巧思维，妙应用———二分法

■晏 江

二分法,又称分半法,是求方程的近似解的常用方法。二分法简便而又应用广泛,对函数没有要求,任何方程都可以用二分法求相应的近似解,这就为函数知识的拓展与应用提供了一个更好的、更新的必需工具。

一、求方程的近似解问题

例1已知函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如表1所示。

表1

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)为( )。

A.1.5 B.1.375

C.1.438 D.1.25

分析:先利用函数零点的存在定理确定零点所在的区间,再结合零点所在区间的精确度确定零点区间的端点即为方程的近似解。

解:因为f(1.4065)=-0.052<0,f(1.438)=0.165>0,所以f(1.4065)·f(1.438)<0。根据函数零点的存在定理知零点在区间(1.4065,1.438)内,即该方程的根在区间(1.4065,1.438)内。

因为|1.4065-1.438|=0.0315<0.05,所以方程的近似解为1.4065或1.438。应选C。

利用二分法求方程近似解时,首先需要有初始区间,即一个存在解的区间(要用到此区间的两端点),其次需要有迭代,即循环运算的过程,具体表现在不断“二分”区间,最后需要有一个运算结束的标志,即当最终区间的两端点的精确度均满足题设要求时(两端点的近似值相同),运算终止。

二、零点的应用问题

例2图1是函数f(x)的图像,它与x轴有4个不同的公共点。给出的下列四个区间之中,存在不能用二分法求出的零点,该零点所在的区间是( )。

图1

A.[-2.1,-1] B.[4.1,5]

C.[1.9,2.3] D.[5,6.1]

分析:利用二分法,确定零点所在区间的两个端点所对应的函数值必须异号,由此判断函数的零点所在的区间。

解:结合图像,可知选项A,B,D 中每个区间的两个端点的函数值异号,可用二分法求出零点。选项C中区间的两个端点的函数值同号,不能用二分法求零点。应选C。

利用二分法求函数零点的依据是函数零点的存在定理,这也是利用二分法解决问题的必备条件。只有在满足函数零点的存在定理的前提下,才能利用二分法求函数的零点或方程的近似解。

三、次数的判断问题

A.3 B.4 C.5 D.6

分析:利用二分法求二等分次数时,每次二等分后的区间长度为原来的,借助近似值满足的精确度,合理构建相应的不等式,从而求得二等分的次数。

解:设对区间(1,2)至少二等分n次,此时区间长为1。

利用二分法解决问题时,每经过一次操作,区间长度就变为原来的一半。借助二分法解决问题的思想方法,对于解决一些数学问题、现实生活问题等,都有很好的帮助与指导意义。

四、实际应用问题

例4华罗庚是上世纪我国伟大的数学家,以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”等。除了数学理论研究,他还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”。“优选法”是指研究如何用较少的试验次数,迅速找到最优方案的一种科学方法。在防疫取得重要进展的时刻,为应对机场带来的境外输入,某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率:每16 人为一组,把他们的鼻咽拭子分泌物混合检查,如果为阴性则全部放行;若为阳性,则对该16 人再次抽检确认感染者。某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性),若逐一检测可能需要15 次才能确认感染者。现在先把这16人均分为2组,选其中一组8人的样本混合检查,若为阴性则认定感染者在另一组;若为阳性,则认定感染者在本组。继续把认定的这组的8人均分为2 组,选其中一组4 人的样本混合检查……以此类推,最终从这16人中认定那名感染者需要经过的检测次数为( )。

A.3 B.4 C.6 D.7

分析:根据题设条件,由16 人进行二分法处理减少到8人,逐步减少到4人,2人,最后确定感染者。

解:先把这16 人均分为2 组,选其中一组8 人的样本混合检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了1次检测;

继续把认定的这组的8 人均分为2 组,选其中一组4 人的样本混合检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了2次检测;

继续把认定的这组的4 人均分为2 组,选其中一组2 人的样本混合检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了3次检测;

选认定的这组的2人中一人进行样本检查,若为阴性,则认定是另一个人;若为阳性,则认定为此人,此时进行了4次检测。

所以最终从这16 人中认定那名感染者需要经过4次检测。应选B。

二分法体现了现代信息技术与数学知识的整合,将数学知识与信息技术紧密结合,恰当渗透算法思想和科学型计算器等,可以解决现实生活中的一些实际应用问题。

提示:因为f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0,又f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以在(1,2)上f(x)无零点。同理,可以判断在区间和(e,+∞)上f(x)无零点。因为,所以f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)上有一个零点。应选B。