借助数线教学，发展核心素养

陈蒨 陆世奇 徐文彬

【摘   要】数线即表征数的意义、性质和运算的线，在小学数学教学中有着广泛的应用。小学数学中，常见的数线除了具有严格性和结构性的数轴，还有其他类型。充分运用各种数线展开教学，有助于实现数形结合，促进学生核心素养的培养。具体来说，依托数线认数，可以发展学生的数感；巧借数线运算，可以发展学生的运算能力；活用数线分析，可以发展学生的几何直观。

【关键词】数线；核心素养；数感；运算能力；几何直观

数线即表征数的意义、性质和运算的线。数线在小学数学教学中有着广泛的应用。其中，应用最广泛、最特殊的数线就是数轴。数轴是一条带有原点、正方向和单位长度的直线，一些研究者也将其称为结构化数线。［1］除数轴外，“数线家族”还有很多其他成员，如心理数线、空数线、双数线等。在教学中，教师可以根据不同的问题情境和学习需求呈现不同类型的数线，实现数形结合。

在教学中，以数轴为主，辅以其他类型的数线，可以为学生理解数学知识、发展核心素养提供更多机会。基于此，笔者试探究数线在小学阶段的应用，包括在数的认识、数的运算及解决问题等多个维度上的教学实践，为培养学生的数感、运算能力和几何直观等核心素养助力。

一、依托数线认数，发展学生数感

數线是认数的直观工具，数线可以帮助学生理解数的意义、认识数的顺序、厘清数的关系。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）指出，数感主要是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟，包括能够理解数的意义、能用数表示物体的个数或事物的顺序、能进行合理的估算。［2］依托数线开展认数教学，有助于学生数感的发展。

（一）以数线为主线贯穿认数教学

对小学数学教材进行梳理，不难发现，数线出现在每一个有关认数的教学单元中。以苏教版小学数学教材为例，数线就出现在了认识10以内的数、认识11～20各数、认识100以内的数、认识万以内的数、认识多位数，以及认识小数、分数、负数等教学单元。这说明教师要用好数线这一直观教学工具，以整体性、结构化的思路来设计教学，使学生在每一阶段都能循序渐进地理解数的意义、认识数的顺序、厘清数的关系。特别是在认识小数、分数及负数时，借助数轴能帮助学生自然理解数系的扩张，逐渐建构自身的数系认知网络。［3］

例如，苏教版教材五年级下册“把假分数化成整数或带分数”的教学内容中，以数形结合的形式呈现了[43]（如图1）。教材编排的意图在于引导学生把假分数化成整数或带分数，并表示在数线上，从而帮助学生深入理解分数的意义、建立分数与整数的内在关系，实现数系的自然扩张。这种依托数线认识分数的教学方式，有助于学生直观地理解分数的意义、厘清分数与整数的关系，从而把分数正确纳入自身已有的数系结构中。当然，这一教学方式的实施必须基于教师对认数教学整体性和结构性的把握，以及学生长期以来积累的对数线的认知经验。如果每一次的认数教学都能依托数线来帮助学生建立对数的理解，那么每一次数系的扩张对学生来说就是自然而然、顺理成章的了。

值得注意的是，学生在认识数的同时也在学习数线相关的知识，同时形成物理意义和心理意义上的数线。心理数线是个人在脑海中构造的数线，是学生在学习物理数线过程中的一种内化。心理数线的发展，与测量、分类等数学能力的发展似乎是齐头并进的。［4］这是数感发展的体现，也是数感外显的表现形式之一，即学生能够基于心理数线自主建构物理数线。因此，教师可以让学生运用无界数线（如图2）和空数线（如图3）来“造数”。

（二）以数线为支点突破近似数难点

能进行合理的估计、估算也是数感的具体表现之一。用“四舍五入法”取近似数是认数教学的一个难点。以苏教版教材为例，在四年级下册“认识多位数”单元“近似数的认识”的教学中，认识大数对学生来说较为困难，用“四舍五入法”求一个数的近似数就更难了。从教材的主题图（如图4）可以看出，数线是突破这一难点的有效支架。“近似数的认识”常常面临教师施教“重法轻理”、学生学习“知其然而不知其所以然”的困境。数线的有效利用能打破这一僵局，使得教师教学“理法并举”，学生学习“融会贯通”。

解答图4中的问题，需把男性人数384204和女性人数386685对应的大致位置标在数线上。这涉及两种学生可能使用的数线估计模型：线性模型与对数模型。线性模型指个体对所有数字的表征具有相等的心理空间距离，相邻数字之间的距离不会因数量的增加而改变。［5］对数模型则是指，对于某一范围内的数字，个体倾向于扩大低端数字间的距离而缩小高端数字间的距离。［6］如在0～1000范围内，个体在心理上会认为1与75的距离比75与1000的距离要大。

在数线上标数的过程，不仅是一个操作过程，也是一个对数及其关系的理解过程，更是对数线的感知过程。学生在标数任务中出错，原因可能在于运用了错误的数线估计策略。开展变式训练是一种可能的教学手段。教材中呈现的是一种半结构化的数线（在38万到39万之间有单位，但未显示单位长度），其变式既可以增加单位长度，也可以去除单位，从而让学生在各种数线情境下标数，以呈现他们对数线的理解情况。教师据此引导学生形成恰当的数线估计（标数）策略，可以促进学生对近似数的理解，有助于学生生成对数的估计的感悟，逐步内化对数的大小和近似数的感知，从而发展数感。

二、巧借数线运算，发展学生运算能力

数线有利于发展学生的运算能力。它可以呈现运算过程，让学生更直观地感受运算过程。在这个过程中，学生既可以借助数线感知运算间的关联，也可以借助数线理解运算的意义。

（一）借助数线感知运算间的关联

对于小学生而言，感知运算之间的关联是非常困难的。尤其是低年级的学生，他们对运算的理解是孤立的，加法是加法，减法是减法，很难理解加减法之间的关系。借助数线，可以帮助学生直观感知加法和减法之间的关联，初步认识减法是加法的逆运算。

例如，浙教版教材一年级上册在“练一练八”中安排了图5的练习题，借助数线来帮助一年级学生理解加减法之间的联系。图5中的数线具有正方向，箭头方向与正方向相同是加，箭头方向与正方向相反则是减。把两幅图放在一起理解，能帮助学生直观感知加减法的相同点和不同点，感悟加减法的本质是相同的，理解减法是加法的逆运算。当然，教师进行教学设计时，必须注意一年级学生的数线经验，如他们对正方向和单位长度的理解程度。

（二）借助数线理解运算的意义

四则运算的意义是理解算理、探索算法、分析数量关系的基础，也是四则运算内容的核心［7］，对学生运算能力的发展至关重要。在运算教学中，巧妙借助数线能帮助学生理解运算的意义。

以苏教版教材为例，二年级上册“表内乘法（一）”单元“5的乘法口诀”这一内容的“想想做做”中，就出现了用数线表示乘法意义的练习题（如图6）。乘法的本质意义是几个相同加数的和（几个几相加）的简便运算，也就是等距连加。像图6这样把乘法的意义形象地表示为在数线上连跳，不仅富有童趣，还有助于学生对乘法意义的直观理解。此处的变式可以采用无界数线（如在数线上仅显示到10），让学生继续补充单位，在理解数线结构的基础上形成对乘法的理解。

三、活用数线分析，发展学生几何直观

数线是一种非常重要的直观模型，在解决问题中也发挥着重要的作用。数线上的数从小到大排列，形成一段一段的区间。教师充分利用数线的区间性与等分性，可以巧妙地解决许多数学问题。［8］

（一）灵活运用数线表征时间问题

计算经过时间是一个教学难点。灵活运用数线来呈现时间轴，能有效帮助学生突破难点，理解计算经过时间的本质。以苏教版教材为例，“计算经过时间”这一内容安排在三年级下册“年、月、日”教学单元，主题图和时间轴如图7所示。

从图7可以看出，用数线表征的时间轴非常形象，能帮助学生直观把握开始时间、结束时间以及经过时间三者之间的关系，为学生搭建可视化的支架，突破教学难点。同时也能帮助学生建立直观模型，把抽象的时间问题变得直观、形象，从而发展学生的几何直观。

（二）创新运用数线解决分段问题

分段问题在日常生活中应用广泛，如电费、水费、出租车收费、停车费等的分段计费。对学生而言，分段问题呈现的信息较多，解决问题的过程比较复杂。借助数线模型能帮助学生直观理解分段的具体情况，厘清数量间的关系，进而解决问题。

例如，人教版教材五年级上册“小数乘法”教学单元中的“小数乘法解决问题”就是一个出租车收费的分段问题（如图8）。学生虽然能理解题意，但由于缺少分段讨论的经验，他们对收费标准并不是很清楚。因此，教师要适时引导学生用数线模型（如图9）来表征这个复杂的问题，架起数与量之间的桥梁，帮助学生直观理解分段计费的规则，发展几何直观，积累解决复杂问题的经验。

教师还可以设计变式练习，让学生为半结构化的双数线（即两条数线联结，如图10、图11）补充信息，从而厘清数量关系。

综上所述，数线是小学数学学习的一个有效载体，在培养学生数感、运算能力、几何直观等核心素养方面发挥着举足轻重的作用。除了数轴，在教学中还可以运用数线家族中其他各种形式的数线，充分发挥数线的价值。

参考文献：

［1］WONG M. Identifying fractions on a number line［J］. Australian primary mathematics classroom，2013，18（3）：13-18.

［2］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022：7.

［3］姚建法.数轴：“真是一条神奇的线”［J］.教学月刊·小学版（数学），2019（7/8）：58-60.

［4］ZANG B，ZHANG J，GU R. Chinese preschoolers mental number line and mental number distance：valid characteristics using dirichlet process gaussian mixture model［J］. Early education and development，2019，30（5）：694-707.

［5］CASE R，SOWDER J T. The development of computational estimation：a neo-Piagetian analysis［J］. Cognition and instruction，1990，7（2）：79-104.

［6］DEHAENE S. The number sense：how the mind creates mathematics［M］.New York：Oxford University Press，1997：53-76.

［7］張莎莎.用好数轴资源 发展数学思维［J］.小学数学教育，2020（22）：24-25.

［8］陈险峰.巧借数轴 提升数感［J］.新教师，2017（11）：57-58.

（1.南京师范大学课程与教学研究所

2.江苏省常州市武进区实验小学）