考虑不同失效模式的索杆结构构件面积缺损限值研究

邓满宇 袁行飞 董永灿

（1.浙江大学 空间结构研究中心，浙江 杭州 310058；2.浙江大学 平衡建筑研究中心，浙江 杭州 310058；3.浙江大学 建筑设计研究院有限公司，浙江 杭州 310058）

索杆结构是一类以钢拉索与钢压杆为基本单元组成的结构体系［1-3］，广泛应用于各种大型公共建筑中。由于钢材料的特性，长期暴露于空气中的该类结构会出现锈蚀现象。受其影响，钢构件的截面面积会发生损失，构件性能及结构抗力会随之不断退化［4］：轻则发生不适用的变形，重则发生结构倒塌破坏［5］。因此，对索杆结构的容许面积缺损限值进行研究，控制结构抗力的退化水准具有重要的工程意义。

Daniels等［6］采用纤维束模型研究了钢索锈蚀断丝引起的内力重分布问题，并指出锈蚀断丝会改变剩余钢丝的加载应力路径历程；Stallings等［7］用蒙特卡洛法对钢索疲劳可靠度进行了模拟，比较了不同概率分布对钢丝疲劳寿命的影响；Liu等［8］研究了焊接空心球节点在腐蚀和除锈条件下的力学性能，并建立了具有统计分布和腐蚀损伤动力学的实用腐蚀评估方法；孙华怀等［9］提出了基于应力强度因子的锈蚀钢丝断裂准则，通过模拟研究了拉索中钢丝逐层锈蚀断裂对拉索力学性能的影响；陈联盟等［10］研究了构件截面面积变化对索穹顶结构整体鲁棒性的影响；肖南等［11］建立了以应力为症状的可靠度方法，并对大气腐蚀下的网架结构剩余寿命进行了分析，结果表明在锈蚀所致的性能退化条件下，结构可靠度和结构剩余寿命以设计年限为基准逐渐递减。以上工作大多针对锈蚀后的钢杆和钢索力学性能变化开展研究，针对既有索杆结构受锈蚀影响后的整体结构性能研究虽有一定涉及，但还没提出系统的分析方法，且现有研究大多是基于结构现状进行分析，继而判定结构是否安全，对于结构在剩余服役期的安全预测较少提及。同时，国内规范对于结构锈蚀限值尚处于探索阶段，不利于结构服役过程中的健康监测及维护工作。因此本文针对面积缺损可能造成的3种主要失效模式，提出了计算构件面积损失限值的方法，拟通过该方法确定发生对应失效模式下的面积限值，从而方便判断结构是否安全。

本文基于可靠度理论，结合结构的两类极限状态，建立了考虑强度失效、松弛失效及变形失效3 种失效模式下的临界状态方程与可靠度限值控制不等式。通过锈蚀发展模型及力学推导给出各个方程中参数的求解方法。分析研究索杆体系的面积缺损限值这一量化判断标准，拟为既有结构的可靠性及实际工程的监测鉴定工作提供参考。

1 基于可靠度理论的不同失效模式

我国国家标准GB 50068—2018《建筑结构可靠性设计统一标准》中指出：结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态为该功能的极限状态。根据标准和相应设计规范，结构的极限状态可分为两种，即承载能力极限状态与正常使用极限状态。对于索杆结构而言，承载能力极限状态应考虑构件强度失效与钢索松弛失效两类问题，正常使用极限状态应考虑节点变形失效问题。

结构功能函数Z可用结构抗力变量R与荷载效应随机变量S来表示：

式中，R与S均满足一定的分布。当Z＞0时，结构处于安全状态；当Z＜0时，结构处于不安全状态；当Z=0时，结构处于临界状态。

设R的期望为μR、标准差为λR，S的期望为μS、标准差为λS，则结构可靠度指标的定义为

如果结构的状态方程中含有n个独立随机变量{G1，G2，…，Gn}，且每一个变量Gi的均值为μGi，标准差为λGi，则结构状态方程与可靠度指标可以表示为

式中，m0为影响Z的常量，mi为随机变量的权重系数。式（3）中，如果变量Gi之间不是相互独立的，则还需计算协方差矩阵来消除变量之间的相关性。下面分别讨论3种失效模式下的临界状态方程及不等式组。

1.1 构件强度失效

考虑到构件的面积变化量相对较小，结构的性能变化近似线性，所以不同构件的面积缺损对于同一根构件的内力影响可线性叠加。由于构件是独立制作的，且单根构件面积缺损对于整体误差分布模式的影响有限，根据林德伯格-莱维定理［12］，构件面积缺损近似于正态分布。

当构件的内力超过某一限值时，构件将会发生强度失效问题。设结构共有ne个构件（其中索的数量为nes）、nn个节点，将各个构件的面积缺损作为随机独立变量，建立第i根构件的强度失效临界状态方程为

式中：Tci为第i根构件的最大内力容许限值，该限值与构件的类别及其对应材料的强度有关；Ti为考虑面积缺损后的第i根构件的内力值；α1i为Tci的安全系数，其取值越小，Tci的强度储备越大，容许面积缺损限值则越小，α1i=1时，结构及构件将不再考虑额外的强度储备；φi为拉压杆件稳定系数，当构件受拉时，φi=1，当构件受压时，φi为受压构件的稳定系数，应按GB 50017—2017《钢结构设计规范》取值。

式（5）中，

式中，为第i根构件不考虑面积缺损的内力值，ΔAj为第j根构件的面积缺损限值，mij为第j根构件发生单位面积缺损时对第i根构件内力的影响系数。

结构的安全度可以通过可靠度指标β来衡量［13］，根据式（4）、（6）进一步建立第i根构件达到强度失效时的可靠度指标βi：

式中，μj与λj分别为第j根构件面积缺损限值ΔAj的均值与标准差。

可靠度指标β与失效概率Pf有一一对应的关系：

式中，Φ(·)为标准正态分布概率函数。

要保证结构的安全度，需使得失效概率Pf=其中与分别是保证结构安全的容许失效概率与可靠度指标限值。可求得β≥βˉ，代入式（7），化简可得到以下可靠度指标限值控制不等式：

设结构共含有ne个构件，则可得

式中：Mne为构件内力影响系数矩阵，

λ为面积缺损标准差矩阵，

Tcβ为内力可靠限值矩阵，

1.2 钢索松弛失效

当钢索的内力小于某一限值时，钢索将会发生松弛失效。建立第i根钢索的松弛失效临界状态方程为

式中：Tsi为拉索维持结构外观及刚度的最小预张力；α2i为Tsi的安全系数，其取值越大，钢索的松弛强度储备越多，通过计算得到的容许面积缺损限值则越小，α2i=1时，结构及构件将不再考虑额外的松弛强度储备。Tsi可按下式计算［14］：

式中，W为拉索自重，L为拉索跨度，w为不影响结构外观的拉索垂度，一般取w≤，θ为拉索与地面的夹角。

同理，建立第i根构件达到松弛失效时的可靠度指标βi：

以及可靠度指标限值控制不等式：

整理所有构件的可靠度指标限值控制不等式，并将其表示成矩阵形式可得

式中：Mnes定义为钢索内力影响系数矩阵，

Tsβ为松弛可靠限值矩阵，

强度失效模式与松弛失效模式下的临界状态方程组中面积缺损标准差矩阵λ相同；同时，钢索内力影响系数矩阵Mnes是构件内力影响系数矩阵Mne的子矩阵。

1.3 节点变形失效

设结构有nn个节点，当结构构件出现面积缺损时将会导致结构刚度降低，从而导致节点位移增大。而节点的位移超过某一限值时，将会发生变形失效。建立第k个节点的变形失效临界状态方程：

式中，Hck为第k个节点的最大变形容许限值，本文取结构跨度的1/250 进行控制，Hk为考虑面积缺损影响后的第k个节点构件的变形值，α3i为Hck的安全系数，其取值越小，Hck的变形储备越多，通过计算得到的容许面积缺损限值则越小，α3i=1时，结构及构件将不再考虑额外的Hck变形储备。

式（16）中，

其中，为第k个节点不考虑面积缺损影响的变形值，ηkj为第j根构件发生单位面积缺损时对第k个节点变形的影响系数。

同理，建立第k个节点达到变形失效时的可靠度指标βi：

以及可靠度指标限值控制不等式：

整理所有构件的可靠度指标限值控制不等式，并将其表示成矩阵形式可得

式中：Nnn定义为节点变形影响系数矩阵，

Hcβ为位移可靠限值矩阵，

当一种及以上失效模式出现时，说明结构的安全可靠度已不满足相应设计要求，此时应对结构进行预警，并在具体分析后采取相应的措施。

2 可靠度指标限值控制不等式求解

由式（2）、（4）可知，可靠度指标βi是变量Gi的均值μGi与标准差λGi的函数，因此要计算构件面积误差限值，首先要确定{μ1，μ2，…，μne} 与{λ1，λ2，…，λne}的范围。通过3种失效模式下的可靠度指标限值控制不等式（10）、（15）、（20）可知，若要满足其求解条件，需确定3 类影响系数矩阵Mne、Mnes、Nnn与3类可靠限值矩阵Tcβ、Tsβ、Hcβ。

2.1 影响系数矩阵的确定

对于一个具有nn个节点（其中节点自由度数为na，约束节点自由度数为nb）、ne个构件（其中拉索与压杆数量分别为nes、neb）的铰接体系，其静力平衡方程为

式中，x∈R3nn为节点坐标矢量，K为刚度矩阵，q∈Rne为构件的力密度矢量，A1∈R3nn×ne为对应于力密度q的平衡矩阵，P∈R3nn为外荷载矢量，节点自由度数为na=3nn-nb。

基于小变形假定，对于杆件i而言，结构中所有杆件的内力向量t∈Rne可集合为

式中，EAL-10反映杆件的轴向刚度，V∈Rne为总变形矢量，L0∈Rne为构件初始长度矢量，L∈Rne为构件变形后的长度矢量，L=L0+V，E∈Rne为构件杨氏模量矢量，A∈Rne为构件横截面积矢量。

同理，结构中所有杆件的力密度向量以及应力向量可集合成为

式中，σ∈Rne为构件应力矢量。

将式（23）代入式（21）可以得到

当结构发生了节点变形及截面积变化时，结构力学性能会随之改变。因此，为了考虑这两种因素产生的影响，在平衡方程式（21）中，对x和A进行全微分，得到

将式（25）代入式（26），整理可得如下表达式：

同理，在式（24）中，对变量x进行求导可得

对式（24）重新整理并对A与σ进行全微分可得

变形后构件长度对节点位移的偏导等于协调矩阵：

且BL与平衡矩阵A1具有如下的关系：

整理可得

式中，Cn=EAL-10，为构件刚度的对角矩阵。

式中，Ka(：，i)为Ka矩阵的第i列，Ine(：，ai)为ne阶单位矩阵Ine的第ai列。将Ka转置左乘于Mne矩阵，即可获得钢索内力影响系数矩阵Mnes，表达式如下：

2.2 钢材的锈蚀

可靠度指标限值控制不等式含有两类变量μ和λ，因此无法直接求解。在此，引入常见建筑钢材的锈蚀模型来确定各个构件的锈蚀面积均值。

Feliu等［4］对大气腐蚀和环境数据进行了统计处理，建立了钢材等金属材料的一般锈蚀模型。该模型如下：

式中，D为锈蚀深度，te为暴露时间，U、n'为与环境和钢材种类相关的参数。国内的学者梁彩凤等［15］结合国内气候环境，历经16 年的暴露腐蚀实验，针对多种钢材拟合出了相同形式的锈蚀模型，并确定了相应参数选择范围。其中U值主要与环境有关，随污染程度的增加而递增；钢材种类对U值影响较小，一般随合金含量的增加而降低，其取值范围一般为0.02～0.10 mm。n'值表征腐蚀的发展趋势，随钢材种类和环境变化极大，n'值最低可以取0.3，最高可达1.89。

钢材的腐蚀程度具有一定的随机性，相同环境与时间下，同组钢材的锈蚀深度也会存在一定的偏差。上述锈蚀模型代表某一类型的钢材在特定环境、特定暴露时间下的平均水准，可作为面积缺损的均值进行计算。

此时式（10）、（15）、（20）中，内力可靠限值矩阵Tcβ、松弛可靠限值矩阵Tsβ及位移可靠限值矩阵Hcβ均可通过式（36）进行计算得到，此时βi仅为{λ1，λ2，…λne}的函数。当给定可靠度指标限值时，即可以确定{λ1，λ2，…，λne}的范围。根据拉依达准则［16］，构件面积缺损限值与其均值和标准差存在以下关系：

根据式（37），可以计算构件面积缺损限值。因此{λ1，λ2，…，λne}范围的确定是求解构件面积缺损限值的关键。

2.3 面积缺损限值的非线性规划分析

βi是{λ1，λ2，…，λne}的多元函数，其求解问题归属于数学规划中的求解问题。

基于数学规划［17］，可以求得在给定可行域下的目标函数最优解。优化问题的通用模型如下：

式中，x1，x2，…，xp为设计变量，fr(x)为目标函数，gs(x)、hq(x)为约束函数。其中，gs(x)为不等式约束函数，hq(x)为等式约束函数。当目标函数与约束函数是设计变量的非线性函数的优化问题时，此类问题成为非线性规划问题。

将可靠度指标限值控制不等式（10）、（15）、（20）作为约束函数进行非线性约束。在设计空间中，约束函数构成的超曲面和半空间组成了可行域，落在可行域内的每一个设计点均满足全部约束条件。显然，这些点距离原点越近，可靠度越高，面积锈蚀的限值越小；距离原点越远，可靠度越低，面积锈蚀的限值越大。因此，为了保证构件安全的前提下获得最大的面积锈蚀限值，需要在可靠度允许的范围内找出一个尽可能远离原点的取值点。因此，该问题为单目标非线性规划问题，其设计变量和目标函数建立如下：

式中，f1(λ)为构件面积缺损方差和的负值，该函数越小表明构件面积误差限值越大。

至此，在确定出目标函数后，非线性规划问题的基本框架已经建立。然而，还应从实际问题出发，抽象出对该问题的其他数学约束条件，以保证所得解的合理性和可行性。

Novák 等［18］在相关和不相关随机变量函数变异系数的有效估计问题研究中指出，实际问题中材料的特性通常都是服从正态分布的，并且变异系数ν≤0.5；同时在数学定义中标准差是一个非负数。因此，在实际的构件锈蚀问题中，应根据上述性质取适当的界限约束，其表达式如下：

为对应钢材和锈蚀环境下的变异系数。

服从正态分布的随机变量取值概率规律为越靠近均值μ取值概率越大，反之则越小。因此在可行域中，式（42）计算出的是概率最大的标准差。取ne维空间内的最大概率点通过该点找寻另一点使得点Pλˉ距离点Pλ*最短，且Pλˉ处于可靠度约束边界上。定义Pλˉ为可靠约束置信点，可以看出Pλˉ是满足约束条件下取值概率最大的点，通过该点设计一个可靠约束置信域，使得求解的目标点Pλ=(λ1，λ2，…，λne)同时处于该置信域及可靠度边界（目标可行域）内。可靠约束置信域表达式如下：

其中，η为可靠约束置信系数，用来约束设计变量的离散性，取值为0 ≤η≤1。可靠约束置信域的大小受η影响，随η的增大而减小。取值点Pλ因此应取适当的η值来约束设计变量的离散程度，使得求解的面积误差既满足安全可靠度要求，又有较高的置信水平。根据式（37）即可计算出面积缺损限值。

需要注意的是，当Pλ*处于可行域内部时，表明式（41）的约束作用过强，最终求解出的目标点Pλ将处于可行域内部而非可靠度约束边界上。这说明即使发生这种程度的锈蚀也不会对结构安全产生影响，因此求解出的结果并非真正影响结构安全可靠度的面积缺损限值。可以将解出的面积缺损“作用”于结构上，削弱结构的部分可靠度与刚度矩阵K，在此基础上通过以上方法再次求解，直至Pλ*处于可靠度约束边界上。此时的求解结果即为满足结构可靠安全要求下的临界面积缺损值。

综上所述，基于可靠度理论及数学规划的索杆结构面积缺损限值确定的流程图如图1所示。

图1 基于可靠度理论及数学规划的索杆结构面积缺损限值确定的流程图Fig.1 Flow chart for determining area-loss limits of cable-strut structure based on reliability theory and mathematical programming

3 算例分析

3.1 算例模型参数

上述推导过程阐述了基于可靠度理论的3种失效模式下，索杆结构面积缺损限值的确定方法。以下通过一Levy型索穹顶算例来说明具体的求解过程及结果。

图2 所示索穹顶模型跨度为60 m，设置2 道环索，环向12等分。拉索的极限抗拉强度为1 670 MPa，弹性模量为1.95 × 105MPa；压杆的屈服强度为345 MPa，弹性模量为2.06 × 105MPa。结构最外圈节点处约束x、y、z方向的位移。荷载信息：恒荷载取0.5 kN/m2，活荷载取0.5 kN/m2。其中活荷载考虑满跨分布与半跨分布两种工况。根据对称性和构件的类型，可将构件分成11组，如图2所示。各组构件的截面积、初始预内力如表1所示。

表1 Levy型索穹顶各类构件基本信息1）Table 1 Basic information of each member of Levy cable dome

图2 Levy型索穹顶结构布置示意图Fig.2 Schematic diagram of layout of Levy cable dome structure

假设结构容许失效概率为0.001‰，可得β≥βˉ=4.753。式（36）所示锈蚀模型中各类构件的锈蚀参数取值与材料锈蚀的变异系数取值如表2所示。

表2 Levy型索穹顶各类构件锈蚀模型参数Table 2 Parameters of corrosion model for each member of Levy cable dome

3.2 面积缺损限值计算

3 种失效模式中，强度失效模式下压杆与拉索的临界强度分别取345 MPa 和835 MPa 进行控制；钢索松弛失效下的各拉索松弛内力临界值可由式（12）计算得到，如表3所示；节点变形失效下的临界值取跨度的1/250，即Hck=24 mm 进行控制。考虑到影响结构安全的因素中，极限强度起决定性作用，其余因素都可以体现在承载力下降上［19］，因此仅式（5）中α1i的安全系数取0.95，使得计算中结构及构件在强度上有一定的储备，式（11）与（16）中的系数α2i与α3i均按1.0进行取值。

表3 Levy型索穹顶拉索松弛内力临界值Table 3 Critical value of relaxation internal force of Levy cable dome

通过式（27）、（33）可以计算得到矩阵dxA与dtA，对其进行平方并集合为矩阵形式可进一步得到构件内力影响系数矩阵Mne与节点变形影响系数矩阵Nnn，如图3、图4 所示，其中，在此基础上通过式（35）可以得到钢索内力影响系数矩阵Mnes，结果如图5所示。通过对比可以看出图5是图3 的一部分，对应于钢索内力影响系数矩阵Mnes是构件内力影响系数矩阵Mne的子矩阵。

图3 构件内力影响系数矩阵Mne曲面示意图Fig.3 Schematic diagram of surface of members’ internal force influence coefficient matrix Mne

图4 节点变形影响系数矩阵Nnn曲面示意图Fig.4 Schematic diagram of surface of node deformation influence coefficient matrix Nnn

图5 钢索内力影响系数矩阵Mnes曲面示意图Fig.5 Schematic diagram of surface of cables’ internal force influence coefficient matrix Mnes

进行面积缺损限值计算时，式（43）中的可靠约束置信系数η取0.95，用于约束变量的离散性；通过Matlab 中的fmincon 函数可实现非线性规划的优化求解，最终得出Levy型索穹顶在3种失效模式下的面积缺损限值，并从中选取最不利工况下的计算结果进行对比。同时《民用建筑可靠性鉴定标准》中为保证结构的安全性（不低于bu级），要求钢结构主要受力构件的截面平均锈蚀深度不大于0.1t（t为锈蚀部位构件原截面壁厚），且钢索构件中的断丝总数不超过5%；在耐久性（不低于bu级）计算中，要求钢构件平均锈蚀深度不大于0.1t；在使用性（不低于bu级）规定中，要求钢构件存在不影响使用的局部表面缺陷及损伤，但无明确的量化计算限值［20］。因此这里仅对安全性和耐久性的规范限值进行对比。经计算可以得到相应的规范容许限值，对比结果如图6所示。

图6 3种失效模式下面积缺损限值与两种规范限值的对比Fig.6 Comparison of area-loss limits under three failure modes and two specification values

从图6可以看出，在3种失效模式下，构件强度失效下的面积缺损限值最大，钢索松弛失效与节点变形失效下的面积缺损限值较小。与规范限值相比，索杆结构中的多数构件在强度失效与变形失效下的面积缺损限值要高于耐久性限值，而钢索松弛失效下的面积缺损限值则低于耐久性限值。这说明耐久性限值相对于强度失效与变形失效下的面积缺损限值较为严格，按照该规范要求制作并维护结构时，一般不会发生强度失效和变形失效。而相对于松弛失效下的面积缺损限值则显得比较宽松，即按照规范要求，索杆结构仍有较大的概率发生松弛失效，从而导致结构突破正常使用极限状态或者承载力极限状态。

对于安全性限值而言，构件的规范限值低于3 种失效模式下的计算限值，其中杆件的规范限值与耐久性限值相同。这主要是因为在规范中，钢构件的安全性与耐久性要求相同，而对于钢索构件的安全性，规范还有额外的条文规定。然而在规范中，对于钢索构件耐久性限值以及钢结构构件的使用性限值，尚无明确规定。因此针对一个具体的结构，应从3个不同失效模式出发进行面积缺损限值分析，并结合规范控制结构构件制作及服役期间的面积缺损限值。

4 结论

（1）基于可靠度理论与索杆结构的两种极限状态，提出了考虑结构3种失效模式的构件面积缺损限值确定方法。通过设定可靠度指标限值，建立了相应失效模式临界状态下的可靠度指标限值控制不等式组。

（2）推导了以构件面积为变量的内力、位移变化公式，通过该公式可以快速地求解面积缺损情况下的构件内力变化及节点的位移变化，给出了3种失效模式下可靠度指标限值控制不等式组的系数矩阵确定方法。该方法简化了一般的力学求解过程，为索杆结构的力学性能计算提供了便捷。

（3）通过非线性规划，将复杂的多元数据求解问题转化为非线性最优解求解问题，提出了一种完整的索杆结构面积缺损限值的确定方法。通过分析并与规范限值进行对比，可以看出现有规范在耐久性与使用性上的限值规定存在不足，按照规范容许限值进行构件制作及后期维护，结构发生钢索松弛失效的概率较大，而发生构件强度失效与变形失效的概率很小。安全性限值对于钢索构件较为严格，对于钢杆构件则与耐久性限值相同。因此在考虑结构的面积缺损限值时，应综合考虑3 种失效模式，并按最严格的面积缺损限值进行控制。