考虑车底运用的城轨货运专列运行图与载货方案协同优化

肖雅玲，柏赟*，陈垚，李竹君，温芳

(1.北京交通大学，综合交通运输大数据应用技术交通运输行业重点实验室，北京 100044；2.中国铁道科学技术研究院，科学技术信息研究所，北京 100081)

0 引言

随着城市物流配送需求的不断增加和大型货车市内限行政策的发布，城市物流配送效率不断降低。《交通强国建设纲要》提出“积极发展城市地下物流配送系统”。然而，专门用于货运的地下物流配送系统建设耗时长且耗资巨大。城市轨道交通线路平峰时段客流需求相对较小，在不影响客运能力的前提下，基于其富余运能开展货运服务成为当前提高城市物流配送效率的重要方式。对于城市轨道交通货运服务可行性的研究，部分学者通过仿真软件ARENA[1]、COBALT[2]和FLEXSIM[3]建立货运模型，用实际数据证明了地铁货运系统的潜力和可行性。KIKUTA等[4]则利用问卷调查收集了地铁货运的民众接受度。

对于城市轨道交通货运服务方案的研究，学者们基于客货共载和货运专列两种货物运输形式，对城市轨道交通线路的列车编组方案、停站方案和时刻表进行了优化。其中，客货共载形式是在不影响乘客乘坐体验的前提下，利用客运列车的空余空间运输货物，货物与乘客位于同一列车上；货运专列形式是在客运列车间开行货运列车，整列列车用于货物运输。BEHIRI 等[5]利用客货共载形式运输货物，以最小化货物始发站等待时间为目标，优化了线路单方向的列车时刻表。OZTURK 等[6]利用货运专列形式运输货物，以最小化货物终到站交付时间为目标，优化了线路单方向的列车时刻表。HÖRSTING 等[7]利用客货共载和货运专列形式运输货物，以最小化乘客等待人数和货物平均延迟为目标，优化了线路双方向的列车时刻表。DI等[8]利用客货共载形式运输货物，以最小化运输成本和终到站延迟为目标，协同优化了线路单方向的列车客货车厢编组方案和客货流量。潘寒川等[9]利用客货共载形式运输货物，以最小化乘客和货物的等待时间及列车车厢能耗为目标，协同优化了线路单方向的列车客货车厢编组方案、客货流量和列车时刻表。戚建国等[10]利用客货共载和货运专列形式运输货物，以乘客等待时间和运营公司成本最小化为目标，协同优化了线路单方向的列车编组方案和时刻表。LI 等[11]利用客货共载和货运专列形式运输货物，以货运净收益最大化为目标，协同优化了机场线单方向的列车停站方案和时刻表。李竹君等[12]利用客货共载和货运专列形式运输货物，以货运净收益最大化为目标，进一步协同优化了机场线单方向的列车编组方案、停站方案和时刻表。

既有研究大多以一条城市轨道交通线路的单个方向为研究对象，制定满足单方向货运需求的货运服务方案。极少考虑双方向的货运需求对双方向列车时刻表进行优化，且鲜有考虑货运专列的车底周转计划，难以保障货运专列时刻表的可行性，同时可能会增加货运专列的运营成本[7]。鉴于此，本文针对双方向的货运需求，在研究决策货运专列编组方案、停站方案和时刻表的基础上进一步协同优化车底周转计划，构建以考虑货运专列车底固定保有成本的货运净收益最大化为目标的优化模型，为运输企业提供可行且运营效益更高的货运方案。

1 问题描述

本文以单条城市轨道交通线路为研究对象，为研究需要，将车站根据上下行方向视为两个物理车站。如图1所示，上行方向车站从1到Sˉ依次编号，下行方向从Sˉ+1到2Sˉ依次编号。

图1 双方向货物运输示意图Fig.1 Schematic diagram of freight transportation in both directions

在不影响客运服务的同时，城市轨道交通线路提供快递包裹的货运服务。货运需求信息提前已知，包括每个货单的始发站、终到站、始发站到达时间和终到站要求提货时间。货物包装在单位箱中，由客户送达至始发站等待运输，再由列车运输至终到站等待客户提货。

在客运列车运行图固定且已知的条件下，货物运输同时利用客货共载与货运专列两种形式，如图1所示。客运列车的货物运输方案需要决策，应满足客运列车货运容量和停站时间的限制；货运专列的编组方案、停站方案、时刻表、车底周转计划和货物运输方案均需要决策。为便于研究，将研究时段进行离散化处理。若在j时刻开行货运专列，则该列车记为货运专列j，其应满足列车安全行车间隔要求。

如图1 所示，针对单车场场景，线路两端分别为车场和折返线。客运列车的车底周转计划固定；货运专列在车场端车站1(即2Sˉ)的车底周转计划需要决策，在折返线端车站Sˉ的车底周转计划固定。将双方向列车运行线平铺处理为同一方向，如图2所示。其中，区间(Sˉ,Sˉ+1)为折返区间，列车在该区间的运行时间为在折返站Sˉ的折返运行时间；列车在车站和+1 的停站时间需满足折返停站时间和货运作业时间要求。

图2 列车车次平铺处理示意图Fig.2 Schematic diagram of tiling treatment of trains

货运净收益取决于货运收益和列车运营成本。货运收益为货运收入与装卸成本及仓储成本的差值，受列车停站方案、时刻表和货物运输方案的影响；列车运营成本受列车编组方案和车底周转计划的影响。本文以确定货运专列编组方案、停站方案、时刻表、车底周转计划和货物运输方案为决策，从提高货运收益、降低列车运营成本两方面协同优化列车运行图和货物运输方案。此外，考虑到城轨车站空间有限，本文同时会确定各车站所需货物仓储容量。

2 模型建立

2.1 模型假设

(1)各客运列车的货运容量相同且已知，不影响其客运能力。

(2)列车从车站1出发后均会运行至终点站，不在中间站折返。

(3)列车的纯区间运行时间、启停附加时分及固定行车作业时间已知且固定，若停站需增加列车停站时间和启停附加时分及固定行车作业时间。

(4)货单均不可拆分运输，一个货单仅可由同一列车运输。

(5)客运列车和货运专列在各区间运行速度相同，各列车间无越行行为。

(6)考虑到货运专列开行间隔一般较大，货运专列在折返线端折返站的车底周转按先到先接续的规则预先确定，为已知且固定。

(7)沿线车站均可进行货物装卸，货单装卸时间与单位箱数成正比。

2.2 变量定义

相关符号的表示及定义如表1所示。

表1 符号的表示及定义Table 1 Representation and definition of symbols

2.3 目标函数

模型的目标为最大化货运净收益H，其为货运收益与列车运营成本的差值。其中，货运收益为货运收入Re与货物装卸成本Cload及货物仓储成本Cstor的差值，列车运营成本为列车运行成本Crun与货运专列车底固定保有成本Cown的和。故货运净收益的计算公式为

式(2)～式(4)为货运收益的计算。其中，式(2)表示货运收入，为单位箱运输量与运输距离及运价的乘积；式(3)表示货物装卸成本，为单位箱装卸量与单个单位箱装卸成本的乘积；式(4)表示货物仓储成本，为车站所需货物仓储容量与单个单位箱容量仓储成本的乘积。

式(5)和式(6)为列车运营成本的计算。其中，式(5)表示列车运行成本，为列车运输货物产生的电费和开行货运专列的其他费用的和，电费为列车重量、运输距离、单位吨公里能耗和电价的乘积，其他费用为货运专列开行车次数与单位车次费用的乘积。式(6)表示货运专列车底固定保有成本，为车底上线运营数与单位车底保有成本的乘积，单位车底保有成本可以利用城市轨道交通车辆全寿命周期成本计算模型进行计算。

2.4 约束条件

模型的约束条件包括4 个方面：列车运行计划、车底周转计划、货物运输方案和车站仓储容量的相关约束。

(1)列车运行计划相关约束

式(7)为货运专列编组方案约束，该约束保证货运专列编组类型的唯一性。

式(8)～式(10)为货运专列停站方案约束。其中，式(8)表示若货运专列j开行，则在线路两端车站停站；式(9)表示货运专列j在中间车站依据货物装卸需要确定停站方案；式(10)表示货运专列停站方案与停站时间的关系。

式(11)～式(15)为客货列车安全间隔约束。其中，式(11)和式(12)根据车站1到达时刻、停站时间、纯区间运行时间和启停附加时分及固定行车时分，计算货运专列在车站的到达时刻和发车时刻；式(13)～式(15)保证客运列车与开行的货运专列、开行的货运专列之间均满足安全行车间隔要求。

(2)车底周转计划相关约束

式(21)～式(28)为货运专列接续过程约束。其中，式(21)保证货运专列的接续满足最小折返时间要求。式(22)保证车底上线运营数应不大于车场的可用车底数。式(23)～式(28)考虑两端折返站的折返能力为2列列车，当货运专列j到达折返站时，仍在折返站的列车不可超过1列。具体地，本文引入折返辅助变量和确定列车在折返站作业的先后顺序，进而确定折返线上停留的列车数量。式(23)～式(26)为折返辅助变量定义的数值表达，具体定义如表2 所示；式(27)和式(28)表示当货运专列j到达折返站时，在该时刻前到达的列车总数与接续离开的列车总数的差值不超过1列。

表2 折返辅助变量的定义Table 2 Definition of foldback auxiliary variable

(3)货物运输方案约束

式(29)为货物运输方式唯一性约束。同一货单由某一客运列车或货运专列运输，或不被运输。

式(30)～式(35)为货物装卸作业条件约束。其中，式(30)表示若某货运专列开行，货单可能由该货运专列运输；式(31)～式(33)表示客运列车和货运专列的停站时间需满足货运作业时间，同时货运专列在车站Sˉ+1 需满足折返停站时间要求。式(34)和式(35)为货物装载容量限制约束。客运列车和货运专列在离开各车站时，列车上装载的货物总量应满足该列车的货运容量限制。

式(36)～式(39)为货物运输时效要求约束。其中，式(36)和式(37)表示若货单k由某列车运输，则该列车早于货单k到达其始发站；式(38)和式(39)表示货单k被运输至终到站的时间早于要求提货时间。

(4)车站仓储容量约束

式(40)保证货运服务方案的可行性，表示车站需存储的最大单位箱量应不大于车站可提供的仓储容量。

参考既有文献[12]，在货物运输过程中，货物到达终到站和货物到达始发站时车站货物仓储量发生改变，因此针对以上两种情况计算车站需存储的最大单位箱量。

①情况1

列车运输货单k 到达终到站Dk时，此时存储在该站的货单有：已经到达Dk站等待提取，但未被提取的货单m，为计算货单m 引入0-1 变量、；已经到达Dk站等待运输，但未被运输的货单m ，同理引入0-1 变量变量和的定义如表3所示，数值表达式为

表3 情况1中间变量的定义Table 3 Definition of intermediate variables in case 1

②情况2

货单k 到达始发站Ok等待运输时，此时存储在该站的货单有：已经到达Ok站等待提取，但未被提取的货单m，已知货单k 到达Ok站的时间，引入0-1变量；已经到达Ok站等待运输，但未被运输的货单m，引入0-1 变量。变量、的定义如表4所示，数值表达式为

表4 情况2中间变量的定义Table 4 Definition of intermediate variables in case 2

式(47)和式(48)为计算在情况1 和情况2 下车站需存储的最大单位箱量。

2.5 模型的线性化处理

上述模型为非线性混合整数模型，为便于求解，对模型线性化处理。式(5)、式(6)和式(47)中存在两个0-1 变量相乘，式(26)、式(41)～式(46)中存在连续变量和0-1变量相乘，均为非线性公式。

公式中存在两个0-1变量相乘时，引入0-1变量αj,u=dj·fu，将式(5)线性化表示为

式(6)和式(47)同理。

公式中存在连续变量和0-1 变量相乘的情形时，引入连续变量βj,j',j″,s=·γj',j″，可将式(26)线性化表示为

式(41)～式(46)同理。

综上，本文构建了考虑车底运用的货运专列列车运行图和货物运输方案协同优化模型，为严格的混合整数线性规划模型，可通过Gurobi求解器进行求解。

3 案例分析

3.1 基础数据

选取某城市轨道交通专用机场线为例进行案例分析，验证模型的有效性并说明其优化效果，最后分析货运容量与单位箱装卸时间的影响。该机场线共4 个车站，机场往市中心方向为上行方向，该方向上各车站的站间距为25.3，13.0，3.5 km，纯区间运行时分为11，5，4 min。客运列车的发车间隔为15 min，货运专列编组为4 节或8 节。其余参数如表5所示。

表5 相关参数取值Table 5 Related parameter values

研究时段的货运需求共60个货单，772个单位箱。双方向各货单到达始发站时刻和单位箱数量如图3所示，终到站的要求提货时间和单位箱数量如图4所示。

图3 机场线沿线货单在始发站的信息Fig.3 Information of freights at departure station

图4 机场线沿线货单在终到站的信息Fig.4 Information of freights at terminal station

3.2 案例结果分析

基于以上参数设置，使用Python调用Gurobi对模型进行求解，求解200 s 后得到最优解。最优结果中，货运净收益为151428.6 元。其中，货运收入为208359.9 元，装卸成本为5510.0 元，仓储成本为1740.0元，列车运行成本为39681.3元，车底固定保有成本为10000.0元。

各车站所需货物仓储容量分别为42，49，34，49单位箱。列车发车时刻和车底周转计划如表6 所示，绘制的列车运行图如图5所示。货运专列车底上线运营数为4列，编组类型为4节。

表6 列车发车时刻和车底周转计划Table 6 Train departure times and rolling stock circulation plan

图5 列车运行图Fig.5 Train timetable

货物运输方案如表7 所示。大部分单位箱由货运专列运输，少部分由客运列车运输，进一步说明，基于城市轨道交通的富余运能开展货运服务能提高其线路利用率，并带来一定经济效益。

表7 货物运输方案Table 7 Freight transportation plan

3.3 模型优化效果分析

为说明本文方法的优化效果，针对相同的货单需求，使用分步优化模型和协同优化模型进行求解。分步优化模型先基于单方向优化模型对两个方向各求解一次，得到双方向的列车运行计划和货物运输方案。进而按照2.4节约束条件中的车底周转计划要求制定最优车底周转计划。得到的车底周转计划若不满足车场可运用车底数量限制，则返回第一步，调整生成列车运行计划时的列车可开行数量继续进行搜索。对比结果如表8所示。

表8 模型结果对比Table 8 Comparison of model results

由表8 可知，与分步优化模型相比，本文模型可以有效降低列车运营成本，提高货运净收益。其中，车底上线运营数减少3 列，列车运营成本下降约23.6%，货运净收益提高约10.3%。综上，本文方法可以综合优化双方向的货运专列列车运行计划、车底周转计划和货物运输方案，保证货运专列列车运行计划的可行性，同时有效降低列车运行成本和车底固定保有成本，提高运输企业运营收益。

3.4 货运容量和货物装卸时间的影响分析

列车货运容量由列车车厢结构和货单摆放方式决定，装卸时间与装卸设备和人力投入相关，两者均会影响货运方案。分别设置客运列车和货运专列车辆的货运容量为2，4，8，12，16，20 单位箱，分析货运容量对货运净收益的影响，如图6 所示。分别设置客运列车和货运专列单位箱装卸时间为2，4，8，12，16，20 s，分析装卸时间对货运净收益的影响，如图7所示。

图6 货运容量对货运净收益的影响Fig.6 Impact of freight capacity on net freight profit

图7 单位箱装卸时间对货运净收益的影响Fig.7 Impact of loading and unloading time on net freight profit

由图6和图7可知，相较于客运列车，货运专列货运容量和货运专列上单位箱装卸时间变化时，货运净收益的上升和下降幅度明显更大。可知，货运净收益对货运专列的货运容量、装卸时间的变化较客运列车更为敏感，提高货运专列的货运空间与装载效率能更有效地提高货运净收益。

4 结论

本文针对单车场的城市轨道交通线路，以考虑货运专列车底固定保有成本的货运净收益为目标，考虑列车开行方案、时刻表、车底周转计划、货物运输方案和车站仓储容量约束，构建考虑车底运用的货运专列列车运行图和货物运输方案协同优化模型。最后以某城市轨道交通机场线为例进行实例分析，结果表明：

(1)对货运专列的列车开行方案、时刻表、车底周转计划和货物运输方案进行综合优化，可以有效减少上线运营的车底数量，使得列车运营成本显著下降，进一步提高运输企业开展货运服务的运营收益。

(2)货运净收益受到货运专列货运容量和单位箱装卸时间的影响更大，提高货运专列的货运空间和装卸载效率相较于客运列车可以更为有效地提高货运收益。