考虑换乘站客流疏解的地铁列车跳站与客流控制协同优化

王培恒，杨立兴，李树凯，高自友

(北京交通大学，交通运输学院，北京 100044)

0 引言

地铁具有运量大、准时、快捷的突出优势，在大城市通勤客流运输中发挥着主力作用。随着客流出行需求的持续增长，目前国内各大城市的地铁系统在早晚高峰时段普遍面临客流量过饱和与车站拥挤的状况。早高峰时段，客流从郊区乘车前往市区工作地点，造成市区部分换乘站站内聚集的客流难以及时疏解，换乘站的疏解能力甚至限制了部分线路的列车运能[1]。为此，地铁多采用常态化客流控制措施，实时控制各车站进站客流量，以平衡一条线路上下游各站乘客等待时间、保障换乘站安全。

客流控制优化问题需要考虑线路、网络和换乘站等多方面因素。Shi等[1]针对城市地铁网络，以最小化乘客在站等待时间和站台安全风险为目标，构建了过饱和客流状态下的客流协同控制优化模型，并以北京地铁网络验证了模型降低站台乘客等待时间和站台安全风险的有效性。Meng 等[2]通过引入面向时刻表的时空网络，构建客流控制整数规划模型，模型目标函数使所有车站的乘客总等待时间最小化。Yuan 等[3]构建了一种协同考虑车站通过能力、站台容纳能力和列车运载能力的客流协同控制优化模型，并以北京地铁网络验证了优化模型可使各列车载客量更加均衡。列车时刻表、开行方案、编组计划等与客流控制协同优化也是重要的研究方向。卢亚菡等[4]针对沿线换乘站较多的城市地铁主干线路，构建整数线性优化模型，协同优化主干线路的列车时刻表和客流控制方案，有效减少了乘客的换乘等待时间。Yin 等[5]提出混合整数线性规划模型，对客流过饱和地铁网络进行客流控制和列车时刻表协同优化，以减少乘客在站等待时间，并设计自适应大邻域搜索算法求解模型。Shi 等[6]对客流按OD进行精细化控制的基础上，以减少乘客在站等待时间为目标，构建地铁列车时刻表与客流控制协同优化模型，并设计求解模型的领域搜索算法，最后验证了模型的协同优化效果。Hu等[7]提出整数线性优化模型，协同优化客流过饱和地铁线路的时刻表、列车跳停模式和客流控制。周厚盛等[8]考虑复杂的客流时刻分布特征，构建城轨车底运用计划和鲁棒客流控制协同优化的两阶段随机规划模型，并验证了模型在基本不增加乘客等待时间的前提下可大幅度降低列车运营成本。

总结相关研究文献[1，4-5]可知，换乘站客流疏解是客流控制的重要内容。但既有列车跳站开行与客流控制协同优化的研究[7]，并未着重考虑换乘站。为此，本文首先说明部分列车不在换乘站停车的跳站开行方案，可延缓换乘客流乘车、减轻换乘站客流疏解压力，从而加快其他乘客进站乘车、降低其出行延误时间。在此基础上，构建地铁单线双方向列车换乘站跳站开行与客流控制协同优化模型，极小化乘客在始发站等待延误时间和换乘延误时间，并对模型中的非线性公式进行近似线性替代，实现模型线性化，以方便求解。最后在实际运营案例中，验证模型的优化效果。

1 问题描述

基于一条上下行两个方向的地铁线路研究列车换乘站跳站开行与客流控制协同优化问题。如图1所示，所研究线路每个方向包含 ||S座车站，线路方向集合为F，其索引为f，f∈F。对每个方向的车站按顺序编码为1,2,…,||S。车站集合为Sf，i,j∈Sf是集合中的元素，即车站的索引。线路上被选取为列车可跳站开行的换乘站，属于集合Pf，Pf∈Sf。线路上部分乘客需经换乘站换乘到虚线所表示的两线路上，两线路客流压力较大，对换乘客流的疏解能力有限，制约着线路上列车的载客量。

图1 途经换乘站的地铁线路Fig.1 A subway line passing through transfer stations

1.1 列车跳站模式

图2(a)和图2(b)分别展示了图1中所研究线路上所有列车站站停开行和部分列车在换乘站跳站开行时，换乘站内滞留客流量的增长过程。图2(a)中，当滞留客流量超过换乘站站台安全容量时，线路上列车必须限制载客量，避免过量换乘客流进入换乘站；图2(b)中，当某时刻线路上某一方向列车在换乘站跳站、不带来新增换乘客流时，换乘站内滞留客流量在客流疏解过程中出现下降。此时，客流控制可适当提高另一方向的列车载客量；同时，因跳站列车不增加换乘站内的滞留客流量，其载客量也可提高。由此可知，列车在换乘站跳站，具有提高线路上列车载客量，进而减少乘客延误时间的重要意义。因此，本文列车跳站模式为列车仅在换乘站跳站。

图2 换乘站内滞留客流量的增长过程Fig.2 Growth process of delayed passengers in a transfer station

1.2 等效运行图

本文使用等效时间对列车运行图进行简化。列车在每个车站的等效时间定义为当前时间减去其运行偏移量，该偏移量对应于当前时刻与列车首站出发时刻之间的差值[9]。经等效时间调整后，得到图3 中的等效运行图，图中列车运行轨迹是垂直于时间轴的直线，建模时只需考虑列车首站出发时刻。

图3 等效运行图Fig.3 Equivalent train diagram

1.3 基本假设

假设1 不允许列车越行，列车驶离每座车站的时刻不因跳站而改变。

假设2 列车跳站信息可通过互联网、车站广播和显示屏及时发布，乘客充分掌握列车跳站信息。

假设3 客流控制和列车跳站不影响客流总量以及客流的到站时间。

假设4 乘客按照“先到先进”的原则进站，且不乘坐在其始发站或目的站跳站的列车。

假设5 换乘乘客的换乘走行时间为0。

1.4 参数和变量定义

表1 为建模所需数学符号及其含义。同一座换乘站，在线路的两个方向编号可能并不一致，因而客流换乘过程中的相关变量均按照方向1 的编号进行设置。

表1 数学符号及定义Table 1 Mathematical symbols and definitions

2 跳站客流控制优化模型构建

线路的两个方向独立行车，建模过程中所涉及的约束一致。为简化对模型的描述，以下文字部分不对线路方向进行专门说明，仅在模型约束、公式和目标函数中标注。

2.1 客流量守恒约束

在进站、乘车等过程中，均需要遵守客流量守恒。式(1)表示t时刻在车站i的进站乘客总量等于此刻各OD进站乘客数量之和，其中决策变量cfijt为非负整数。式(2)表示t时刻在车站i等待进站的OD为i→j乘客数量等于该OD乘客在t时刻的累积到站总量与累积进站总量之差。实际中，式(2)累积进站乘客总量不能超过累积到站乘客总量。式(3)表示t时刻在车站i等待进站的乘客总数等于此刻各OD等待进站乘客数量之和。式(4)表示t时刻在车站i站内等待的乘客总量等于各OD乘客在t时刻的累积进站总量与累积乘车总量之差。

2.2 乘客进站和乘车约束

在每个车站，不同目的地的乘客按到站时间先后顺序混合在一起进站，式(5)按比例表示不同OD乘客的混合进站过程，即各OD的进站乘客占进站乘客总量的比例等于各OD 等待进站乘客占等待进站乘客总量的比例。由于约束中的比例关系均由变量表示，因而此约束是非线性的。式(6)要求i站每时刻进站乘客数量介于设置的下限值与上限值之间，以使模型所刻画的客流控制方案符合运营实际。式(7)中表示i 站乘客的最长进站等待时间，该式要求t-时刻到站的乘客必须在t 时刻之前进站。式(8)中表示i 站乘客的最长进站等待时间，则该式要求t-时刻进站的乘客必须在t 时刻之前乘车。式(7)和式(8)分别保证了各站乘客在站外、站内等待时间的均衡性。

2.3 列车跳站约束

式(9)表示只在列车开行的时刻，才决策是否跳站。式(10)表示列车在所有未被选取为可跳站的车站均停车。站内乘客只会选择乘坐在其始发站和目的站都经停的列车，由式(11)和式(12)实现。当就近的列车不在乘客始发站或目的站经停时，乘客不能及时乘车，暂时滞留在始发站站内，等待可乘坐的列车。式(13)表示相邻两列车不能在同一换乘站连续跳站。

2.4 车辆载客约束

在车乘客数量由乘客的上下车过程决定。式(14)计算了t时刻、在车站i上车的乘客总量。为进一步提升各站乘客乘车的公平性，式(15)保证列车通过时车站i的上车乘客数量不低于设置的下限值。式(16)表示t时刻在车站j下车的乘客，包括在j站之前所有车站上车，且以j站为目的站的乘客。

式(17)左侧括号内第1项表示在i-1 站及其之前车站上车的乘客总数，第2 项表示在i站及其之前车站下车的乘客总数，那么两项的差值表示i站的乘客未乘车时，列车在i站的载客量。式(17)表示列车经停车站i时，可用于此站站内乘客乘坐的剩余容量。式(18)表示已进站乘客的乘车过程不再受客流控制限制，只受列车剩余容量的限制，若站内等待上车的乘客总量不大于列车剩余容量，那么乘客可全部乘车。

2.5 换乘站客流疏解约束

当来自线路的换乘客流量超过换乘站疏解运力时，部分乘客需要在换乘站内等待。同一座换乘站，在线路的两个方向编号可能并不一致，因而统一到方向1进行约束构建。式(19)表示滞留在换乘站i内的换乘客流量，等于累积到达的换乘客流量与该站对换乘客流的累积疏解量之差。右边第1项、第2 项分别表示上下行方向累积到达车站i的换乘客流量，等于换乘客流所占比例与累积到达该站的客流量之积。为保障换乘站内安全，式(20)确保滞留在换乘站内的客流量不能超过安全上限值。

2.6 目标函数

模型的目的是减少站外、站内乘客的等待延误时间和乘客换乘延误时间。目标函数式(21)右边各项分别对应上述3项的数值，其中，α1、α2、α3分别为所对应的权重系数。为使乘客及时进站乘车，应设置α1≥α2≥α3。

2.7 非线性整数规划模型

基于上述论述，列车跳站开行和客流控制协同优化问题可表述为以下非线性整数规划模型。

3 模型近似线性化处理

上述模型中的非线性公式(式(5))导致模型极难求解。为此本文提出近似线性替代式(5)的方法，以下进行详细论证。首先对各站、各时刻乘客可能的最长进站等待时间划分为若干组，并定义分组集合N={1,2,…,||N}，n是集合元素，n∈N。定义第n组最长进站等待时间为tn，且tn-1＜tn。如图4所示，若某车站在某时刻的最长进站等待时间为tn，则乘客进站等待时间介于[0,tn]之间。此外，还需定义表2所示的参数和变量。

表2 用于线性化替代的数学符号Table 2 Mathematical notation for linearization substitution

图4 客流控制时乘客进站等待时间Fig.4 Waiting time for passengers entering station under passenger flow control conditions

图5 与取值特征Fig.5 Value characteristics of and

式(23)中，车站i、t时刻，最长进站等待时间为tn时，等待进站乘客数量等于t-tn到t之间到达的乘客数量之和；当t小于tn时，等待进站乘客数量等于1 和t之间到达的乘客数量之和。式(24)将所有OD 的等待进站乘客相加，得到车站i、t时刻、最长进站等待时间为tn时，等待进站乘客总量。因tn-1＜tn，所以

首先判断实际等待进站乘客总量Wfit所处的范围。

式(29)表示车站i、t时刻，最长进站等待时间为tn时，OD为i→j的等待进站乘客数量与该站在t时刻的等待进站乘客总量的比例。

4 数值实验与结果分析

为检验优化模型的实际应用效果，选取北京地铁5号线进行实例验证。如图6所示，5号线北起天通苑北站，南至宋家庄站，共23座车站。早高峰时段，下行方向天通苑北至惠新西街北口之间的8座车站，上行方向宋家庄至蒲黄榆之间的3座车站实施客流控制。线路上东单站为5号线和1号线之间的换乘站。因1号线本线客流量特别大，导致来自5 号线的客流不能及时换乘至1 号线列车上，造成站内客流拥挤[10]。东单站对客流的疏解能力制约着5 号线运能，线路列车容量为1800 人·列-1，但上行部分列车最高载客在1200 人以内，下行列车最高载客在1600人以内[1]。因而，选取东单站为列车可跳站的换乘站。

图6 北京地铁5号线示意图Fig.6 Schematic diagram of Beijing subway line 5

动态客流量数据来自自动售检票(AFC)系统2016 年某工作日历史运营数据。东单站最大客流容量设置为1000人。下行首发站天通苑北站选取研究时间范围为(7:16,7:30]，共计7 列列车，第1 列列车7:18驶离首发站，发车间隔2 min；上行首发站宋家庄站研究时间范围为(7:50,8:04]，共计7 列列车，第1 列列车7:52 驶离首发站，发车间隔2 min。上下行列车到达东单站的时间均在8:08-8:20之间，之后东单站客流疏解能力提高，对5号线列车载客量的限制作用快速减弱。时间粒度0.5 min，列车容量为1800 人·列-1。出行乘客分为到达站外需进站的乘客和其他线路换乘而来的乘客，模型中首先均当作站外到达客流，并通过设置式(6)中参数使换乘而来的乘客到达之后立即进站，从而与实际相符。表3 列示了采取客流控制车站的乘客总量。乘坐上下行列车到达东单站的乘客中，换乘乘客占比分别设置为0.82 和0.78。对采取客流控制的车站，设置乘客在站外、站内等待时间均不超过4 min；对不采取客流控制的车站，因乘客到达之后可立即进站，因而设置乘客在站外等待时间为0 min，站内等待时间不超过4 min。

表3 乘客数据Table 3 Passenger data

设置进站等待时间范围的划分方式中，集合N中的元素数量 |N|=8，首个时间范围的上限=0.5 min，相邻时间范围的间隔时长为0.5 min，第|N|个时间范围的上限=4 min 。权重系数α1=1.0，α2=0.9，α3=0.8。数值实验的个人计算机配置Intel Core i5 3.40 GHz CPU 和16 G RAM。CPLEX 12.6 求解器在31 min 内求得gap 为0 的最优结果。

优化后，上行方向乘客全部实现进站乘车；下行方向乘客尚有809人和533人分别滞留在站外和站内。图7(a)和图7(b)分别以实际运行图和等效运行图展示了优化模型所得列车跳站和客流控制方案。图7(b)中，实心和空心圆点分别表示下行、上行方向列车在东单站跳站，矩形内的数字分别代表上下行方向因列车跳站而滞留在站内需经东单站换乘和将在该站出站的客流量(人)。通过图7(a)和图7(b)可知，上下行列车交替在东单站跳站，共7列列车跳站开行。相对于列车站站停和既有客流控制方案，优化模型可使上下行列车载客量增加2954 人；优化模型所得乘客进站等待延误时间、换乘延误时间分别为19372 min 和7961 min，相对于既有方案相应数值47151 min 和9581 min，分别降低了58.9%和16.9%。

图7 优化后列车跳站与客流控制方案Fig.7 Train skip-stop and passenger flow control scheme obtained from model optimization

优化所得乘客站内等待时间为37931 min，既有控制方案则为28547 min。两点原因导致优化后乘客站内等待时间增加。首先，优化后进站乘客数量增加，相应地增加了3572 min的乘客站内等待时间；其次，列车跳站导致图7(b)中矩形内标注的每位乘客等待时间延长了2 min，总计增加了5812 min的站内等待时间。一般地，无论平峰时段还是高峰时段，乘客平均需要付出大约列车开行时间间隔1/2 的站内等待时间，其属于乘客的必要等待时间，仅因列车跳站延长的乘客站内等待时间的5812 min 属于延误时间。优化后部分乘客需要在站内多等待2 min，因而列车跳站对乘客出行造成了一定程度的影响。

基于以上论述，延误时间包括所有乘客的进站等待延误时间，列车跳站导致的乘客站内延误时间和换乘延误时间。因而，优化后乘客总延误时间为33145 min，相对于既有方案的相应数值56732 min，降低了41.6%。

表4 列示了优化前后上下行列车最大载客量。相对于列车站站停和既有客流控制方案，优化方案的上行方向所有列车、下行方向前5 列和第7列列车最大载客量增加，而下行方向第6列列车最大载客量减少。这一现象的出现，是因为增加列车载客量将相应增加进站的换乘客流量，但列车跳站所延迟乘车的换乘客流量是有限的，限制了列车载客量的进一步提高。为避免东单站站内滞留客流量超过安全容量，客流控制措施减少了下行方向第6列列车最大载客量。

表4 上下行方向列车最大载客量Table 4 Maximum passenger capacity of up and down trains

图8(a)和图8(b)分别展示了既有方案和优化方案所对应的换乘客流到达东单换乘站的过程。通过对比可知，优化方案延缓了换乘乘客到达东单站的时间，从而减少了滞留在东单站内的换乘客流量和乘客换乘延误时间。

图8 换乘客流到达东单站的过程Fig.8 Process of transit passengers arriving at DD station

5 结论

本文构建了地铁线路列车跳站开行与客流控制协同优化模型，极小化乘客在始发站和换乘站的延误时间，并以北京地铁5号线早高峰为背景设计了数值实验，实验结果表明：

(1)相较于列车站站停开行和既有客流控制，优化所得方案在14 min 内使列车运载乘客增加了2954 人，并使乘客在站外延误时间、换乘延误时间和总延误时间分别降低了58.9%、16.9%、41.6%。

(2)增加列车载客量将相应增加进站的换乘客流量，但列车跳站所延迟乘车的换乘客流量是有限的，限制了列车载客量的进一步提高。实际运营中，可在换乘站疏解压力开始下降前，选择少量列车在换乘站跳站开行，在实现最佳优化效果的同时，减轻对乘客出行的影响。