行人荷载作用下钢木组合人行桥结构时变频率识别及变化规律研究

彭佳敏，刘景良，2，陈飞宇，郑文婷 ,盛 叶，2，骆勇鹏，2

（1.福建农林大学 交通与土木工程学院，福州 350108；2.福建农林大学“数字福建”智能交通技术物联网实验室，福州 350108；3.福建工程学院 土木工程学院，福州 350118）

近年来，钢木组合结构由于良好的力学性能和绿色可持续性获得了广泛关注，且已应用于中等跨径桥梁等领域。虽然针对组合结构已出现不少设计指南和规范，但是其关注焦点主要是静态设计，即使涉及到动态设计也仅局限于结构基频[1]。目前，针对该种结构开展的振动舒适度设计和动力特性(固有频率、阻尼比、模态质量和模态振型)研究并不多见，故有必要对这一领域开展更深入研究。

在细长的轻质阻尼结构中，人-结构相互作用(Human-Structure Interaction，HSI)显著影响结构的动力特性[2]。如朱前坤等[3]的试验结果表明：考虑行人-结构竖向动力耦合效应，人行桥自振频率略有减小，阻尼比显著增加。因此，为避免由HSI引发的灾难性事故，在人行桥的结构设计和安全性评估中考虑人对系统频率和阻尼的影响是合理的。然而，许多现行设计规范都忽略了HSI现象。如某些设计规范采用的移动荷载(Moving Force，MF)模型没有考虑行人和桥之间的相互作用，从而导致振动响应被高估[4]。实际上，仅将行人视为移动荷载而不是作为动力系统来考虑的做法无法解释行人对结构动力特性的影响[5]。为此，Zhang 等[6]对实验室中的人行桥进行了人桥相互作用测试，然后将人行桥步行试验结果与弹簧-质量-阻尼器(Spring-Mass-Damper,SMD)模型模拟结果进行对比，最终计算出行人的质量、阻尼和刚度参数。Ahmadi 等[4,7]采用SMD 模型建立了行人质量、阻尼和刚度与桥之间的耦合模型。他们虽然得出了单自由度桥梁受行人影响的动力特性变化曲线，但是因其采用的SMD 模型是通过弹簧-阻尼器将人体质量与桥梁直接耦合，并未通过接触模拟桥对人体质量的支撑，故无法模拟出HSI 真实性。为此，Jiménez-Alonso等[8]提出把人体质量分为簧载质量和非簧载质量两个部分，并通过弹簧阻尼器进行连接，最终得到简化的站姿人体动力学模型，而该模型足够简单也足以表征行人的生物力学特性。基于此，本文中的行人有限元模型将采用Jiménez-Alonso提出的人体动力学模型来模拟。

当人在人行桥上匀速行走或者近似匀速行走时，结构的频率是时变的，可以通过瞬时频率(Instantaneous Frequency，IF)这一模态特性来追踪HSI 系统的固有频率变化情况。Daubechies 等[9]提出的同步挤压小波变换(Synchrosqueezing Wavelet Transform，SWT)将小波变换和时频重分配方法相结合，虽然获得了更好的频率分辨率，但是并没有提高时间分辨率。此外，成功应用SWT进行瞬时频率识别的前提条件是：目标信号是渐近的且各分量信号模态频率并不密集，而钢木组合人行桥的振动响应信号极有可能是非渐近和模态密集信号，这使SWT对其并不适用[10]。为此，Liu等[11]提出一种识别结构瞬时频率的联合方法(Combined Method，CM)。该方法是拓展解析模态分解(Analytical Mode Decomposition，AMD)、递归希尔伯特变换(Recursive Hilbert Transform，RHT)和变焦同步挤压小波变换 (Zoom Synchrosqueezing Wavelet Transform，ZSWT)的联合。相比SWT，CM 方法能够识别模态密集的非渐近信号，不仅突破了SWT的原有限制条件，而且能够在研究人员感兴趣的某个特定区域同时获得良好的时间和频率分辨率。

本文通过ABAQUS 建立了行人与钢木组合人行桥耦合的有限元模型，然后采用上述的联合方法分别对单人和人群作用下的该人行桥进行瞬时频率识别。研究结果表明：建立的人桥耦合模型实现了人-桥相互作用的模拟；相比AMD+SWT 方法，联合方法能够更精确识别行人导致的结构固有频率变化趋势。通过对不同跨径的钢木组合人行桥进行数值模拟，评估了各项人体参数对HSI 系统固有频率的影响，最终分别拟合出在单人和人群激励下HSI 系统的理论频率变化公式，这为人行桥设计与维护工作提供了一定的参考。

1 基本理论

1.1 人-桥耦合模型

虽然人体的机械特性使得系统的动力特性发生了改变，但是SMD模型的提出很好地解释了人体与结构质量、阻尼和刚度的耦合[8]。然而，Zhang等[6]指出：在人桥耦合系统中人体很可能不仅是附加的质量和阻尼，而是作为一个独立的动力系统依附于结构。为此，Jiménez-Alonso等[8]提出了人-桥耦合系统模型。该模型是根据人体模型与桥梁之间的动力学平衡方程提出的，其中人体模型由簧载质量ma和非簧载质量ms组成，然后将其通过弹簧阻尼器连接，如图1所示。

图1 行人与桥相互作用模型

在仅关注垂直方向耦合作用的前提条件下，分别考虑HSI 系统、桥和人体模型的平衡，得到如式(1)、式(2)和式(3)所示的耦合方程。

式中：za和zs分别是簧载和非簧载质量的垂直绝对位移；kp是行人的刚度；cp是行人的阻尼；Fp,v是行走的垂直荷载；Fint是行人与桥之间的相互作用力；Mi、Ci和Ki分别代表i阶振型的模态质量、模态阻尼和模态刚度；ϕi为i阶振型的垂直分量；xp=vpt是行人沿纵桥向行进的距离，而vp则代表行人的纵桥向速度。

将式(3)代入式(1)可得：

然后，将结构与人体模型之间的位移、速度和加速度协调方程应用于人与桥的接触点，得：

上述这些量可通过桥梁竖向位移zi(t)和振型函数的垂直分量ϕi(x)表示。在忽略行人速度随时间变化(匀速运动)的情况下，w(xp,t)可表示为：

然后，将式(5)至式(10)代入式(1)至式(3)，并以矩阵形式表示人桥耦合模型，得：

式中：M、C和K分别代表HSI系统的质量、阻尼和刚度矩阵。

由式(11)可知：当行人在桥梁上行走时，HSI 系统的质量、刚度和阻尼矩阵均会随行人位置的移动而发生变化。因此，对式(11)进行特征值分析可获得HSI系统的频率变化趋势及规律。

1.2 联合方法

联合方法结合了拓展AMD定理、RHT和ZSWT技术。具体来说，首先采用拓展AMD定理将多分量信号分解成若干个单分量信号；然后，采用RHT 算法将分解后的单分量信号解调为渐近信号或纯调频信号。最后，采用ZSWT 算法对解调后的信号进行处理即可在特定区域内同时获得较高的时间分辨率和频率分辨率[11]。

准确识别行人荷载作用下的人行桥结构瞬时频率等时变模态参数首要解决的一个问题就是如何将非平稳的多分量响应信号有效地分解成多个单分量信号。虽然AMD是一个行之有效的信号分解方法，但是其截止频率是通过傅里叶频谱图的峰值人为选取，既是一个恒定值但也具有主观特性[12]。相比AMD，拓展AMD 定理不再选取一个恒定的截止频率，转而采用SWT提取两个相邻分量信号的瞬时频率，然后选取瞬时频率的平均值作为拓展AMD的时变截止频率，最终成功分离响应信号的各阶分量[11]。

然而，通过拓展AMD分解得到的单分量信号属于调幅调频信号而非渐近信号或纯调频信号。当幅值变化率没有远小于相位变化率时，单分量信号幅值的变化将影响到瞬时频率等模态参数的提取。因此，对分解后的分量信号进行解调的重要性凸显出来。希尔伯特变换是一种常用的信号解调方法，但是在原始信号不满足Bedrosian乘积定理时，通过该算法构造解析信号可能会产生较大的误差，而RHT很好地解决了这一问题[11]。该方法是以上一步希尔伯特变换计算出的调幅调频信号作为新的初始信号，然后递归地使用希尔伯特变换进行信号解调并逐步减少误差，直至新的信号可近似为渐近信号或纯调频信号。

通过解调过程得到渐近信号或纯调频信号之后，需进行瞬时模态参数的提取，而瞬时频率识别是其中一个关键问题。虽然SWT 算法通过重组小波变换后的时频图能够获得较高频率精度的时频曲线，但是其只能处理信号频率不变时尺度方向的扩散，对于时间维度上的扩散无能为力。相对而言，ZSWT 很好地解决了这一问题，因为其包含频移变换和局部变焦同步挤压操作两个步骤。

首先，频移变换是将纯调频信号的IF 从低频区域移到高频区域，以便具有更好的时间分辨率。以纯调频信号xN(t)为例，其频移变换定义为：

式中：f0为预先设定的频移频率。

式 中：ω(a,b)为信号xN(t)的瞬时频率，而ω0=2πf0。ω(a,b)可以由ω*(a,b)减去ω0获得，而ω*(a,b)将通过下一步的变焦同步挤压来估计。为获得更好的时间分辨率，信号xN(t)的中心频率将被移到更高的频率区域，因此在这里仅考虑正向频移变换(f0>0)。

其次，为了改善相关频率范围内的频率分辨率，对经频移变换变换后的信号进行局部变焦同步挤压。针对关注的频率区间[fm,fM]，定义两个中间变量lfm和lfM为：

然后，将CM的离散频率序列指定为：

式中：k代表关注区间[fm,fM]内离散频率点的数量。

因此，对应的离散角频率序列则表示为：

在得到ωis(l)序列后，采用ωis(l)代替SWT 中的连续变量ω(l)，可得离散形式的Tx，如式(17)所示。

通过计算Tx在时频面上曲线能量泛函的最大值，即可提取上述纯调频单分量信号的瞬时频率曲线。更多有关CM 和SWT 算法的详细信息参见文献[11]。

2 数值算例验证

2.1 钢木组合人行桥有限元模型

采用ABAQUS建立如图2所示的钢木组合人行桥有限元模型，其中，对于木面板采用8节点线性减缩积分单元(C3D8R)，对于钢梁采用4节点曲壳单元(S4R)，并通过绑定约束使该二者间具有良好的接触性能。

图2 钢木组合人行桥有限元模型

该组合人行桥由胶合木面板和两根钢梁构成，其中胶合木板采用正交各向异性材料，其横截面尺寸为100 mm×800 mm，密度为5.143 ×102kg/m3，弹性模量E、剪切模量G以及泊松比μ等材料参数根据文献[13]选取，详见表1。其中，L、R、T分别代表木纤维方向、木材的径向和弦向。H 型钢梁型号为HN250×125，梁高度为250 mm，腹板厚度为6 mm，翼缘宽度和厚度分别为125 mm 和9 mm，其材料参数详见表2。胶合木板与钢梁之间采用螺栓连接，采用连接器单元对其进行有限元模拟。沿纵桥向每隔380 mm 设置一组螺栓，其预紧力设定为10 kN。钢材与木材之间的摩擦系数设为0.3。

表1 胶合木面板材料参数

表2 钢梁材料参数

2.2 连续行走荷载模型

采用傅里叶级数近似表示人行荷载[14]，即：

式中：Fp,v(t)表示行走过程中产生的竖向荷载(N)；W表示体重(N)；fp表示步频(Hz)；αvi表示竖向荷载的第i阶谐波的动载因子；φvi表示竖向荷载的第i阶谐波的初始相位，在本文中均设为零。根据Živanović等[15]统计的体重均值，本次模拟中选取行人的体重为750 N(质量为76.45 kg)，步频设为1.96 Hz。其中，动载因子也是根据Živanović 提出的5 阶谐波的动载因子取值[14]，如式(19)所示。最终模拟的连续步行激励荷载曲线如图3所示。

图3 连续步行激励荷载曲线

在实际建模时，首先以采用弹簧阻尼器连接的两个质量块表示人体模型，然后通过修改密度的方式定义簧载质量与非簧载质量。根据文献[8]，簧载质量和非簧载质量分别占整体质量的90%和10%。由于只考虑竖向力，将质量块与桥面之间的摩擦系数设为0。同时，通过设置边界条件设定人体模型以1 m/s沿纵桥方向匀速行进。

实际中，真实人行荷载应是人体质量在重力加速度作用下产生的竖向荷载。而以往的人行荷载有限元模型[5,16]是仅在结构上直接施加移动集中力而忽略了真实人行荷载。因此，本文通过改变施加于人体模型上的竖向加速度Ap而非直接施加移动集中力来对钢木组合人行桥模型施加连续步行激励。根据牛顿第二定律和式(18)，最终施加于人体模型的竖向加速度如式(20)和图4所示。需要指出是：本文在定义ABAQUS 中的分析步时选用通用分析步中的隐式动力分析类型。然后，将隐式动力分析步中默认施加的重力加速度(9.81 m/s2)替换为式(20)中的竖向加速度Ap。最后，通过隐式动力分析来分析计算钢木组合人行桥的加速度响应。

图4 施加于人体模型的竖向加速度

2.3 单人-钢木组合人行桥耦合模型

首先，建立7 m长的单跨钢木组合人行桥模型，根据文献[7]选取行人的刚度为14.11 kN/m，阻尼系数为612.5 N∙s/m。一般来说，当行人在桥面行进时，行人与桥面之间会发生接触但不会产生凹陷融合(穿刺)的现象。因此，本文采用硬接触而非软接触的形式来定义行人与人行桥的法向属性。在此之后，对上述人行桥进行模态分析，得其空载状态下的1阶竖向弯曲模态频率为18.01 Hz，如图5所示。

图5 钢木组合人行桥1阶竖向弯曲模态

然后，设定时间间隔为2 ms，对组合人行桥进行隐式动力分析，提取人行桥跨中位置木面板边缘的加速度响应信号(见图6(a))。从图6(a)可以发现：行人进入人行桥时产生了较大的冲击，特别是当行人前进到跨中位置时达到峰值。接着以Morlet小波为母函数，选取参数σ=2 π，对响应信号进行连续小波变换得到小波量图(见图7)。由图7 可知：竖向弯曲模态频率在18.01 Hz 附近发生了明显的变化，这说明各阶模态中受行人影响变化最大的为竖向弯曲模态。此外，图7 中3 Hz～10 Hz 范围内出现了4 个高亮区域，对应4 个不同激励频率的振动分量。产生这种现象的原因是：通过傅里叶级数表示的连续步行荷载由5 阶谐波叠加而成，并以步频fp=1.96 Hz为间隔。因此，除了在1.96 Hz附近位置识别出行人的步频外，在3 Hz～10 Hz的范围内也识别出了4个谐波分量的时频代表值。图6(b)为加速度响应的幅值变化率。对比图6(b)和图7可知：振幅的变化率并不远低于相位的变化率(频率为15 Hz～20 Hz)，这表明单人加载工况下钢木组合人行桥模型的响应信号是非渐近信号，并不满足SWT 算法的前提条件，因此采用CM方法识别瞬时频率是合适的。

图6 单人加载下钢木组合人行桥响应

图7 单人加载工况下钢木组合人行桥响应小波量图

由于结构的频率与质量的分布是关联的[17]，为获得人行桥的固有频率曲线理论值，本文采用了附加移动质量法[18]，具体过程如图8 所示。首先，在桥x1位置附加质量m，对人行桥进行模态分析，获得竖向弯曲模态的频率，记为ω1；然后将附加质量m移动到x2位置，对人行桥再次进行模态分析，将频率记为ω2；以此类推，在桥xn位置附加质量m时，获得对应的频率ωn。本文设定每次移动的距离恒为700 mm，获得一系列离散频率值之后进行三次多项式插值，最终得到如图9中红色实线所示的理论固有频率曲线，而图中的黑色虚线为采用CM 方法识别的瞬时频率结果。此外，本文也采用AMD 与SWT 相结合的方法(AMD+SWT)对人行桥结构进行瞬时频率识别，其结果如图9中的青色点划线所示。

图8 附加移动质量示意图

图9 单人加载工况下钢木组合人行桥响应瞬时频率识别结果

由图9 可知：钢木组合人行桥固有频率随着行人前进而逐渐减小，当行人位于跨中处时固有频率降至最低点，随后固有频率逐渐增加直至行人离开人行桥时达到空桥时的频率值。这一趋势与Ahmadi 等通过结构动力学模型计算获得的趋势相符[4,7]。因此，本文建立的有限元模型能够很好地考虑人对钢木组合人行桥系统固有频率的影响，而且采用的CM方法能够有效追踪人致桥梁振动响应信号的瞬时频率。相比AMD+SWT 方法，采用CM 方法识别的结果不仅更接近理论值而且也更光滑，其识别效果明显更佳。这一结果也验证了Liu 等[11]的观点，即针对非渐近信号，CM 方法不仅可以突破AMD+SWT 方法的限制，而且在特定范围内可获得更高的时频分辨率。然而，CM 方法和AMD+SWT组合方法所识别的瞬时频率曲线在两端均出现了一定的偏差，究其原因是上述2 种方法本身存在端点效应。但从图9 可以看出：除端点处识别值与理论值存在偏差，其他时刻识别值均接近理论值，故端点效应对钢木组合人行桥的瞬时频率识别有影响但影响效果有限，并不会从根本上改变其固有频率的变化趋势。

2.4 人群-钢木组合人行桥耦合模型

为模拟人群-钢木组合人行桥耦合模型，首先根据前文描述建立7 m 的单跨钢木组合人行桥，并在桥两端建立引桥且将其设置为刚体，然后在引桥上布置8 个人体模型来模拟人群，如图10 所示。人体参数与前述的单人模型相同，假设每两个相邻行人间隙恒定为1 m，则人群完全通过人行桥需14 s。每个人体模型施加的竖向加速度的初始相位在0～2π区间范围内随机均匀分布。

图10 人群加载工况下钢木组合人行桥有限元模型

在人行桥跨中处的木面板边缘处提取加速度响应信号，结果如图11(a)所示。由图11(a)可知：每个行人进入人行桥时都产生了较大的冲击，直至大部分行人都位于桥上后才趋于稳定。选取Morlet小波为母函数，σ=2 π，对响应信号进行连续小波变换得到如图12所示的小波量图。

由图12 可知：人行桥的1 阶竖向弯曲模态同样发生了显著的变化，而且在1.96 Hz的位置识别出了行人的步频。加速度响应信号的振幅变化率如图11(b)所示。通过图11(b)可知：人群荷载激励下的钢木组合人行桥的响应信号是非渐近的，因此采用CM是合适的。

图11 人群加载工况下钢木组合人行桥响应

图12 人群加载工况下钢木组合人行桥响应小波量图

与单人-钢木组合人行桥耦合模型类似，通过附加多个移动质量来获得理论固有频率曲线(图13 红色实线)。除此之外，图13中的黑色虚线和青色点划线分别是采用CM和AMD+SWT方法所识别的人行桥瞬时频率结果。由图13可知：由于人群进入人行桥时的冲击作用，频率识别值在相应位置会出现一定的失真。与AMD+SWT方法相比，人群激励工况下采用CM方法识别的瞬时频率值虽然更接近理论值，但是优势并不明显，这也是CM方法的局限性所在和未来需要改进的地方。对比图9 与图13 可知，相较于单人荷载，人群对钢木组合人行桥结构系统的频率影响更大，而且人群加载工况下频率的变化趋势与单人工况不同，表现为瞬时频率曲线中部存在平缓段，其原因将在下一节进行阐述。

图13 人群加载工况下钢木组合人行桥响应瞬时频率识别结果

3 参数分析

本节采用参数分析和傅里叶级数拟合两种方法对在行人移动工况下HSI 系统频率变化规律进行分析。

首先，建立7 m～12 m 跨径的钢木组合人行桥模型。将跨径范围定在7 m～12 m的主要原因是人行桥的竖向基频要高于5 Hz 才不大可能出现人桥共振问题[19]。当竖向振动频率小于5 Hz 时，需要验算人行桥的人致振动舒适性[20]。因此，为满足频率限制和振动舒适度要求，仅对7 m～12 m 跨径的钢木组合人行桥进行参数分析。其次，通过更改人体参数来施加随机人行荷载。其中，随机人体参数根据参考文献[21]选取，采用对数正态分布作为行人质量分布，均值和标准差分别设为76.45 kg 和15.68 kg，行人质量变化范围为45.57 kg～145.34 kg。人行荷载的初相位在0～2π的区间内随机均匀分布。行人的刚度和阻尼比也呈均匀分布，其中刚度变化范围为9.436 kN/m～36 kN/m，而阻尼比变化范围为0.2～0.6，即阻尼系数范围为408.32 N ∙s/m～1 224.95 N∙s/m。

根据前文所述的随机人体参数选取方法，对7 m～12 m 的钢木组合人行桥施加10 组随机单人步行荷载，其频率识别结果如图14所示。

其中，不同跨径人行桥的频率变化曲线通过不同的颜色表示，细虚线为通过CM 方法识别的10 组频率变化曲线，蓝色星形实线为10组识别结果的平均值，黑色圆形实线是对平均值曲线进行3 阶傅里叶级数拟合得到的频率变化曲线。由图14(a)至图14(f)可得：不同跨径人行桥的频率变化趋势基本相同。任何周期函数均可以采用傅里叶级数进行拟合且阶数越高则精度越高，因此初次拟合采用3 阶傅里叶级数以获得高精度的拟合效果。其中，1阶幅值系数记为，而2 阶及更高阶的幅值系数趋近于零且远小于，因此可以忽略。由于忽略了2 阶及以上幅值系数，本文最终采用1 阶傅里叶级数拟合单人激励下的HSI系统瞬时频率fs(t)，即：

图14 随机单人行走激励下各跨径钢木组合人行桥响应频率识别结果

式中：f1为1阶竖弯模态频率，Lb为桥梁长度，a1为频率变化幅值系数，而频率变化幅值定义为频率变化曲线的最小值与f1之差的绝对值。

为确定式(21)中a1这一拟合参数，本文通过改变7 m跨径的HSI 模型人体参数进行分析。标准工况下人体质量、刚度和阻尼系数分别为76.45 kg、14.11 kN/m、612.5 N∙s/m，而其余工况则是根据上述人体参数分布区间单独改变某一个变量(质量、刚度或阻尼)来实现。对各工况采用CM 方法进行频率识别并拟合得到频率变化曲线，然后据此求出其频率变化幅值，结果详见表3。

由表3可知：在人体参数分布的区间内，质量是影响频率变化幅值的主要因素，这与文献[22]的结论基本一致。基于此，本文最终选择质量作为拟合参数。根据各跨径桥对应的幅值系数与人桥质量比这两组数据，选取指数函数进行曲线拟合，得：

表3 频率变化幅值表

式中：rm为人桥质量比，即rm=mp/mb，mp为行人质量，mb为桥梁的模态质量。

在确定a1的计算公式之后，根据式(21)计算得到的频率变化曲线如图14中的红色菱形实线所示。由图14 可知：对于不同跨径的钢木组合人行桥，根据式(21)计算得到的曲线与初次拟合的曲线十分接近。因此，本文提出的单人激励下HSI 系统频率变化公式足够简洁且准确性较高。

根据前面所述的随机人体参数选取方法，对7 m～12 m 的钢木组合人行桥施加10 组随机人群步行荷载，其频率识别结果如图15所示。由图15(a)至图15(f)可知：随着总长度为7 m的人群进入人行桥，HSI系统频率总是在人群中心达到跨中位置时降低至最小值。不同于单人激励下的HSI系统瞬时频率曲线，人群激励下的HSI 系统瞬时频率曲线可能会存在一个平缓段。产生这种现象的主要原因是人群长度和桥梁跨径之比在不断变化。由于人群长度恒为7 m，当人行桥跨径越小时，人群占据人行桥的范围就越大，人桥耦合系统的瞬时频率识别值就有越长的时间维持在最小值附近，即在频率变化曲线上表现为平缓段，如图15(a)至图15(c)所示。相对而言，单个行人长度极短，行人长度和桥梁跨径之比趋近于零，故单人行走激励下的各跨径钢木组合人行桥频率变化曲线基本不会出现平缓段。因此，本文在拟合人群荷载激励下的HSI 系统的瞬时频率时，不仅采用了反映人桥质量关系的1 阶幅值系数a1，也采用了反映人群长度和桥梁跨径关系的2阶幅值系数a2，即人群激励下的HSI 系统瞬时频率fc(t)采用2阶傅里叶级数来定义，如式(23)所示。

式中：a1=，rm为人桥质量比，即rm=mc/mb，mc为人群总质量；rl为人群与桥长度比，rl=lc/Lb，lc为人群总长，Lb为桥梁总长度。

根据式(23)计算得到的频率变化曲线如图15中的红色菱形实线所示。

由图15 可知：对于不同跨径的钢木组合人行桥，根据公式计算得到的曲线与根据平均值拟合得到的曲线很接近。本文提出的人群激励下HSI系统频率变化公式不仅简洁而且准确性较高。然而，由于CM方法存在端点效应，图14和图15中随机行人曲线和平均值曲线在端部出现不稳定现象。随着钢木组合人行桥跨径增大，这种端部不稳定性也更加明显。造成这种现象的原因是：随着跨径的增大，钢木组合人行桥频率及其变化范围在变小，但是基于CM方法绘制的随机行人激励下钢木组合人行桥的瞬时频率识别值曲线和平均值曲线的端部偏差并未随之减小，这就导致曲线端部的偏差范围与钢木组合人行桥频率变化范围的比值增大，从而凸显了曲线端部的不稳定性。相对而言，本文提出的HSI 系统频率变化公式一定程度上可以缓解端部不稳定现象。

图15 随机人群行走激励下各跨径钢木组合人行桥响应频率识别结果

根据图14、图15 和前述分析可知：随着人行桥跨度增大，单人对HSI 系统固有频率的影响逐渐变得微小，但人群作用的影响始终较大。因此，对行人流量较大的人行桥，需要在设计阶段正确估计由于行人引起的动态特性变化，而本文提出的HSI 系统频率变化公式能够为人行桥的设计、维护等工作提供参考。需要指出的是：本文仅通过数值模拟手段对HSI 系统的频率识别效果进行了验证，有必要在后续研究中进行试验和工程实例验证。

4 结语

本文建立了行人与钢木组合人行桥耦合的有限元模型，通过模拟单人和人群的行走分析了行人对HSI系统固有频率产生的影响，主要结论如下：

(1)本文建立的HSI模型考虑了人体参数对HSI系统模态特性的影响，能够很好地模拟行人与钢木组合人行桥之间的相互作用。

(2) 采用CM 方法提取的时频曲线能够很好地表征行人引起的HSI 系统的频率变化，并且比采用AMD+SWT 方法识别的瞬时频率值更接近理论值，因而具有更高的时频分辨率。

(3)人群作用对HSI系统的频率变化影响较大，而在各项人体参数中，质量是最大的影响因素。基于人桥质量比、人桥长度比拟合得到的HSI 系统频率变化公式能够为人行桥的设计与维护等工作提供参考。