复变函数与积分变换课程的改革与设计实践

岳红云

（河南工业大学理学院 河南 郑州 450001）

1 问题的提出

2018 年，习近平总书记在全国教育大会上强调[1]，坚持立德树人，推进教育改革，教育现代化加速推进，教育引导学生培养综合能力，培养创新思维。而培养学生创新思维、创新实践能力，课程是重要的根基和载体，发挥融合课堂的主导作用和学生的主动性，着力打造一流课程，是提高学生综合能力的重要方法。要坚持扎根中国大地办教育，要求扎根中国、融通中外、立足时代、面向未来，发展具有中国特色、世界水平的现代教育。

复变函数与积分变换作为大学公共数学的重要课程之一，具有承上启下的关键作用。它是电气、自动化等工科相关专业的重要基础课程，复变函数的研究方法和独特性质，是解决信号处理问题和自动控制问题等的重要又方便的数学工具，亦是培养学生工程数学思维能力的重要手段。当前，新工科建设正在进入新阶段，对公共数学课程解决复杂工程问题能力的支撑作用提出了新要求。

在传统教学模式下，教师讲授时间过长，教学内容、方法、评价方式单一，学生没有参与感和获得感，并且传统教学只是利用课堂教学，无法帮助学生消化与吸收、提供个性化指导的单一、单向授课模式，无法引起学生持续的学习兴趣，学生学习的自主性缺乏，更无法适应现代人才培养的需求。如何设计课程成了课程教学改革的当务之急。

2 问题的解决方法

坚持“以学生发展为中心”的理念，以学生认知和行为的改变为目标，通过研究性教学设计，让学生在解决问题和实践中学习，增强体验感。在信息化教学环境下，开发、整合网络在线学习资源，实施混合式教学模式，做好网络教学与线下教学的合理衔接，将信息技术与课程深度融合。提高学生整合、运用数学知识的高阶思维能力和工程数学思维方式，激发创新潜能。具体实施情况如下：

第一，对教学目标优化设计。对照学生专业人才培养目标和毕业要求，与先修和后续课程联系起来，设计“三维目标”及达成度，并落实到教学全过程。打通学生所学、所用数学知识的联系，数学知识与专业课程的联系，比如复变函数[2]与实变函数的微积分的联系，解析函数的积分、级数、留数理论之间的关系，两类积分变换之间的关系，积分变换[3]与信号处理、自动控制之间的关系等低阶与高阶知识目标；由此培养学生逻辑思维、工程数学思维、创新思维等多维高阶能力；并将和谐、完美、独特等数学思想、数学文化、数学故事根植于课程之中，设置思政目标，培养学生良好学习习惯和科学探索精神，提升数学素养。增强爱国主义理想信念教育，切实提高人才培养质量，实现真正的教书育人。

第二，实施混合式教学模式。确定课程体系的线上线下教学资源与教学活动的优化配置与安排方式：制作短视频、预习课件、课前测试题、讨论思考题、测验题等。课中依据线上预习效果，依据5E教学法，对每个教学单元的教学任务进行设计，完成知识的吸收内化，进而培养多种能力和数学素养。实现讲练结合、互相协作的研究实践型深度学习模式，实现学生个性化学习、深度学习、自主预习与复习的综合辅导学习工具，提升学生思维能力、自主学习和应用创新能力。改变课程教学仅仅依靠课堂教学的不足，弥补课程教学时间的限制，并实现教学质量监控、深化协同育人效果、立德树人。

第三，重组融合教学内容，融合多种教学方法[4]。根据课程特点和目标要求，对课程内容进行分类重组，运用启发式、类比、讨论、探究法，借助在线视频、阅读资料、翻转课堂等手段，将知识迁移、重构教学，建构新知识与已有知识间的关联性，实现课程为后续专业课程及学生发展服务的目的。在教学活动中，不仅注重每章知识的新课导入和习题课的复习巩固，还要合理设计学生的学习活动和反馈，提高课堂教学质量和效率，抓好课堂主阵地的育人效果，并为网络自学提供丰富且贴合教学目标达成的教学内容和方法。通过设置课程总结与应用的综合作业，提高学生的工程思维能力，完成知识的吸收内化与升华。通过课程内容，体会合作学习、转换思路看问题的重要性，并将课程内容的讨论深入到德育方面，达到最佳的教学效果。

①在教学内容上，依据教学大纲和教学实践，根据毕业要求和课程特点，按照高等数学的几大内容和复变函数的特色内容进行划分，将教学内容模块化，进行不同方式的学习。分为三大模块，复变函数的微积分、级数模块，解析函数的独特性质（积分公式、洛朗级数、留数）模块，积分变换模块。通过模块化教学，在学习复变函数内容时，注意与高等数学类比，通过实与复的对比，既容易理解了复数域出现的相关问题和结论，又对实数域上的高等数学进行回味和补充。学生既对新知识的学习打下了坚实的基础，为学习解析函数做好铺垫，能更好地理解解析函数的特点，解析函数的独特性质和应用，又能将解析函数的积分、级数、留数等不同于实函数的内容，理解得更深入。最后，在整体把握了解析函数性质的基础上，学习复数域上的积分变换方法时，应充分调研相关专业要求，重点介绍工程中常用函数的积分变换，并可结合相关专业应用实例进行实验教学[5]，比如通过传递函数的探讨将积分变换方法与留数理论等复变函数的独特性质结合起来。学习时要注意转变学生的观念和复变函数思维方式，培养学生解决实际问题的能力，提高复数域解决问题的能力，为专业课程的学习打好基础。

②在教学方法和手段上，根据课程特点，对课程内容的两大部分：复变函数部分与积分变换部分，运用不同的教学方法。利用类比、对比的教学方法学习复变函数部分，采用关联迁移的方法，学习积分变换，将复变函数的性质迁移应用到研究积分变换中去，达到利用数学解决问题的毕业要求。当出现和高等数学内容平行的时候，用类比的学习方法，把内容进行整合打包，作为一个整体学习：从复数域类比到实数域，再回到复数域的方法。对于高等数学中没有的内容，用对比的学习方法区分，以此凸显复变函数的特色，并通过这部分内容的学习，会利用这些特性解决实变函数问题，让学生更能理解学习复变函数的重要意义。在学习时通过讨论与教师引导法，体会复变函数的和谐理论和完美性，从而对数学之美有更深入的认识，增加课程吸引力和学习兴趣。在完成一个阶段的学习后，利用总结归纳法、思考讨论法，引导学生对复变函数的内容进行小结和回顾，比如总结复数域的微积分学习了哪些内容？总结微积分公式。通过归纳练习，引导学生思考、讨论复数域上的微积分有哪些应用、解析函数的独特性及其应用等，可让学生查阅资料，教师拓展延伸，体会解析函数的特性及应用。同时，深刻理解洛朗级数、留数理论在自动控制中的应用，完成知识的重现与吸收内化，进而升华对课程内涵的理解与把握，让学生更深刻地认识复变函数理论的巨大贡献。并且通过总结与讨论，利用关联法将复变函数理论中的解析函数的积分理论、留数与积分变换思想方法联系起来，利用留数等复变函数方法研究函数的变换和变换后的函数。进而利用复变函数的理论方法研究解决自动控制、电路系统的稳定性等问题。通过寻找事物之间存在的普遍联系性，完成内容的过渡，为积分变换的学习铺平道路。

③在课堂教学中，通过“问题串”的形式、方法，营造课堂热烈氛围，引导启发学生从沉默课堂向对话课堂转变。根据课程目标和毕业要求，将教学内容化分成有连接与递进关系的教学单元。根据每部分内容的特点，精心设计教学导入案例，并将所学内容与已有知识基础、最近学习内容进行有机融合，将线上与线下课堂有机融合。开展以问题为导向的探究式、研究型学习，通过师生问答、课堂（分组）讨论等方式，借助5E 教学法，进行答问解惑的融合式教学方法。将教学过程从课前到课中，并延伸到课后，形成有机的闭环效应，提高课堂利用效率和教学质量，提高学生培养逻辑推理和分析解决问题的高阶思维能力，进而达到创新创造的目的。

第四，不断优化的混合式多元化考核评价体系。对照三维教学目标，将过程性评价贯穿到教学全过程，体现各个目标的达成。对学生的课堂学习行为与课下学习活动，开展自评与互评、自评与师评相结合的混合式评价方式，并进行反馈与改进。根据教学目标，合理分配平时成绩的组成成分及权重，通过课堂提问、课堂练习、主题讨论的质量评价，检验与改进教学效果；通过必做与选做作业、课程综合作业的多方评价与反馈，检验与改进学习效果；通过课堂出勤率、课堂活跃度、回答问题的积极性等，评价反馈学生的学习习惯和责任、学习态度和道德修养；并将平时成绩和期末成绩相混合，给予学生全面合理、有理有据的综合评价，注重学生的成长发展，达成教学目标。

第五，注重课程的思想引领作用。通过数学定义定理、思想方法、历史故事等挖掘思政切入点，将课程内容的讨论，深入到学生德育方面，将学习习惯、学习兴趣和责任纳入考核评价体系。通过课程中复变函数与实变函数、复变函数与解析函数、复变函数理论与积分变换方法的类比和对比，体会它们之间相辅相成的依赖关系，理解合作学习、交互学习的重要性；通过积分变换的数学思想与方法、一题多解的讨论，启发引导学生转换思路、角度看问题的重要性等，突出课程数学思想方法的挖掘、讲解, 形成应用数学知识的意识和创新的思想，提升数学素养，增强课程信心。

第六，融合多种方法。利用赛教融合提高教学研究能力。通过创新的意识和能力，将教学过程、资源、能力进行有机融合，提高教学效果和学习质量。向学生拓展某些知识点的发展前沿，激发学生的学习兴趣，增强学生的理解、应用能力。此外，课外作业多布置综合性问题，让学生通过探索问题，引导自主学习习惯。再者，转变教师职能，将教学重心放在对学生进行指导、发现问题、及时反馈上，使每一个学生都能得到合适的发展，为以后的职业发展和持续学习奠定重要的基础。最后，课堂不是教学活动的结束，课外教师应关心关爱学生，热心帮助学生不断进步，使学生获得有意义的学习经历。

3 总结与展望

总之，为了让复变函数与积分变换课程更好地服务于后续专业课与终身学习，教学需要创新，尤其要重视创新思维的培养。激发学习兴趣、培养学习能力。只有教师拥有激情与魅力，学生才会参与并积极探索，才能在教育过程中，相互交流、相互启发，共同成长。