滚动型单面碰撞调谐质量阻尼器参数优化及减振性能分析

张 静，王修勇，王文熙，陈 晟

（1.湖南科技大学 结构抗风与振动控制湖南省重点实验室，湖南 湘潭 411201；2.湖南大学 风工程与桥梁工程湖南省重点实验室，长沙 410082）

调谐质量阻尼器（Tuned Mass Damper，TMD）作为一种典型的被动控制装置，已在实际工程中得到广泛应用[1－3]。为了使之满足不同场景下的减振需求及提高减振性能，许多学者在TMD基础上开展了调谐阻尼器研究。Pirner等[4－5]首次设计出球形吸振器并用于电视塔减振；Li等[6]研究了一种用于海上风力发电机组的球形减振器(Ball Vibration Absorber，BVA)，推导出安装BVA 系统的风力塔系统解析模型，通过地震台实验研究了BVA对风力发电塔减震效果；傅礼铭等[7-8]以空腔楼板结构作为控制对象，提出了空腔楼盖滚动型调谐质量阻尼器(Tuned Rotary Mass Damper，TRMD)，分析了TRMD装置对空腔结构在确定性激励和随机激励作用下的振动控制效果。

Song等[9]将碰撞耗能引入TMD设计中，提出了碰撞调谐质量阻尼器（Pounding Tuned Mass Damper，PTMD）；李书进等[10]同样对空腔楼盖滚动型碰撞调谐质量阻尼器(Pounding Tuned Rotary Mass Damper，PTRMD)进行研究；上述碰撞调谐阻尼器均采用两个挡板，利用质量块与挡板的碰撞耗能进行减振。为了解决PTMD最优间隙参数难以确定的问题，王修勇等[11－12]在PTMD 基础上提出了单面碰撞调谐质量阻尼器（Single-side Pounding Tuned Mass Damper，SS-PTMD），并通过风洞试验验证了SS-PTMD对桥梁的涡振有着良好的控制效果；何禹忠等[13]针对悬臂式SS-PTMD 开展了理论与实验研究，表明悬臂式SS-PTMD频率比偏离调谐频率时仍具有较好的减振效果，说明该阻尼器有较好的控制鲁棒性。

本文结合滚动型调谐质量阻尼器与单面碰撞调谐阻尼器的特点，提出了滚动型单面碰撞调谐质量阻尼器（Single-side Pounding Tuned Rotary Mass Damper，SS-PTRMD），建立了单自由度结构-滚动型单面碰撞调谐质量阻尼器运动方程，通过仿真分析研究了SS-PTRMD 的参数优化和自由振动、简谐激励以及地震作用下减振效果。

1 SS-PTRMD-结构耦合运动方程

1.1 SS-PTRMD-单自由度结构减振力学模型

采用SS-PTRMD 减振的单自由度结构力学模型如图1 所示。SS-PTRMD 由小球、圆形轨道及碰撞挡板组成，如图2所示。在水平激励作用下，主体结构产生沿水平方向位移的同时，小球沿着轨道产生振动，小球与轨道间的摩擦及与挡板的碰撞将消耗结构的能量，从而达到耗能减振的目的。合理设计轨道半径、小球半径、黏弹性材料恢复系数以及小球质量,可使SS-PTRMD频率与结构频率调谐，达到最优减振效果。

图1 SS-PTRMD-单自由度结构耦合力学模型

图2 SS-PTRMD力学模型

1.2 SS-PTRMD-单自由度结构耦合系统运动方程

采用Lagrange 变分原理对SS-PTRMD-单自由度结构耦合系统的运动方程进行推导。设主结构和小球质量分别为m1、m2，主结构的水平位移为x1，小球相对于结构的角位移为θ，则SS-PTRMD-结构耦合系统的Lagrange方程可表示为：

式中：T、V分别为系统的动能和势能分别对应广义位移x1、θ的除保守力以外的其他非保守力的广义力。

系统动能包括主结构动能、小球平动及绕球心转动动能，即：

式中：ρ为轨道半径R与小球半径r之差，ρ=R－r；JT为滚球振子转动惯量，JT=2/5m2r2；ω为SS-PTRMD振子自转的角速度，ω=ρθ/r。

化简式（3）得：

系统势能包括主结构的弹性势能及小球的重力势能，即：

式中：k1为受控结构的刚度。

非保守力做功主要包括外激励做功、结构自身阻尼力做功，小球与主结构间的滚动摩擦力矩做功、小球与黏弹性挡板碰撞的碰撞力做功，即：

式中：c1为结构阻尼系数；F为作用于主结构的外力；Fp为黏弹性材料层与小球之间的碰撞力，在碰撞条件不满足时恒等于0；Ψ为振子球心偏离平衡位置的角度；δx1、δθ分别为主结构水平方向的虚位移和小球的转角虚位移；f为非保守滚动摩擦力矩，可表示为：

式中：μ为滚动摩阻系数。滚动摩擦力矩与小球角速度方向总是相反，故需在角位移项前加符号函数。假设小球处于纯滚动状态，小球与轨道的接触点处小球表面和轨道表面的速度相等，可得：

将式（7）和式（8）代入式（6）中，可得：

由式（9）可得：

将式（4）、式（5）、式（10）、式（11）代入式（1）、式（2），可得系统运动方程为：

在假定小球的转角θ为小量的前提下，可以认为cosθ=1，sinθ=θ，小球的法向加速度an=很小忽略不计，因此，式（12）、式（13）可简化为：

考虑挡板限制了小球的一半行程，因此SSPTRMD的固有频率为f2=。

1.3 SS-PTRMD碰撞力模型

SS-PTRMD中小球运动过程中将与挡板发生碰撞，考虑钢球与黏弹性材料碰撞存在明显的弹性后效，黏弹性材料在碰撞结束时存在残余变形，碰撞力模型表示为[13]：其中：y为碰撞过程中的相对位移，y=ρsinθ，它的1阶导为碰撞速度；k和ζ分别为碰撞刚度和碰撞阻尼因子；n为非线性指数；ymax为碰撞过程中两碰撞体的最大相对位移；ye为碰撞结束后黏弹性材料的残余变形；fe为碰撞过程中的最大弹性碰撞力，其表达式为：

定义残余表面变形率e1为：

根据能量守恒原理，k、ζ与e1满足关系式[14]：

式中：e为小球碰撞弹性恢复系数；为小球碰撞时的初速度。

2 SS-PTRMD最优参数分析

SS-PTRMD最优参数包括最优频率比与最优恢复系数，当SS-PTRMD 的小球与圆形轨道的滚动摩擦系数μ=0 时，SS-PTRMD 的等效阻尼与弹性恢复系数有如下关系[14]：

（5）一稿两用一经证实，将择期在杂志中刊出其作者单位和姓名以及撤销论文的通告；2年内将拒绝接收该作者作为第一作者所撰写的一切文稿，并就此事件向作者所在单位和该领域内的其他科技期刊进行通报。

当μ≠0 时，SS-PTRMD 的等效阻尼与弹性恢复系数和滚动摩擦力均有关系。

定义SS-PTRMD的质量比为：

定义SS-PTRMD的频率比为：

式中：f1为结构固有频率，即：

基于H∞优化准则，研究在不同SS-PTRMD质量比情况下，SS-PTRMD 用于结构振动控制的最优频率比ropt及最优弹性恢复系数eopt，优化目标函数可以表示为：

式中：β为作用于主结构上简谐激励的激振圆频率，DMF（Dynamic Magnification Factor）为位移动力放大系数，其表达式为：

式中：X1(β)为主结构在简谐荷载F(t)=f0sin(βt)激励下稳态响应的幅值。优化方法为寻找一个最优的SS-PTRMD 频率比ropt与最优弹性恢复系数eopt使得被控结构在一定范围激励频率内动力放大系数的最大值最小化。

为对SS-PTRMD 进行参数优化，取图1 模型进行仿真分析。主要参数为：m1=3 kg，f1=2.27 Hz，ζ1=1.3%，SS-PTRMD的小球与轨道的滚动摩阻系数μ=0.01 mm，碰撞刚度k=2.74×105N/m1.5，非线性指数n=1.5。

表1 SS-PRTMD最优参数

从表1 可以看出，随着质量比的增加，SSPTRMD 的最优频率比ropt逐渐增加，而最优恢复系数eopt逐渐减小；提高SS-PTRMD的质量比，DMF逐渐减小，且减小的趋势趋于缓和。

为研究滚动摩阻系数μ对SS-PTRMD减振效果的影响，质量比取3%，优化的频率比和恢复系数见表1，简谐激励幅值f0=1 N，激振圆频率β=2πf1=14.26 rad/s，计算不同滚动摩阻系数μ（mm）下的稳态响应减振率。

不同滚动摩阻系数μ下的稳态响应减振率如表2、图3 所示，当滚动摩阻系数μ较小时，滚动摩阻系数μ对于SS-PTRMD 的稳态响应减振率影响较小，但是当滚动摩阻系数μ较大（μ>0.5 mm）时，随着μ值增大，SS-PTRMD 的稳态响应减振率减小。这是因为当滚动摩阻系数μ较大（μ>0.5 mm）时，滚动摩擦消耗了小球较多的动能，促使小球与挡板发生碰撞的次数减小，使得SS-PTRMD的减振效果降低。

表2 不同滚动摩阻系数μ下SS-PTRMD的稳态响应减振率

图3 不同滚动摩阻系数μ下SS-PTRMD的稳态响应减振率

3 SS-PRTMD减振性能分析

3.1 自由振动

进行自由振动分析时采用的主结构及SSPTRMD参数与参数优化时所取参数相同，质量比取为3%，优化的频率比和恢复系数见表1，初始位移为20 mm，初始速度为0。

自由振动状态下主结构无控、SS-PTRMD 控制的仿真结果如图4所示。从图中可看出SS-PTRMD控制下主结构在6 s之后就停止了振动，而无控时主结构在20 s之后才停止振动。安装SS-PTRMD后主结构的阻尼比由原来的1.3 %增加至7.3 %，SSPTRMD对结构自由振动有良好的控制效果。

图4 自由振动下主结构位移响应对比

3.2 简谐激励

选取主结构和SS-PTRMD 的参数与进行自由振动分析时相同，简谐激励幅值f0=1 N，进行了简谐激励下结构减振分析。

图5为激振圆频率β=2πf1=14.26 rad/s即结构共振频率下无控和SS-PTRMD 控制的结构响应时程，从图5 中可看出，SS-PTRMD 控制的主结构在5 s 之后位移响应已经控制在8 mm附近，而无控的主结构稳态幅值超过了60 mm，稳态响应减振率为86.7%。图6 为简谐激励下结构的主结构无控、安装SSPTMD、TMD、SS-PTMD 均为最优参数下的幅频曲线，由图可知，无控主结构动力放大系数最大值为38.1，SS-PTRMD、TMD、SS-PTMD 控制的主结构动力放大系数最大值分别为6.94、6.96、7.97，在同质量比且均为最优参数条件下SS-PTRMD 减振效果略优于TMD和SS-PTMD。

图5 简谐激励下主结构位移响应对比

图6 简谐激励下主结构幅频响应曲线对比

3.3 地震激励

选取EI Centro 波、Tianjin 波作为激励，将两条地震波加速度峰值统一调至110 cm/s2，主结构和SSPTRMD的参数与自由振动分析时相同，在两种地震波激励下单自由度结构无控和SS-PTRMD 控制的位移时程及加速度时程如图7所示。

图7 两种地震波激励下主结构的位移、加速度时程图

为了评估减震效果，采用位移、加速度峰值减震率和位移、加速度均方根值减震率作为减震性能指标，在两种地震波激励下SS-PTRMD 的减震性能如表3所示。

表3 地震波激励下SS-PRTMD的减震性能

从图7 及表3 可知，在EI Centro 波、Tianjin 波激励下SS-PTRMD使主结构位移均方根、加速度方根均显著减小，使主结构位移峰值、加速度峰值也有一定程度减小，但不是十分明显，并且对EI Centro 波所致振动的减震效果优于Tianjin波。SS-PTRMD对主结构的减震效果会随着地震波的改变产生较大的变化。

4 结语

本文建立了单自由度结构-滚动型单面碰撞调谐质量阻尼器力学模型和运动方程，以动力放大系数最大值最小化为目标函数进行参数优化，分析了滚动型单面碰撞调谐质量阻尼器在自由振动、简谐激励和地震波激励下的减振性能。得出如下结论：

（1）通过最优参数表发现随着质量比逐渐增加，SS-PTRMD的最优频率比ropt逐渐增加，而最优弹性恢复系数eopt逐渐减小，提高质量比能提高SSPTRMD 的减振能，滚动摩阻系数μ较小时其对SSPTRMD的减振能影响不大，但当μ>0.5 mm时，随着μ值增大，SS-PTRMD的减振性能降低。

（2）当质量比为3 %时，自由振动状态下安装SS-PTRMD 后主结构的阻尼比由原来的1.3%增加至7.3%；在简谐激励下，主结构达到稳态响应后减振率为86.7%，说明SS-PTRMD 对结构的自由振动和简谐激励下的振动有良好的控制效果，在同质量比且最优参数条件下SS-PTRMD 减振效果略优于TMD和SS-PTMD。

（3）在地震波激励下，SS-PTRMD 对结构振动也有良好的控制效果，并且使主结构响应位移、加速度的均方根值减小程度优于峰值减小程度。SSPTRMD的减震效果与地震波特征有关。

（4）SS-PTRMD 具有制作简单方便、不需要较大的安装空间、不会影响结构的布置和使用功能、减振效果好的优点，在风力发电塔、空腔楼板等结构的振动控制领域具有一定的应用前景。