基于UbD理论的初中数学逆向教学设计——以“二元一次方程组”为例

张晓君 张昕丽

(山东省聊城大学数学科学学院,山东 聊城 252000)

传统课堂的教学有两大问题:一是记忆型知识易被遗忘,二是学生对这样的知识缺乏深入理解[1].当下,有效学习的视角从强调学生的勤学苦练转变为注重理解和运用知识,理解性学习成为国际教育研究热点.由格兰特·威金斯和杰伊·麦克泰格提出的“追求理解的教学设计”(Understanding by Design,简称UbD)正在逐渐发展完善.UbD理论的核心即理解,教学目标、评估证据、教学活动都是帮助学生实现理解的手段,整个教学活动的完成都是围绕着“理解”进行的[2].UbD理论认为,为达到“理解”这一教学目标,最好的设计应该“以终为始”,UbD理论指导下的教学设计就是一种逆向教学设计,其与传统教学设计模式的差异是,传统教学着眼于“输入端”,逆向教学则是聚焦“输出端”,认为“输出”可以倒逼“输入”[3].

1 逆向教学设计操作程序

本部分以威金斯提出的逆向设计阶段为基础,阐述逆向教学设计的操作程序.逆向教学设计可以分为明确预期的学习结果、确定合适的评估依据、设计学习体验和教学三个阶段,在这里设计者要注意三个阶段不是相互独立的,下一个阶段是在上一个阶段基础上得到的.

1.1 阶段一:明确预期的学习结果

预期的学习结果要界定出学生通过学习要获得哪些知识、能运用这些知识干什么,可以从“确定单元目标、确定课时目标、预期的学习结果”三个步骤来确定.预期的学习结果可以分为四部分,“预期的迁移”是学生深入理解所学知识,能够将所学内容进行迁移运用.“预期的理解”是在可以掌握基础知识的基础上,更深层次的理解,实现知识结构构建.“基本问题”是“是什么”“为什么学”“怎么理解”等.“知识与技能”是基础性目标,主要是学生学完后能学会什么知识技能.

1.2 阶段二:确定合适的评估依据

在逆向教学设计中,教学活动不是在确定了预期结果后直接计划的,而是先针对第一阶段的预期结果设计评估依据,再设计教学.在这一阶段,需要解决的问题是“怎样证明学生已经理解、怎样证明学生达成了预期的学习结果”.这里的评估依据应当贯穿整个学习的过程,既包括学习活动结束后的测试,还包括在学习过程中收集大量的证据,如观察、提问、探究问题等等.评估依据可以从表现性任务、其他证据、自我评估和反馈三部分确立.

1.3 阶段三:设计学习体验和教学

在确定了清晰的预期结果和评估依据后,就可以规划相应的教学活动了,依据即为阶段一和阶段二的预定目标以及评估依据.在该阶段,设计者可以运用威金斯和迈克泰格提出的WHERETO七元素.WHERETO元素中W指学习方向和原因,H指吸引和保持,E1指探索和体验、准备和使能够,R指反思、重新考虑及修改,E2指评价工作及进展,T指量身定制,O指为最佳效果而组织.

2 案例设计——以二元一次方程组为例

二元一次方程组是方程组的内容主体之一,本阶段的学生已经具有一元一次方程的相关知识,但只是初步体会了方程思想.学习二元一次方程组会为将来的一次函数、二次函数、不等式等内容打下基础.

2.1 阶段一:明确预期的学习结果

2.1.1确定单元目标

①对方程发展史进行基础了解,理解相关概念;②能迁移解一元一次方程的内容,并思考如何利用一元来研究二元;③掌握二元一次方程组的解题过程,掌握代入消元法及加减消元法,会验证解的合理性;④体会“消元”的思想,推导三元一次方程组的解法,初步体会化归思想;⑤体会方程组的应用价值,培养数学建模意识和数学抽象素养,同时提高解决问题的能力.

2.1.2确定课时目标

①类比一元一次方程,掌握二元一次方程和二元一次方程组的有关概念并学会辨别,知道二者解的定义;②可以由具体问题抽象出二元一次方程组,可以运用数学思维将实际问题转化成数学问题,培养学生数学抽象的能力;③能找出实际问题中的数量关系并建立方程的数学模型,培养数学建模素养;④提高问题意识,加强应用意识.

2.1.3预期的学习结果

(1)预期的迁移.一方面,能够迁移一元一次方程的知识来学习本节内容;另一方面,能将生活中的实际问题转化为二元一次方程组,可以将本节课涉及的思想和方法迁移到其他数学问题.

(2)预期的理解.首先,可以从“元”、“次”来理解二元一次方程.同时,知道二元一次方程组是表达实际问题的一种数学模型.再者,能自己总结这节课的主要学习内容.最后,能理解出题者的意图.

(3)基本问题.①什么是二元一次方程?它与一元一次方程有何联系?②什么是二元一次方程组?什么是二元一次方程的解?什么是二元一次方程组的解?③本节课学习的意义是什么?④如何根据具体的问题列二元一次方程组?

(4)知识与技能.①掌握本节课涉及的四个定义,清楚二元和一元的区别,清楚方程的解和方程组的解的区别和联系;②可以根据实际问题列出二元一次方程组,初步拥有数学抽象思维,知道尝试用建模方式解决实际问题.

2.2 阶段二:确定合适的评估依据

2.2.1表现性任务

任务1:学生在上课前阅读关于方程发展背景的文章,研究其在数学史上的作用.

任务2:让学生做小老师,将本节内容经过整理记录下来,并交给没上课的同学,并向其讲解.

任务3:解决实际问题.通过研究实际问题“乒乓球赛问题”,建立数学模型,列出方程.

任务4:请每个学生设计一个与本节课相关的习题,小组内互相做题、纠正并给予评价.

2.2.2其他证据

课上测验——课上安排小练习;课上问答——通过课上的师生问答判断学生的学习情况;课下作业——完成书本上的练习题及习题册上的对应习题;单元测验——检测本章的相关知识.

2.2.3自我评估和反馈

①自评对本节课“多人共车”问题和“雀燕”问题的探究情况,在练习后让学生判断自己的掌握情况;②在下课前让学生思考总结本节课所学内容,谈谈感想和收获,评价自己的学习掌握度;③根据课后作业反思自己是否达成了本节课的学习要求;④为学生发放自评表进行填写.

2.3 阶段三:设计学习体验和教学

(1)布置课前作业,让学生阅读整理有关方程数学史和相关背景的文章,继而完成几道关于一元一次方程的习题,为学习活动做准备.(E1,R)

(2)情景引入:从数学文化引入,让学生先运用已有一元一次方程知识自行解决《孙子算经》中的“多人共车”问题,教师引导学生思考是否可以设两个未知数,自然过渡到二元一次方程.(H)

(3)教师让学生明确学习目标,明确表现性任务,介绍这节课涉及的四个基本问题.(W)

(4)教师引导学生设两个未知数解决问题,证明设两个未知数来列方程的可行性.(O,E1)

(5)学生类比多人共车问题探究《九章算数》中的雀燕问题,再次体验设两个未知数列方程的过程,同时认识到本节课的必要性.(E1)

(6)学生观察两个问题中列出的四个方程的共同特性,比较其与一元一次方程的差异,引导从“元”“次”的角度进行总结,归纳二元一次方程定义.(O,E1)

(7)教师呈现若干式子,学生判断哪些是二元一次方程,并说明判断依据.(E2)

(8)教师带领学生继续探索,将“鸡兔同笼”和“雀燕”问题的方程进行比较,以此为例,总结二元一次方程组的定义.(E1)

(9)小组合作讨论相关问题,巩固对二元一次方程组定义的理解,区分易错点.(E1,O)

(10)准备探究解的情况,引导学生从问题中发现二元一次方程、二元一次方程组和一元一次方程的学习顺序是一样的.(E1)

(11)探究“多人共车”问题中x,y的取值问题,师生合作总结并体会二元一次方程和二元一次方程组解的定义.(E1,O)

(12)学生独立思考二元一次方程解的个数?二元一次方程组又有几个解?教师要引导学生注意到二者解之间的联系与区别.(E1)

(13)学生完成一系列典型例题.(E2)

(14)学生独立完成“乒乓球赛”问题,建方程模型解决问题.(T,R)

(15)根据本节课所学内容,每个人设计一道习题,小组内互相交换做题.(T,R,E2)

(16)教师组织学生反思“多人共车”问题和“雀燕”问题,总结本节课的收获和疑问.(R,O,E2)

(17)让学生试着当小老师,将本节内容经过自己的整理记录下来,并交给没来的同学,同时给他讲解这节课的内容.(R,T,O)

(18)课下完成练习册内容后小组内交换练习册相互评价,给练习册评分.学生分析错误的原因,写下自己的评语.(R,E2,O)

(19)在单元结束时,回顾所学知识,构建知识框架,进行自我总结.(E2,T)

3 结论与反思

基于UbD理念的逆向教学设计在三个阶段环环相扣,使教学设计整体在很大程度上体现了教学目标、评估证据、教学活动的一致性.这种注重理解的模式在数学科目上有很大优越性,同时“二元一次方程组”这一范例也证明了其可操作性.首先,UbD理论提供了一个具体可行的反转模式,老师可以挑选出一些关键问题,再根据知识的优先级、理解难度对问题进行划分,以此为依据构建学生的知识系统;其次,这种以大概念为基础的逆向教学设计,有助于加强知识间的关联性,重视学生对知识的理解并促进能力的发展;最后,逆向教学设计可以有效地解决数学课堂中存在的问题,如目标不明确、教学活动和情境设置不科学、学生学习表面化、教、学、评之间脱节等,从而提高课堂教学效果.