不同降雨量下基于宏观基本图的边界控制策略

赵小梅 郝郭宇 牛晓婧 周志前

（北京交通大学 系统科学学院，北京 100044）

近年来，我国机动车保有量迅速增长，交通拥堵问题严重，尤其在降雨天气下更为明显，极易产生路网拥堵，增加交通管理难度。因此，对不同降雨量下交通流基本规律进行分析与研究，并提出合理的管控策略，具有重要的实际应用价值。

不同降雨量对不同路网的交通流特性影响不同，国内外学者以高速公路、城市快速路以及城市路网等路段或区域为研究对象，针对降雨对交通流特性的影响做了诸多研究，如：张存保等［1］和罗京等［2］研究了不同降雨量（小雨、中雨和大雨）对高速公路交通流的影响，张存保等发现相比无雨的情况，在不同降雨量下路网平均速度分别减小4.7%、9.8%和16.1%，道路通行能力分别减小10.5%、17.4%和27.1%；罗京等得到相比无雨的情况，在不同降雨量下路网最大流量依次减小15.7%、19.1% 和32.5%，自由流速度依次减小4.4%、7.3%和10.6%的结论；Billot 等［3］发现在不同降雨强度下，城市快速路交通流的通行能力减小18.5%～21%，自由流速度减小8%～12.6%；杨中良等［4］对城市快速路在特殊天气条件下通行能力进行研究，得到城市快速路的通行能力在小雨、中雨和大雨天气条件下分别降低6%～8%、10%～11%和13%～15%；龚大鹏等［5］深入分析了降雨天气对城市路网车辆速度的影响，发现受降雨影响快速路、主路和次支路的速度降低依次为15%～19%、9%～15%、5%～8%。但是，现有的国内外研究大多是针对不同降雨量对高速公路的交通流影响，而针对速度较低、车流量较大的城市路网研究很少。

路网宏观基本图（MFD）可以用于管控策略的设计，使路网交通流在临界值以内运行，并保持稳定运行状态。国内外许多学者提出了基于MFD 的边界或交叉口控制方法，如：Keyvan-Ekbatani 等［6-8］基于路网MFD 进行反馈闸门控制法研究，通过实验模拟方式对城市路网进行闸门控制并取得显著效果；Geroliminis 等［9-11］通过对两个或多个交通小区建立预测控制模型，提出了两个或多个相邻子区之间的边界优化控制方法；Aboudolas等［12-13］通过多变量反馈调节器对多个MFD 子区进行边界控制，以保持系统内交通流的稳定性；Ramezani等［14］考虑多子区路网，设计了异构控制器进行分层边界流量控制，降低路网延误；Hajiahmadi等［15］基于MFD提出了多区域协调优化控制策略，通过分级控制策略来降低其它区域堵塞程度；廖南楠［16］以路网行程时间最少为目标，构建基于MFD 的边界交叉口信号控制优化模型；赵靖等［17］通过博弈论分析研究基于MFD的两个相邻子区协调控制方法，能够很好地解决系统内两个相邻子区之间的最优边界控制问题；李轶舜等［18-19］基于路网MFD的特性，提出对于过饱和区域定时信号配时的边界控制措施。目前基于MFD的边界控制对考虑不同降雨量影响下路网优化控制策略的研究很少，无法给出不同降雨量下缓解城市路网拥堵的可行策略，因此本文考虑中心城区以及市郊区域路网利用MFD 对不同降雨量下城市路网实施区域管控。

本文以天津市作为研究区域，基于实际数据构建MFD 模型，得到不同降雨量下天津市中心城区和市郊区域路网的交通状态演化模型并验证模型的有效性，进而基于MFD 设计不同降雨量下中心城区和市郊区域路网边界协调优化控制策略，以求缓解降雨天气对路网交通流的影响，保障路网交通系统的稳定运行。

1 数据分析

我国气象部门按照降雨强度对降雨等级进行划分。降雨强度是指单位时段内的降雨量，一般情况以1 h、12 h和24 h为单位时间，我国降雨等级划分标准［20］如表1所示。本文使用降雨量数据以6 h为单位进行采集，以表1 中24 h 降雨量为标准对选取日期的降雨等级进行划分。

本文使用的交通流数据由天津市主要道路上的卡口检测器获取，卡口检测器分布如图1所示，布设在主要道路交叉口的停车线处，总量约600个，覆盖率达到90%以上，能够反映城市道路交通情况。当车辆通过卡口时执行抓拍操作，获取抓拍车辆的信息，原始数据记录的信息包括车辆通过卡口的时间、车牌号、卡口编号、行驶方向以及卡口所在的位置等。天津市中心城区为内环快速路以内的路网，包含内环快速路，呈现出人车流量大、出行比较集中的特点；市郊区域指外环快速路和内环快速路之间的路网，包含外环快速路，出行相对比较分散。如图1所示，黑色实线表示研究区域内中心城区边界，深蓝色实线表示研究区域内市郊区域边界，两子区之间以内环快速路作为边界。本文中选取不同降雨量和对应的无降雨时间数据进行对比分析，共选择11组不同降雨量的工作日数据，如表2所示。

图1 研究区域地图图示Fig.1 Map representation of the study area

表2 降雨量等级及不同时段降雨量和无雨日期Table 2 Rainy levels and different periods of rainfall and norain days mm

1.1 数据处理方法

文中通过路网交通流参数（平均流量、平均速度和平均密度）以及MFD 即路网交通流参数间的关系，对天津市交通状态演化规律进行分析，其计算方法如下。

（1）平均流量

流量是指在一段时间内，通过道路某横截面的车辆总数。本文以5 min 为一个时段，全天24 h 共分成288个时段，每个时段每条车道路网的平均流量为

式中：t为时段编号，t=1，2，3，…，288；i为卡口检测器编号，i=1，2，3，…，n；Ni为卡口i对应路段的车道数；n为路网内卡口检测器的数量；为时段t路网的平均流量，辆/（小时·车道）；qt，i为时段t通过第i个卡口检测器的车辆数。

（2）平均速度

路段的平均速度是指在该路段上所有行驶车辆的速度平均值，可通过路段长度与路段上车辆的平均行驶时间之比求得，其中车辆的平均行驶时间是通过提取同一辆车经过相邻卡口的时间差来获取的。

式中：vt，j为时段t路段j的平均速度，km/h；Z为车辆编号，Z=1，2，3，…，mt，j；Nt，j为时段t内通过路段j的车辆数；lj为路段j的长度，km；为时段t内车辆Z在路段j上的行驶时间，h。

每个时段路网的平均速度为

式中：j为路段编号，j=1，2，3，…，Nr；Nr为路网内的路段数；为在时段t路网的平均速度，km/h。

（3）平均密度

时段t路网的平均密度记为，辆/（千米·车道），路网的平均密度为该时段的平均流量与平均速度之比，计算公式为

式中：为时段t路网的平均流量，辆（/小时·车道）；为时段t路网的平均速度，km/h；为时段t路网的平均密度，辆（/千米·车道）。

1.2 不同降雨量城市路网交通状态规律

天津市工作日早高峰时段为7：00—9：00，晚高峰时段为16：00—19：00，其余为平峰时段。通过对不同降雨量下的天津中心城区以及市郊区域路网交通流和降雨数据进行处理与对比，计算得到如表3所示的统计对比结果。表3 是对表2 中所有日期的交通流数据进行计算，从平均流量、平均速度以及平均密度三方面总结不同降雨量对中心城区与市郊区域路网交通流特征的影响。基于表3 可以发现，在小雨和中雨环境中，路网平均流量以及平均密度相对于无雨环境均呈现出增长趋势，市郊区域路网增加幅度更大；但在大雨环境中，两种类型路网的交通流特征值变化存在显著差异。将其异同点进行具体总结如下。

表3 不同降雨量对交通流特征的影响（06：00—22：00）Table 3 Influence of different rainfall on traffic flow characteristics（06：00—22：00） %

1.2.1 小雨

（1）对于路网的平均流量，整体上，中心城区和市郊区域路网相比，无雨时平均流量均增加，市郊区域增加的幅度更大。在早高峰时段降雨，路网平均流量增加更明显。

（2）对于路网的平均速度，整体上，中心城区和市郊区域路网相比，无雨时平均速度均减小，市郊区域减小的幅度更大，在降雨时段内，单位时间内降雨量越大路网平均速度减小的越快。

（3）对于路网的平均密度，整体上，中心城区和市郊区域路网相比，无雨时平均密度均增加。早高峰降雨量越大，路网平均密度增幅越大，市郊区域远大于中心城区的增加幅度。

（4）对于路网MFD，市郊区域在早晚高峰路网MFD 散点分布较为离散，在部分研究日期内出现“回滞现象”，如图2（a）所示，以出现“回滞现象”的日期3月24日为例，展示了市郊区域路网早高峰流量-密度散点图，可以发现在路网平均密度大于20辆/（千米·车道）时，随着平均密度的增加，平均流量开始缓慢增加，随后略有减小，且减少过程中路网平均流量低于上升过程路网平均流量。但是中心城区路网MFD 散点在各个时段分布都较为集中，且没有“回滞现象”出现。

图2 市郊区域早高峰回滞现象Fig.2 Hysteresis phenomenon of early peak in suburban area

1.2.2 中雨

（1）对于路网的平均流量，整体上，中心城区和市郊区域路网相比，无雨时平均流量均增加，在早高峰时段市郊区域增加的幅度更大。

（2）对于路网的平均速度，整体上，中心城区和市郊区域路网相比，无雨时平均速度均减小，在早高峰时段市郊区域减小的幅度更大。市郊区域相比中心城区路网平均速度较大，并且速度的波动性也较大。

（3）对于路网的平均密度，整体上，中心城区和市郊区域路网相比，无雨时平均密度均增加，在早高峰时段市郊区域增加的幅度更大。

（4）对于路网MFD，市郊区域在早晚高峰MFD密度散点分布较为离散，且部分研究日期内出现“回滞现象”。图2（b）以出现“回滞现象”的日期5 月22 日为例展示了市郊区域路网早高峰流量-密度散点图，可以发现当路网密度大于20 辆/（千米·车道）时，平均流量在减少过程中其值低于上升过程平均流量值。而中心城区无“回滞现象”出现。

1.2.3 大雨

在大雨的环境条件下，对于路网的平均流量以及平均密度，中心城区和市郊区域的整体路网变化相比无雨时，无较统一的规律。对于路网的平均速度，市郊区域路网的整体平均速度略增大，但是中心城区整体路网平均速度变化没有较统一的规律。

2 问题描述与建模

2.1 中心和市郊区域路网动态演化模型

由于天津市不同降雨量下的中心城区和市郊区域路网交通状态演化过程不同，构建交通状态演化模型如图3所示。该模型用流量的输入、流量的转移和流量的输出来描述交通状态的演化过程。其中路网i为中心城区路网(i=1)和市郊区域路网(i=2)。市郊区域路网有恒定的外部输入流量A2；两个路网之间的转移流量Fij(i=1，2；j=1，2；i≠j)与路网i的平均流量成线性比例关系，其中F12为中心城区路网到市郊区域路网的转移流量，F21为市郊区域路网到中心城区路网的转移流量；市郊区域向外部的输出流量E2与路网2的平均流量成线性比例关系；Q(Ki)为每个路网的MFD 模型，Ki为路网i的平均密度。通过平均密度表示路网交通状态，可以得到不同降雨量的中心城区和市郊区域路网的交通状态演化方程式为

图3 交通状态演化模型示意图Fig.3 Schematic diagram of traffic state evolution model

式中：Li为路网i的道路长度，km；Kj为路网临界密度，辆/（千米·车道）；qi为路网i的平均流量，辆/（小时·车道）；Q(Ki)=qi表示路网i的MFD 函数，辆/（小时·车道）；E2为路网2 的输出流量，辆/（小时·车道）；PE2=E2/Q(K2)表示路网2向外部输出流量与平均流量的比例；PFij=Fij/Q(Ki)表示路网i到路网j的转移流量与路网i平均流量之比。

2.2 中心和市郊区域路网动态演化模型标定

为缓解城市路网交通拥堵问题，本文选择不同降雨量下早高峰时段路网交通流数据与无雨相比变化较大且发生拥堵的日期进行分析，对表2中11组数据的宏观交通流状态进行综合分析，选取小雨（6 月6 日）、中雨（6 月22 日）、大雨（7 月6 日），进行路网动态演化模型标定。

为了方便模型求解，利用三次函数分别构建不同降雨量下中心城区和市郊区域路网MFD。Q(K1)、Q(K2)分别为中心城区路网以及市郊区域路网平均流量，K1、K2分别为中心城区以及市郊区域路网平均密度，结果如图4 以及式（6）、（7）和（8）所示。

图4 中心城区和市郊区域路网宏观基本图拟合曲线Fig.4 MFD fitting curves of road network in central and suburban area

由图4（a）可以得到：

由图4（b）可以得到：

由图4（c）可以得到：

为了验证模型参数的拟合优度，本文基于决定系数R2对不同降雨量时中心城区与市郊区域MFD函数的拟合优度进行计算：

式中：y为实际数值；f为预测数值；为实际值的平均值，用于评估预测值与实际值的符合程度，其值介于0～1之间，越接近于1，回归拟合效果越好。不同降雨量时中心城区与市郊区域MFD 函数决定系数的计算结果如表4所示，可以发现拟合优度R2均大于0.9，可认为上述MFD函数拟合程度良好。

表4 不同降雨等级不同路网类型MFD函数标定结果Table 4 Calibration results of MFD functions with different rainfall levels and different road network types

转移比例PTij为不同降雨量时中心城区和市郊区域路网之间的转移流量Fij与该路网的平均流量Q(Ki)之比，通过选取日期的交通流数据计算不同降雨量时中心城区和市郊区域路网流量转移比例，结果如表5 所示。可以发现：对于PT12，有雨相比无雨都有不同程度的减小，其中变化比较大的是小雨，其次是大雨、中雨。对于PT21，变化比较大的是大雨，其次是中雨、小雨，其中中雨是增大，小雨和大雨是减小。综上所述，有雨与无雨相比较，会增加路网的拥堵程度，整体变化比较大的是小雨，其次是中雨、大雨。

表5 不同降雨量时中心城区和市郊区域路网流量转移比例对比Table 5 Statistical comparison of traffic transfer ratio of road network between urban areas and suburban areas with different rainfall

输出比例PE2为路网输出流量E2与该路网平均流量之比，通过选取日期的交通流数据计算不同降雨量时市郊区域路网向外部的输出流量比例，结果如表6 所示，其中变化最大的是大雨，其次是中雨、小雨，小雨和中雨降雨条件下市郊区域路网向外部的输出流量比例减小，大雨天气条件下输出流量比例增大。

表6 不同降雨量时市郊区域路网输出比例统计对比Table 6 Statistical comparison of road network output proportion in suburban areas with different rainfall

通过上述MFD 拟合函数以及参数标定，用Matlab 对式（6）、（7）和（8）所示动态演化的模型进行求解，图5为早高峰不同降雨量中心城区和市郊区域路网平均密度的动态演化曲线与实际密度的对比图，其中曲线表示模型求解得出的不同降雨量中心城区和市郊区域路网的平均密度演化曲线，散点为其实际平均密度。为了验证模型的有效性，计算动态演化模型与实际数据之间的决定系数，结果如表7 所示。表7 表明，模型求解的动态演化曲线和实际数据的趋势基本一致，且拟合优度R2均大于0.9，验证了模型效果良好。

图5 早高峰时段中心城区和市郊区域路网的交通状态演化曲线Fig.5 Evolution curve of traffic state of road network in urban and suburban area during early peak hours

表7 不同降雨等级动态演化模型有效性验证Table 7 Validation of dynamic evolution models with different rainfall levels

根据结果，可以看出随着时间的推移，中心城区相比较市郊区域路网平均密度更易向阻塞密度演化，中雨最容易出现拥堵，其次是大雨、小雨。根据交通状态演化曲线，当中心城区的平均密度达到40 辆/（千米·车道）时，对应市郊区域在小雨、中雨和大雨天气条件下的平均密度分别是30 辆/（千米·车道）、30 辆/（千米·车道）和25 辆/（千米·车道），说明市郊区域路网较为畅通，能够进行调控。

2.3 不同降雨量下城市路网优化策略

2.3.1 区域边界控制策略

考虑中心城区和市郊区域路网的流量分布差异问题，将中心城区和市郊区域路网作为整体控制系统，建立区域控制模型。

设控制时段为t，在控制时段t时区域内路网的流入流量为A(t)、流出流量为E(t)、平均流量为Q(t)，下一控制时段t+1时路网的平均流量为

当高峰时段路网平均密度达到临界值时，通过限制流入路网边界的车流量，将路网的平均流量维持在最大流量以内，区域路网的流入流量边界控制策略为

式中：t为控制时段，h；Qa为区域路网的最大流量，辆/（小时·车道）；Q(t)为t时段内区域路网的平均流量，辆/（小时·车道）；A(t)为t时段内区域路网的流入流量，辆/（小时·车道）；E(t)为t时段内区域路网的流出流量，辆/（小时·车道）。

2.3.2 区域内部优化控制策略

根据对中心城区和市郊区域路网宏观交通状态的分析，相比中心城区路网，市郊区域路网较为畅通。当中心城区路网的平均流量接近最大流量时，可以通过限制市郊区域路网流量向中心城区路网转移，即限制由市郊区域路网向中心城区路网的转移流量与市郊区域平均流量的比例PT21(t)以及市郊区域路网的流入流量A2(t)，关闭一些通往中心城区路网边界的匝道、调控入口信号灯周期和在交叉口设置警示牌以提醒出行市民中心城区的路况等措施；也可以增大中心城区路网流量向市郊区域路网的转移比例，即增大中心城区路网向市郊区域路网的路网转移流量与中心城区平均流量的比例PT12(t)以及市郊区域路网的流出流量E2(t)，通过市郊区域路网高速免费、播报实时路况信息，采取错峰出行的引导措施来减小中心城区路网压力。

（1）目标函数

通过上文中对天津市不同降雨量时中心城区和市郊区域路网交通状态的分析，可以发现不同降雨量时中心城区和市郊区域的路网交通状态有很大差异：市郊区域相比较中心城区整体路网平均流量小，路网平均速度较大，且速度的波动性也较大，平均密度小。针对天津市不同降雨量时中心城区和市郊区域路网的交通状态差异，为使路网在临界状态下平均流量最大化，本文以中心城区和市郊区域路网最大流量与路网平均流量的方差最小为目标函数，即

式中：Qai为路网i的最大流量，辆/（小时·车道）；Qi(t) 为t时段内路网i的平均流量，辆/（小时·车道）。

（2）约束条件

根据车流平衡方程可以得出下一时段各路网的平均流量为

中心城区和市郊区域路网的流出流量和转移出的流量总和应该不大于该路网的平均流量，计算式为

式（14）可以转化为

中心城区和市郊区域路网的流入流量和转移的流量总和小于该路网的最大流量，计算式为

3 结果分析

通过边界控制改变中心城区和市郊区域路网转移比例、市郊区域路网输出比例或者市郊区域路网输入比例，使天津市中心城区和市郊区域路网在不同降雨量下交通量能合理分布，路网平均密度尽可能不向阻塞密度演化，减少拥堵路段，优化控制模型通过Matlab 中FMINCON 函数对非线性规划问题求解得出。

3.1 小雨天气路网控制策略

在小雨天气条件下，对PF12、PF21、A2及PE24 参数中的任一参数进行控制均能实现中心城区和市郊区域路网交通流在临界值以内运行，具体见表8。考虑临界值解的大小以及控制方案的实际可行性，降雨等级为小雨时对PT21参数进行控制更符合实际，取PF21分别减小3%、9%和15%进行分析，结果如图6（a）所示。当PF21减小9%时，路网密度达到30 辆/（千米·车道）且不再增加；当PF21减小量为15%时，中心城区路网平均密度减小，市郊区域路网平均密度没有太大变化，中心城区路网呈现出很好的调控效果；当PF21减小量为3%时，中心城区路网平均密度增加，因此，将PF21减小量控制在9%～50%范围之内时路网调控的效果更好。

图6 不同控制条件下交通状态演化曲线Fig.6 Evolution curve of traffic state under different control conditions

表8 边界控制参数临界值解（单一变量）Table8 Critical value solution of boundary control parameters（Single variable）

3.2 中雨天气路网控制策略

在中雨天气条件下，单一变量只有控制市郊区域路网输入比例A2才可以实现中心城区和市郊区域路网交通流在临界值以内运行，其它参数无法实现，具体见表8。而单独控制A2并且减小到一半以上很难控制，因此，通过调控两个变量可提供两种策略：

控制策略1 从中心城区向市郊区域的交通流量转移比例PT12增加54.84%，市郊区域路网输出比例PE2增加27.3%；

控制策略2 从市郊区域向中心城区的交通流量转移比例PF21减小23.08%，市郊区域路网输出比例PE2增加29.2%。

比较控制策略1和2，在数值上控制策略2需要调控的量值较小，因此保持PE2增加29.2%不变，PT21分别减小15%、23%和30%进行分析，结果如图6（b）所示。当PT21减小23%时，路网密度达到30 辆/（千米·车道）且不再增加；当PT21减小量为30%时，两个路网向阻塞状态演化，路网平均密度增加；当PT21减小量为15%时，中心城区路网平均密度增加比较明显。综上所述，当降雨等级为中雨时需要动态调整两个及两个以上的参数，无明显的变化规律，需要具体变量具体分析。

3.3 大雨天气路网控制策略

在大雨天气条件下，对PF12、PF21及A23 个参数中的任一参数进行控制均能实现中心城区和市郊区域路网交通流在临界值以内运行，具体见表8。和小雨天气条件下一样，对PT21参数进行控制更符合实际，取PT21分别减小15%、23%和30%进行分析，结果如图6（c）所示。当PT21减小23%时，路网密度达到30 辆/（千米·车道）且不再增加，当PT21减小量为30%时，中心城区路网平均密度减小，市郊区域路网平均密度没有太大变化，中心城区路网呈现出很好的调控效果。当PT21减小量为15%时，中心城区路网平均密度增加，因此将PT21减小量控制在23%～50%范围之内时路网调控的效果更好。

综上所述，根据图6，红色实线为实测数据的交通状态演化曲线，不同降雨量下，中心城区和市郊区域路网的平均密度均向阻塞状态演化，中雨天气条件下最明显，其次是大雨和小雨。其它颜色的曲线为不同条件下边界控制后的演化曲线，从图中可以看出，通过边界控制，中心城区和市郊区域路网的平均密度不再增加并且比实测数据明显减小，两个路网的交通状态更加均衡。

4 结论

本文得到的主要结论如下：

（1）对不同降雨量时中心城区和市郊区域的交通流变化进行对比，在小雨和中雨天气条件下，市郊区域路网与中心城区相似，相比无雨情况，路网平均流量增大，平均速度减小、平均密度增大，但整体变化幅度市郊区域路网更大；在大雨天气条件下，相比无雨情况市郊区域与中心城区路网交通流变化趋势都没有较统一的规律。

（2）不同降雨量下，对于路网MFD 变化规律，市郊区域在各个等级降雨条件下，早晚高峰路网MFD密度散点分布均较为离散，其中在小雨、大雨的早高峰时段以及中雨条件下均出现“回滞现象”，而中心城区仅在中雨早高峰时段出现“回滞现象。

（3）不同降雨量下，中心城区与市郊区域路网的宏观交通流特性不同，中心城区相比较市郊区域路网平均密度更易向阻塞密度演化，且中雨环境下更容易出现拥堵。

（4）基于MFD 设计不同降雨量下中心城区和市郊区域路网边界协调优化控制策略能够有效的提高中心城区和市郊区域路网的运行状态。