像你这么大时，你才4 岁；等你长到我这么大时，我就52 岁了”请问张老师和李明今年各是多少岁？这是一道典型的差倍问题。学生在初读这类题时，比较难把握题中隐含的数量关系，从而不知所措。此时一幅清晰的线段图就显得格外重要。

我们可以先画出一条线段表示李明现在的年纪，随后画一条长线段表示张老师现在的年纪，此时要注意两者相差的线段就是两人的年龄差。

题中一共有两个条件，通过条件1“我像你这么大时，你才4 岁”可以知道当张老师和李明现在的年龄线段去掉一个年龄差后，李明只有4 岁。

通过条件2“等你长到我这么大时，我就52 岁了”，我们在张老师和李明现在的年龄线段后面，分别加上一个年龄差，此时张老师达到52 岁。

通过观察图中张老师和李明的年龄图，会发现李明4 岁时，加上3 个年龄差后将达到52 岁，所以只需要将52 岁减去4 岁得到48 岁，算出两人的年龄差是16 岁，再根据李明现在的年纪是4 岁加上一个年龄差是20 岁，而张老师现在的年纪是4 岁加上2个年龄差是36 岁。

这道题中非常重要的一个关键点在于年龄差，而在文字描述中这一信息是隐含的，并不容易得出关系式，但当画出线段图后，就会很容易注意到年龄差这一不变量。而学生在分析出数量关系后，也可以采用方程式的方式解决这个问题，令李明和张老师的年龄差是x，4+3x=52 也是可以得出最后的结果。解决数学问题的方法有很多种，但是分析题目含义找寻所需的数量关系式才是通往成功的大门，而画线段图显然是一把很好用的“钥匙”。

二、线段图在解决问题中的教学策略

（一）初步感受，从已有经验入手

苏教版在低年级数学教学中是很少涉及用线段图解决问题的，当时的解决问题数量关系比较直观。而三年级从倍的认识开始，出现用线段图去分析解决问题要求。这可能会让学生产生线段图是现在才学的，只能用来解决倍数问题，或者只能用来解决复杂问题的误区。

但归根结底，线段图是一种用线段表示数字的方法，在低年级学生已经从一开始的通过直尺认识10 以内的数字，到后面的用三角形、圆表示数字中认识到了数字可以用一些具体事物指代，且在同一个情景问题中，一个事物只能指代一个数字，这都为我们学习线段图建立了良好的基础。

教师在讲解线段图解决问题时可以出示一道简单的问题。如鸡有15 只，鸭有23 只，一共有多少只？这种问题是学生以前经常接触过的，可以让学生先尝试用线段图表示出这两个条件，再根据自己的线段图说一说数量关系。

这样做可以让学生从已有知识中认识到线段图并不是很复杂的东西，是一个帮助我们分析问题的方法，同时意识到并不是只有倍数问题才能用线段图分析。

教师要让学生养成画线段图分析问题的习惯，可以先从简单的问题出发，学会用线段图提炼题干中的条件，去观察线段图分析数量关系。这样，在遇到情景复杂的问题时才能得心应手地使用线段图。

（二）图文转化，锻炼语言表达

学生在初期学习线段图时，可能无法将题干中的文字准确的转换成线段图，很可能画出的线段图改变了题目的本意，反而会对题目的解决造成困难。

因此教师可以在初期让学生先根据文字说一说怎么去画。例如苹果有35 颗，梨的数量是苹果的3 倍，梨有多少颗？这是一道很简单的倍数问题，可以让学生思考应该画图时，应该先画什么？再画什么？我们现在知道了苹果的数量是35 颗，那就可以用一条线段表示苹果。而梨的数量是苹果的3 倍，则说明苹果是一份，梨是3 份，要用3 条同样长的线段表示。通过上述事例让学生明白画图时要先画出已经知道的条件，再去画需要求得的条件。

其次，将题目隐去，只看线段图，让学生观察从线段图中可以得到哪些信息？要让求什么问题？你是怎么看出梨是苹果数量的3 倍的？这样引导学生仔细观察线段长度的关系，从而得到梨的数量是苹果的3 倍，并强调画线段图时要注意每条线段的长度关系，在画图时要做到精准，才能表达出题目所包含的意思。

经过这样的多次练习后，教师可以尝试只出示线段图，而让学生根据线段图的信息表达题中的条件和问题。经过这样从文字到图形，再从图形到文字的多次练习，可以让学生逐渐学会抓住题干中的主要条件和问题，最终让学生的读题审题能力更上一层楼。

（三）精确作图，分析数量关系

学生要想做出一幅准确的线段图，首先要理解题意。其次，让学生理解在绘制线段图中，要根据数值的大小画出不同长度的线段，在一道题中一条线段所表示的数值是不变的。

小学生正处于具体运算阶段中，以往教师空洞的语言描述很难让学生理解题目中的数量关系。而且解决问题的种类繁多，并不是教师的几个解决问题专题练习就可以覆盖的。古人云：“授人以鱼不如授人以渔”［2］。现在线段图的分析方法可以说是解决问题中的“渔”，让学生先从简单入手，掌握线段图的画法，再逐步去分析复杂的问题。

例如，在这样一道题中：张叔叔在果园里种了苹果树和梨树，已知苹果树是梨树的3 倍多35 棵，比梨树的4 倍少75 棵。果园里有多少棵苹果树？

题干中的两个条件十分清楚，但是要让他们两个条件联系起来让许多学生产生了疑惑，因为在这道题中苹果树和梨树都是未知的，这和学生之前碰到的题不一样。

因此教师先让学生理清题中条件，再分别根据题意用梨树表示出苹果树的数量，通过对比上下两条线段图，让学生发现3 倍多出的35 棵梨树和4 倍少的75棵梨树，合在一起正好是梨树的数量，也就是110 棵梨树，再根据梨树数量算出苹果树的数量是365 棵。而35 棵和75 棵合起来是一份梨树，也是解决此题的重要关键，但是在原来的文字中，许多学生无法从题干中得到这个数量关系而陷入困难。题目条件本不复杂，但是里面的数量关系学生一时无法想到，而通过将上下两条线段图进行分析，则能更加清楚地理解题意，将原本隐藏在文字中的数量关系通过线段图显现出来。同时，利用线段图讲解这道题也更加直观地让学生明白数量关系，能让学生按要求准确地画出线段图。此时，部分学生已经能通过观察得到关系式。这种讲解方式比纯粹的语言讲述更加直观，也更容易理解。

总之，线段图是解决问题的有效方法之一。它不仅仅是一种解题方法，更是一种思维过程，能够让抽象的语言描述转变为具体的线段关系，让学生更容易提取题目中的数量关系。同时，这一转化的过程，也是学生审题思考的过程。让学生将语言文字转化成图形，可以有效地提高学生的分析和思考能力。同时，也可以让老师从空洞的语言讲解中脱离出来，学生不再只是被动吸收教师分析出的数量关系，而是能自己动手画图，自己去进行题意的解剖和分析，更容易产生兴趣和成就感，更容易激发解决问题的积极性。